立体几何复习

1、立体几何专题复习公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线；公理4 :平行于同一条直线的两条直线平行；定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。【空间中的平行关系】 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行;一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行;两个平面平行，则任意一个平面与这

2、两个平面相交所得的交线相互平行；垂直于同一个平面的两条直线平行1 .线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。po _ ： ,o -飞i推理模式：PAD a = Aa丄AO。a u a ,a 丄 AP注意：三垂线指 PA PO AO都垂直a内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线 垂直的判定和性质定理"要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。

3、2.线面垂直定义：如果一条直线I和一个平面a相交，并且和平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线I和平面a互相垂直，其中直线I叫做平面的垂线，平面a叫做直线I的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线I与平面a垂直记作：I丄a直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面 ,那么这 两条直线平行。3.面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直=面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两平面垂直的

4、性质定理：（面面垂直=线面垂直）若两个平面互相垂直， 那么在一个平 面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。1. 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。(1) 异面直线所成的角的范围是 (0 1 O求两条异面直线所成的角的大小一般方法是 ，2通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下： 利用定义构造角， 可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶 点选择在特殊的位置上； 证明作出的角即为所求的角； 利用三角形来求角。(2) 直线与平面所成的角的范围是 0,二。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。2具体步骤如下： 找过斜线上一

5、点与平面垂直的直线； 连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影， 确定出所求的角; 把该角置于三角形中计算。注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的 一切角中的最小角，即若 B为线面角，a为斜线与平面内任何一条 直线所成的角，则有 V(3) 确定点的射影位置有以下几种方法： 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上； 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等， 那么这一条直线在平面上 的射影在这个角的平分线上； 两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的 交

6、线上； 利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a. 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的 射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形 的垂心；(4) 二面角的范围在课本中没有给出，一般是指(0,二，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法 棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； 面上一点三

7、垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即垂足)，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的 平面角； 空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线， 这两条射线所成的角就是二面角的平面角。斜面面积和射影面积的关系公式：S = S COST ( S为原斜面面积，S 为射影面积d为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形，任意多边形都成立是求二面 角的好方法当作二面角的平面角有困难时，如果能找得斜面面积的射影面积，可直接应用公 式,求出二面角的大小。2. 空间的距离(1) 点到直线的距离：点P到直线a的距离为点P

8、到直线 a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为A,过A作a的垂线，垂足为E连pe,则由三垂线定理可得线段PE即为点P到直线a的距离。在直角三角形PAB中求出PE的长即可。点到平面的距离：点P到平面:的距离为点P到平面 :的垂线段的长常用求法作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面:-的斜线上两点A,B到斜足c的距离ab,ac的比为 m:n，则点a,b到平面:-的距离之比也为 m:n .特别地， AB = AC时，点A,B到平面:-的距离相等；体积法(2) 异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为a,b间的公垂线段的长常有求法先证线段AB为异面直线 a,b的公垂

9、线段，然后求出AB的长即可. 找或作出过b且与 a平行的平面，则直线 a到平面的距离就是异面直线 a,b间的距离找或作出分别过 a,b 且与b , a分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线a,b间的距离根据异面直线间的距离公式求距离。(3) 直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间.为直线上任意一点到平面间 的距离。(4) 平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间.为一个平面上任意一点到另 一个平面的距离。以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点 间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。3. 空间向量的应用(1) 用法向量求异面直

10、线间的距离如右图所示，a、b是两异面直线,n是a和b的法向量，点E a, F b,则异面直线EF na与b之间的距离是d =:n(2) 用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知 AB是平面a的一条斜线，n为平面a的法向量，贝U A至U平面a的AB n距离为d = n(3) 用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面 的距离问题。(4) 用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点, 问题转化成点到平面的距离问题。(5) 用法向量求二面角如图，有两个平面 a与3,分别作这两个平面的法向量 ni与n2 ,