椭圆的标准方程典型例题

1、典型例题一例1已知椭圆mx2 3y2 _6m =0的一个焦点为（0, 2）求m的值.分析：把椭圆的方程化为标准方程，由 c = 2，根据关系a2=b2c2可求出m的值.2 2解：方程变形为-=1 .6 2m因为焦点在y轴上，所以2m 6，解得m3 .又 c =2，所以 2m -6 =22, m = 5适合.故 m = 5 .典型例题二例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3,0 , a = 3b，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点， 故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数2 2法，求出参数a和b （或a和b ）的值，即可求得椭圆的标准方程.解：当焦点在x轴上时，设其方程为9

2、022由椭圆过点P 3,0，知 =1 又a =3b，代入得b2 = 1，a2 = 9，故椭圆的方a b2 程为 y2 =1 .92 2当焦点在y轴上时，设其方程为占_Xr=1a b 0 .a b9022由椭圆过点P 3，知一22二1 .又a = 3b，联立解得a二81， b二9，故椭圆a b2 2的方程为 =1.819典型例题三例3厶ABC的底边BC =16，AC和AB两边上中线长之和为 30,求此三角形重心 G的轨迹和顶点A的轨迹.分析：（1）由已知可得 GC +GB =20，再利用椭圆定义求解.（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求 A的轨迹方程.解：（1）以BC所在的直线为x

3、轴，BC中点为原点建立直角坐标系.设 G点坐标为（x, y ），由GC +GB =20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因a =10 , c=8，有b=6，故其方程为2 210036由题意有x3代入，得A的轨迹方程为_y3（除例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为,22(2)设 Ax, y , G x , y ，则- y 1 y =0 .100362 2丄丄900324去x轴上两点）典型例题四2-53分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出方程.2 2a和b （或a和b ）的值从而求得椭圆，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程

4、.4&52/5解：设两焦点为F1、F2，且PF1 =,PF2 =.3 3从椭圆定义知2a = PF1 + PF2 =2后.即a =从PR a PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，PF21所以在 RbiPF2F1 中,sin =一PF126兀 2*； 5可求出.pf,f2所求椭圆方程为2 2x_ . .3y_1022=1或竺丄/.10522210PF1 cos ，从而 b =a c6 彳3典型例题五例5已知椭圆方程2 x 2 a2b2=1 a b 0，长轴端点为A , A2，焦点为F1, F2, P是椭圆上一点， APA2 -v , F1PF : 求：.F1PF2的面积（用a、b、：表示

5、）.1分析：求面积要结合余弦定理及定义求角：的两邻边，从而利用 S absinC求面心2积.解：如图，设P x, y，由椭圆的对称性，不妨设 P x, y ,由椭圆的对称性,不妨设P在第一象限由余弦定理知:由椭圆定义知:PF,2PF2 -2 PF, PF22cos： =4c .PR + PF2 =2a则2得PF1 PF22b21 cos故 S.FiPF2=丄 |PF1 PF2 si no2212b22 1 cos：sin :典型例题六2例6已知椭圆y2 = 1 ,2(1 1 (1) 求过点P -，丄且被P平分的弦所在直线的方程；<2 2丿(2) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)

6、过A 2,引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1(4) 椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线 OP、OQ斜率满足kOP kOQ二2求线段PQ中点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为 M x1, y1 , N x2, y2，线段MN的中点Rx, y，贝U% +2y2 =2,x； 2y； =2,% +x2 =2x,y+y2=2y,得XiX2Xi- X22yiy2% -y?= 0 .由题意知Xi =X2，则上式两端同除以Xi - X2，有 XiX2 2 yiy2=0 ,捲_ X2将代入得x 2y yi 一兀=0 .捲一x2(i) 将x

7、 = , y =代入，得 止 =，故所求直线方程为22x -x222x 4y -3 = 0 .ii将代入椭圆方程 X2 2y2得6y2-6y 0 , =36-4 6 -0符合题意,4 4故2x 4y -3 =0即为所求.(2) 将建复 =2代入得所求轨迹方程为:xx2x 40 .(椭圆内部分)(3) 将 圧土二Li代入得所求轨迹方程为Xi _x2x22 2x 2y -2x-2y=0 .（椭圆内部分）(4) 由+得将平方并整理得X2 x2 = 4x2 _ 2x-|X2, y2 y； "y2 -2y2,将代入得4x 2x1x2 4y2 _2y2 i=2 ,4再将YlY21X1X2代入式得

8、2点P的轨迹是以 A, B为两焦点，半长轴为4,半短2x2 _%必2+4y2 _2 _1x1x2=2 ,还可用其它方法解决.此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法,典型例题七例7已知动圆P过定点A -3,0，并且在定圆B: x -3 2 y2 = 64的内部与其相内切,求动圆圆心P的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点 P满足的关系式.解：如图所示，设动圆 P和定圆B内切于点M 动点P 到两定点，即定点A -3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径，即 PA +|PB = PM| + PB =|BM| =8.轴长为b =42 32 =圧7的椭圆的方程：2 2x y 1 1

9、67说明：本题是先根据椭圆的定义， 判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹 的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法.典型例题八例8已知椭圆4x2 y2 =1及直线y = x m (1) 当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2) 若直线被椭圆截得的弦长为 仝匹，求直线的方程.5因此，只须考虑方分析：直线与椭圆有公共点， 等价于它们的方程组成的方程组有解.程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式已知弦长，由弦长公式就可求出m .八卜 ;解：（1）把直线方程y = x m代入椭圆方程4x2 y2 =1得4x2 +（x + m 2 =1，即 5x2 +2mx + m2 -1 = 0 .：=2m

10、 2 -4 5 m2 -1 = 16m2 20 _ 0 ,(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1, x2，由(1 )得2mm2 -1X1 X2 二一 ,X1X2 ：5 5根据弦长公式得； ( 2m¥m2 -1 2山0*1+1 J -一 ! _仆=K 5 )55解得m =0.因此，所求直线的方程为 y = x.采用的方法与处理直线和说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式.:；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系)，可大大简化运算过程.典型例题九2 2例9以椭圆 =1

11、的焦点为焦点，过直线l: x 一 y 9二0上一点M作椭圆，要123使所作椭圆的长轴最短，点 M应在何处？并求出此时的椭圆 方程.分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际 上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点 （即两焦点）的距离之和最小， 而这种类型的问题在初中就已 经介绍过，只须利用对称的知识就可解决.解：如图所示，椭圆2 2-1的焦点为123F2 3,0 .Fi -3,0 ,点Fi关于直线l: x - y 9 =0的对称点F的坐标为（一9, 6）,直线FF2的方程为x+2y3=0 .解方程组丿x+2y3-0得交点 皿的坐标为x _ y + 9 = 0(-5, 4

12、) 此时 MF-|MF2最小.所求椭圆的长轴2a 二 MF-|MF2 二 FF2 =6.5 , a =3.5，又 c = 3, b2=a2 _c2=(3T52 _32 =36.2 2因此，所求椭圆的方程为 11.4536说明：解决本题的关键是利用椭圆的定义, 到直线同侧两已知点的距离之和最小.将问题转化为在已知直线上求一点，使该点典型例题十2 2例10已知方程 y1表示椭圆，求k的取值范围.k 53 k分析：根据椭圆方程的特征求解.k 5c0,解：由 3 k : 0, 得 3 k : 5，且 k - 4 k 一5 =3 -k,满足条件的k的取值范围是3 ： k ： 5,且k - 4 说明：本题

13、易出现如下错解：由k 5<0,得3<k<5，故k的取值范围是3<k<5 出3-0,错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a b 0这个条件，当a = b时，并不表示椭圆.典型例题十一例11已知x2 sin y2cos=1 (0 _- ：)表示焦点在y轴上的椭圆，求:-的取值 范围.分析：依据已知条件确定:的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性，求出:的取值范围.2 2解：方程可化为y1 11sin 二cos 二11因为焦点在y轴上，所以-0 .COS。si na1 3因此 sin < > 0且 tan，: -1 从而：；三(一，)2 4说明：(1)由

14、椭圆的标准方程知sin1COS-0，这是容易忽视的地方.2由焦点在y轴上，知a丄buncos ：sin -求的取值范围时，应注意题目中的条件 0乞：:.典型例题十二例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴， 且经过AC. 3 , -2)和B(-2,3,1)两点的椭圆 方程.分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起_ 2 2见，可设其方程为 mx ny =1(m 0, n 0),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直 接可求出方程.解：设所求椭圆方程为 mx2 ny2 = 1 ( m 0, n 0).由A( .3 -2)和B( 2 3,1)两点在椭圆上可得厂 22_m

15、（品）+n （-2） =1,前（3m+4n=1,即丿m （-2嘉）2 +n 12 =1, J2m + n=1,所以m1n 二一.52 2故所求的椭圆方程为 =1.155说明：此类题目中已存在直角坐标系，所以就不用建立直角坐标系了，但是这种题目一定要注意已知点和已知轨迹在坐标系中的位置关系.求椭圆的标准方程， 一般是先定位(焦点位置)，再定量(a , b的值)，若椭圆的焦点位置确定，椭圆方程唯一；若椭圆的焦点位 置不确定，既可能在x轴，又可能在y轴上，那么就分两种情况进行讨论.方法是待定系数法求椭圆的标准方程， 求解时是分为根据椭圆的焦点在x轴上或y轴上确定方程的形式、 根据题设条件列出关于待定

16、系数 a , b的方程组、解方程组求出 a, b的值三个步骤，从而得 到椭圆的标准方程.对此题而言，根据题目的要求不能判断出所求的椭圆焦点所在的坐标轴， 那么就分情况讨论， 这种方法解此题较繁. 另一种方法直接设出椭圆的方程，而不强调焦点在哪一个坐标轴上，即不强调 x2和y2的系数哪一个大，通过解题，解得几种情况就是几种 情况.在求椭圆方程确定焦点在哪一坐标轴上的时候，可以根据焦点坐标，也可以根据准线方程若不能确定焦点在哪一个坐标轴上，就用上述两种方法.典型例题十三例13已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点 卩舁乍倾斜解 为一的直线交椭圆于 A , B两点，求弦 AB

17、的长.3分析：此类题目是求弦长问题，这种题目方法很多，可以利用弦长公式 AB =山+k2|x1X2 = J(1+k2)(X1+x2)24x1X2求得，也可以利用椭圆定义及余弦定 理，还可以利用焦点半径来求.解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB =訥 + k2 |xx2二.(1 k2)(X1 X2)2 -4x1X2.因为 a =6, b =3，所以 c =3、3 .又因为焦点在x轴上，2 2所以椭圆方程为 =1，左焦点F (-3、. 3 , 0)，从而直线方程为369y = 3x 9 .由直线方程与椭圆方程联立得13x72 一 3x 36 8 =0 .设X! , X2为方程两根,所

18、以X! X272,. 31336x8XyX2 :13j 2从而 AB =+ k % x2（厂k2）（xX2?4x1X2h4813（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解.2 2由题意可知椭圆方程为 + =1，设AF1 = m, BFj = n，则369AF2 =12m , BF2 =12-n .在 MF1F2 中，|AF22 = AFp +|F1F22AFjF1F2 cos才,22t 1即（12 - m）2 = m236 3 -2 m 6 一 3 -；6 . 、 6所以m.同理在LBF1F2中，用余弦定理得 n，所以4 - 34348AB =m + n =.13（法3）利用焦半径求解.先根据直线与

19、椭圆联立的方程13x2 7. 3x 36 8 =0求出方程的两根 x1 , x2，它们分别是A , B的横坐标.再根据焦半径 AF=a+ex , BEjua+e%，从而求出 A|AF|BF1 .说明：对于直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系， 可以利用直线方程与椭圆方程联立，看联立后方程解的个数：:0，无解则相离；厶=0,一解则相切；厶0，两解则相交.直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题，直线与椭 圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦.典型例题十四例14已知圆x2 - y2 =1，从这个圆上任意一点 p向y轴作垂线段，求线段中点M的 轨迹.（相关点）求分析：本

20、题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量 轨迹方程或轨迹.解：设点M的坐标为（x, y），点P的坐标为（x0 , y0）,则 x =乞，y = y° 2因为P（xo , yo）在圆x2 y1上，所以 Xo? y =1 -将Xo = 2x， yo = y代入方程x - yo =1得4x2 y2 =1 -所以点M的轨迹是一个椭圆4x2 y2 =1 说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为（x , y）,设已知轨迹上的点的坐标为 （xo , yo）,然后根据题目要求， 使x , y与xo , yo建立等式关系，从而由这些等式关系求

21、出 xo和yo代入已知的轨迹方程，就可以求出关于 x , y的方程，化简后即我们所求的方程这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌 握.这种题目还要注意题目的问法，是求“轨迹”还是求“轨迹方程”若求轨迹方程，只要求出关于x，y的关系化简即可；若求轨迹，当求出轨迹方程后，还要说明由这种方程所 确定的轨迹是什么.这在审题时要注意.典型例题十五2 2例15 椭圆 =1上的点M到焦点F1的距离为2, N为MF1的中点，贝y ON259（O为坐标原点）的值为（）3A . 4B . 2C. 8D .2解:如图所示，设椭圆的另一个焦点为 F2,由椭圆第一定义得 MF1 MF2 =2a=10,所以MF2 =

22、1O-MF1 =1O-2=8 ,又因为ON为MF1F2的中位线，所以1ON =MF2 =4，故答案为A.2说明:(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF1MF2 =2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.典型例题十六2 2x y例16已知椭圆C:1，试确定m的取值范围，使得对于直线 I: y = 4x m ,43椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上 A, B两点关于直线I对称，则已知条件等价于：(1)直线AB_I ;(2)弦AB的中点M在I上利用上述条件建立 m的不等式即可求得 m

23、的取值范围.解:(法1)设椭圆上A(xi，yj , B(X2,y2)两点关于直线l对称，直线 AB与I交于M (xo , yo)点. I的斜率« =4 ,1设直线AB的方程为y x n .41 + y = -一x 十n, 由方程组242消去43，8n- x X213为 X2于是x0 :213x2 -8nx 16n2 -48 =0112nn =-413，4n三，y04x04n 12n即点M的坐标为( ).13 ' 130 .点 M 在直线 y =4x m 上，二 n =4m .1313解得nm.4将式代入式得13x2亠26mx亠169m2 _ 48 = 0/ A , B 是椭圆

24、上的两点，：沢=(26m)2_4 13(169m2-48)解得 2132J3解得m ： 131313413(法 2)同解法 1 得出 nm, Xo( m) - -m,41341 13113(-m , -3m).AB与I的交点M的y0x0m(-m)m - -3m，即 M 点坐标为4444 A , B为椭圆上的两点， M点在椭圆的内部，2 2.皿 L3m_“43解得-.1313(法3)设A(x1 , y1) , B(x2 , y2)是椭圆上关于I对称的两点，直线坐标为(xo , yo).2 2 2 2/ A , B在椭圆上，为-=1 ,竺宜=1 .4343两式相减得 3(x1 x2)(x1 -x2

25、) 4( y1 y2)(yy2 0 ,即 3 2x°(x1 -X2)4 2y°(y1 - y2)= 0 .迪一也(X1*).X1 -X24y°又直线 AB _ I , kAB kl - -1，-强 4 = -1 ,4y°即y0 =3x0又M点在直线I上， y0 =4x0 - m 由，得M点的坐标为（-m, -3m）.以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点 A, B关于直线I恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用以下方法列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元 后得到的一元二次方程的判别式.：0，建

26、立参数方程.2 2利用弦AB的中点M (xo, yo)在椭圆内部，xo, yo满足不等式 互匹：1，将X。,a by0利用参数表示，建立参数不等式.典型例题十七1例17在面积为1的 PMN中，tanM , tanN - -2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程.则说Tcy =1.5 x = 3c分析：本题考查用待定系数法求椭圆方程及适当坐标系的建立.通过适当坐标系的建立,选择相应椭圆方程，再待定系数.适当坐标系的建立能达到简化问题的目的.解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设 P(x , y).x c即 P(3, 23)，215a = 得4、b25十4 j12a2 3b2 ,2 3 = 3.所求椭圆方程为2 2153说明：适当坐标系的建立是处理好椭圆应用问题的关键.建立适当坐标系， 需对题设所给图形进行观察、分析，做好数与形的结合，本题也可以以MN的中点为原点， MN所在直线为y轴建立直角坐标系，再求椭圆方程.典型例题十八2 2例18已知P(4, 2)是直线I被椭