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文档简介

1、阶或可降为一阶微分方程微分方程类型方程通式及解法可分离式微分方程g(y)dy f (x)dx解为 G(y) F(x) C,其中 G(y) g(y)dy，F(x) f(x)dxdy f (x,y)且f (x,y)中每一个单项式的x, y指数和相等(如 dx齐次方程x3 2x2y 3xy2 4y3)令u y 少u x®代入方程后再将u代回丄求解x dxdxx一阶线性微分方程学 P(x)y Q(x) dx片力、了P(x)dxP(x)dxP (x)dx解为 y CeeQ(x)edxP(x) Q(x)yn(n 0,1) dx伯努利方程令z y1 n(1 n)y n-dy则伯努利方程左右同乘(1

2、 n)y n后将z代dxdx入得到生(1 n)P(x)z (1 n)Q(x)按一阶线性微分方程解法求得z后 dx反代得y全微分方PQP(x,y)dx Q(x, y)dy 0且一 y x程Xy解为P(x,y)dx Q(x,y)dy C (可能解为隐函数)，其中(x°,y°)为单X0y0连通域上适当点(一般取xo yo 0)可降阶的 高阶微分 方程y(n) f(x)直接对y(n)反复积分直至求得yy f(x,y)令p y，则有p f (x, p)可用一阶方式求解得p (x)再代回y继续运算y f(y,y)令p y,则y 字字p字解得p (y)后代入y分离变量继续求 dy dxd

3、y解线性微分方程微分方程类型方程通式及解法常系数齐次线性微y py qy o分方程（以二阶为例）特征方程：r2prq 0ri,r2为实根且r1r2时yCierixC?e协ri, r2为实根且r1r2时y (C1 C2x)e"xri,2i 时xy e (C1 cos x C2sin x)常系数非 齐次线性 微分方程（以二阶 为例）当 f (x) eXPm(x )时当f (x) e x Pl (x) cos x Pn (x)sin x 时多于二阶依二阶方式，将特征根对应通解叠加，对k重根将C所在位置变为 Ci C2X C3X2CkXk 1 y py qy f (x)解为y Y y*，其中Y为y py qy 0的通解，y*为y py qy f (x)的特解y xkQm（x）e x,其中k按 不是特征方 程根、是单根、是重根 取01、2, Qm为 与Pm同次多项式，系数待定，将y*代 入原方程后根据等式两边系数相等解 多元方程y* xke % Rm）（x）cos x R sin x , 其中 m maxi,n，k

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