等差数列的定义及通项公式精

1、普差毅刊的通项公式判断数列是否为等差数列的常用方法:定义法：证明anan=d (常数)(2)中项法：利用中项公式，即:(3)通项公式法：等差数列的通项公式是关于的一次函数an= pn + q 5、q为常数）例仁已知成等差数列的四个数之和为26, 中间两个数之积为40求这四个数。设四个数为=“3，, a+d . a+3d2,5,8,11 或 11,8,5,2练习：已知成等差数列的三个数之和为18, 第一个数与第三个数之积为40求这 三个数。设三个数为：a+d4,6,8 或 8,6,4例2：在数列a“中，已知a =1 ,且 丄=丄+丄uN*),求Q50 色+i 53解：令bn=,则已知条件可化为5

2、 1bn+l-bn=-(nN1$是首项为1,公差为的等差数列152“50 = + (50_ 1) X 亍=亍1. 数列。“的通项公式d“ = 2n+5,则此数列（A ）A. 是公差为2的等差数列B. 是公差为5的等差数列C. 是首项为5的等差数列D. 是公差为/I的等差数列2. 在等差数列冷中，也=一5，d=3,则山为（B ）A. -9B. -8C. 一7D. 43已知数列為满足41=2,。卄=勺一 1SWN）,则数列的 通项勺等于（D ）A. n24- 1B z?+lC. 1nD. 3n4.在等差数列勺中，a2=5, a6=a4+6,则等于（B ）A. -9B. -8C. -7D. 45已知

3、等差数列“的前3项依次为4一1, d+l,2a + 3, 则此数列的通项。“为（B ）A. 2h 5B. 2/1 3C. 2n 1D. 2n+l解析：由已知2（。+ 1） = （d - 1） + （2。+ 3）,整理得q = 0,*.tZ| = - 1, a2 = I, d = d? 一 5 = 2, an = （n - ）d = 2n - 3.重点等差数列的单调性及通项公式(1) 由等差数列的定义知an+-at=d,当>()时，即为递增数列：当=0时，a卄=冷即©为常数列；当dVO时，an+l<an即。“为递减数列.(2) 等差数列的通项公式5=6 +5 I)d,等差数

4、列任意的两项间有勺=%+一R)d,即=勺弓.难点等差数列常见的判定方法定义法：an+i-an=d(常数)；(2) 等差中项：2a“+证明三个数a、b、c成等差数列，一般利用等差中项证明b=宁;(3) 通项公式为料的一次函数：an=kn+bk. Z?为常数).拓展演练题型 等差数列中的基本运算例1:在等差数列©中，(1) 已知 Q = 3, d=2,爲=7,求；(2) 已知 5=11，他=5,求 a】、d、an；(3) 已知=如=18,求 a 思维突破：由通项公式an = <7| + (z?-l)d,在a】、d、n> an四个量中，可由其中任意三个量求第四个量.解：(1)由

5、 7 = (-3)+ 0 - 1)2,解得 n = 6.(2) 由等差数列的通项公式及已知得 ',解得a + 7 = 5a = 19. r，所以厶=19 + (n - 1)(-2),即 an = - 2/? + 21.d= -2(3) 已知如=印+(7 - 1：-£= 18，解得=21.Q丄茎堂纟吉先根据两个独立的条件解出两个量和d,进而再写出爲的表达式.匕变式与拓展531 1.已知数列a“为等差数列，d3=a，Q7=才，则G5的 _9值为才12.5知数列。“为等差数列,Qp=q, ciq=p,且p去q,则 ap+q = 题型求等差数列的通项公式例2：在等差数列色中，己知&#

6、171;5=10,务2=31，求它的通 项公式.思维突破：给出等差数列的两项，可转化为关于与d的 方程组，求得©与，从而求得通项公式.解法一:由 cin = «i + (n - )d 得10 = a + 4d31=6/1+1 d解得丿d=3-2等差数列的通项公式为an = 3rz - 5. 解法二:由 an = am + (n - m)d 得a2 =血 + (12 - 5)d = d5 + 7d, 即31 = 10 + 7J, d=3心=+ (n - 5)d = 10 + (n - 5)X3 = 3n - 5 等差数列的通项公式为a = 3n-5.求等差数列的通项公式确定首

7、项5和公差d,需建立两个关于和d的方程，通过解含与d的方 程求得与的值；直接应用公式冷=am + (rz - in)d求解.七变式与拓展2-1.已知数列$为等差数列,且硯=2, aI+a2+a3=12. 求数列的通项公式.由 + a2 + a3= 12，得 3勺=12,解:题型G2等差中项的应用例3：己知/、b云成等差数列.求证：*, 土，詁不 成等差数列.解：丁/、b2. c?成等差数列，方? = *(/+ cl1 I a + c + 2ba + c + 2h+=石h + c a + b (b + c)(a + h) ab + be + ca + ba + c + 2b2(。+ c + 2b

8、).12°、 (a + c)(2b + a + c)ab + be + ca + (/ + <r)' 八72a + c占，一扌一，一土成等差数列.b + c c + a a + bC丄鉴骂总结 三项成等差数列的问题往往借助等差中项去证明，即a、A、Z?成等差数列u>2A = a + b.X參变式耳拓展' IW31.数列a“为等差数列，勺与&6的等差中项为5,码与5的等差中项为7,则数列的通项為为2一3.解析：由已知得q = 5, a5 = 7,：d = 2, an =+ (h - 4)d = 5 + 2(/? - 4) = 2n - 3.整合提升例

9、4：判断下列数列是否是等差数列.(1 )an=4/2 3 ；(2)0 “=n2 + n.错因剖析：易用特殊代替一般，验证前几项后就得出结论, 等差数列在定义中的要求是“任意的后一项与前一项的差是常 数”，不是“确定的后一项与前一项的差是常数”.正解：(1)*.*aw+, an=4(n +1)3(4n3)=4,A a为等差数列.(2)由a,=n2-n 知6=2, tz2 = 6,=12,a2aa3a2,：.an不能构成等差数列.鱼变式与拓展4-1.已知三个数成等差数列，其和为15,其平方和为83, 求此三个数.解：设此三、个数分别为x d. x. x +则)(x-d) + x + (x + d)

10、= 15(x 一 J)2 + x2 + (x + t/)2 = 83解得 x = 5, d= ±2.所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.2已知等差数列(an)的通项公式为an=2n 求首项和公差d变式引申:如果一个数列(an)的通项公式an=kn+d,具中k,b都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗？练 习3.已知 /=2,/a+i)=2/(；)-igN),求/(2OO7)的值。解：/ 2/(n+1)-2/(/1) = 1./是首项为2,公差为+的等差数列掌握等差数歹J的通项公式，并芳皂运用公式 解决一些简单的问题an=a1+(n-1)d 提高观察.归纳、猜想.推理等数学育皂力多少项在300到500之间？ 401、填空题(求下列数列的公盖)2、填空题：(1)已如辛左数列3 ,7 ,(2) 已如夸冬数列11,6 ,(3) 已知夸菱数列1 0,8 ,» ( 11 项2 1 -2V2巩固练习1 等差数列的前三项依次为4-6, -3a-5, -10a-l, 则0等于()15A 1 B. 1 C 一一D.一311提ZK： (-3a-5 )-(a_6)=(-10a-l) -(-3u-5 )2在数列皱中