可化为一元一次方程的分式程及其应用

1、x 1x(x-2)X 2 xx 1x(x -2)4x -2x(x -2),分母相等，则分子也相等，x+ 1=4x-2，得x=1，再验根（略）（2）分离分式法：如解方程x -4 x -7x5 x8x_ - _8原方程变形为(1 )-x-6x-9x-51 1 1（1）所以1x -51x8初二数学同步辅导教材（第14讲）【教学进度】§ 9.7 （代数第二册 P101 -P110）【教学内容】可化为一元一次方程的分式程及其应用【重点、难点剖析】一、主要知识点1 分式方程、整式方程：见课本 P101倒数第8行-第1行2 .解分式的步骤：见课本 P103倒数第7行-倒数第1行3 列分式方程解应用

2、题的方法和步骤和列一元一次方程解应用题基本相同 审清题意 设未知数 找等量关系列方程 解方程 验根 写答句二、重点剖析1 分式方程是指分母中含有未知数的方程，解分式方程的思路是利用等式的性质将分式方程转化为 整式方程。2 在分式方程两边同乘以一个含有未知数的整式，转化成整式方程时，有可能产生不适合原方程的 根，这种根叫做原方程的增根，因此解分式方程必须验根，验根的方法有两种：（1）将求得的根代入原方程检验，这种方法可以同时检查解方程过程中有无错误。（2）代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去，这种 方法比较简便，但只能检查是否为增根，不能检查解方法过程中是

3、否有错。3 解分式方程的一般步骤为： 去分母，化分式方程为整式方程 解所得的整式方程 验根解分式方程还有一些特殊方法（1）对应相等法，如解方程_2丄_?二丄,原方程变形为：x-2x x x2-,x2 -13x40 =x2 -15x54 二 x=7 再验根(略)x -13x40 x -15x 54(3) 还有裂项相消以及换元等技巧【典型例题】2例1.解方程2x -8x 16 _ 2x2x -4x 4 x-2这就要在原方程两边同乘以最简公分母。分析：解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程,解：原方程化为2(x24x8) 2x(x-2)22去分母，得 x -4x+8=x(x-2)整理，得：x=4

4、经检验x=4是原方程的解-三要点评：解分式方程时：一是要找准最简公分母，二是计算要细心；三是要注意验根。，”、mX4 x8x+1x5例2.解万程x -2 x -6x -1x -7分析：方程两边直接乘以最简公分母(x-2)(x-6)(x-1)(x-7)来去分母，化分式方程为整式方程， 这样含使计算复杂化，仔细观察原方程，可发现每一个分式的分子、分母都是x的一次因式，分子总可以分出一部分与分母相同的分子，从而每个分式都可以化简，这样再去分母，可使计算简化。心x 4x 8 x 1 x 5解：x -2x -6 x -3x -7x-32 x-72x -2即 11x 21化简得：x -62+x -61=1

5、x -2 x -6x -6 X 2x-3 x-72 21 一x-3x-71 1x - 3 x - 7x -7 x 3(x-2)(x-6)4(x-3)(x-7)1得(x-2)(x-6) (x-3)(x-7) 方程两边同乘以(x-2)(x-6)(x-3)(x-7) 得(x-3)(x-7)=(x-2)(x-6)2 2即 x -10x+21=x -8x+12x -2 -2 x -6 -29即 2x=9,/ x=29经检验x= 是原方程的根21111例3.解方程一x -4 x -5 x -3 x -6分析：方程两边直接乘以最公分母来掉分母将分式方程转化为整式方程，但计算较大，若仔细观察 令发现，-4与-

6、3差1 , -5与-6差也为1,可首先进行移项，再两边分别通分的解法要简便此。1111解：+x 4x -5x 3x -61111x 4x3x - 6x -5(x _3) _ (x _4) (x _5) _(x _6)(x -4)(x-3) (x -6)(x-5)1 _ 1 (x-4)(x_3) (x_6)(x_5) (x-4)(x-3)=(x-6)(x-5)9x =29经检验： x是原方程的根2会产生增根?x 2例4.当m为何值时，关于 x的方程： 一22mx_x 2 x4 分析：分式方程的增根，必须便最简分母x2-4=0解：方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2x+4+mx=3x-6 (m

7、-1)x=-1010当m时，x =1 - m如果方程有增根，那么(x+2)(x-2)=0，即x=2或x= -2若 x=2，则 10= 2,得 m = -41 -m10若 x= -2，则2,得 m = 61 m所以，当m=-4或m=6时，原方程令产生增根，此时原方程无解。例5.解方程组5yzy z4zx=6z x3xyx y=2分析：将等量两边均取倒数，再分析分式，采用换元将方程组转化为三元一次方程组。 解：将原方程组中每个方程两边均取倒数，得y z5yzz x4xzx y3xy_丄-3=1-2分析每个方程，得1 丄 1 5 十一=z y 6x y 31亠13r =X y 2人 11 U 1令

8、a, b,xy z5(b+c=64(a+c=33l a+b=2二c上互方程组化为:+化简，得11a+b+c= 6 -，得a=1-，得b= 21-，得c=-3f x = 3| x = 3:八 =2 经检验 y = 2是原方程组的解z = 3z = 3例6.甲、乙两地相距18千米，A从甲地出发，以一定的速度往乙地走，同时， B从乙地出发，以一 定的速度往甲地走， A在与B相遇后2小时30分到达乙地，而 B在相遇后1小时36分到达A地，求A B的时速。分析：思路一，设 A的速度为x千米/时，B的速度为y千米/时，依题意A、B同时相向出发，所18以A从甲地出发到达相遇地点所需时间=B从乙地出发到达相遇

9、地点所需时间。因为A从相遇地x + y点到达乙地所需时间为 2小时30分，所以A从甲地到达乙地所需时间与从甲地到达相遇是所需时间的差出 51818518188为一，就疋。冋理，对于B有2xx y 2yx y5思路二 可以从寻找A ,B之间的速度关系入手， 设相遇地点距甲地为 s千米，那么距乙地就是（18-s）千米，再从A从甲地到相遇点用t小时，B从乙地到相遇点用时也是 t小时，这时A的速度应为-或1,t 52B的速度应为1或St 85解法一：设A行走的速度是x千米/时，B行走的速度为y千米/时，据题意，列方程组，得”18185xx + y2=4解此方程组，得丿188y = 5lyx + y5&

10、quot;x =4经检验丿是原方程组解，也符合题意。y = 5答：A的速度是4千米/时，B的速度是5千米/时。解法二：设两人相遇地离甲地 s千米，则离乙地是（18-s）千米，到达相遇是所用时间 t小时，根据A和B的速度两种表示方程有：s _ 18 s5广“2解此方程组得s8s 18st=2 厂t.5经检验，它是原方程组的解，也符合题意s 8A的速度是4（千米/时）t 2s 8B的速度是5（千米/时）8 855答：同解法一（略）。点评： 分式方程的应用题求出解以后，应该先检验是否适合分式方程（组） 意，这样才是正确的。，另外还需要看是否符合题例7.甲，乙两个生产小组共同工作，原计划 下的工作由乙

11、组单独完成还需9天。问：甲,分析：工作量=工作效率X工作时间4天完成任务，他们合作 1天后, 乙两组单独完成全部任务需多少天？甲组另有任务调选，余等量关系：（1）甲,乙两人工作效率之和为（2）合作一天的工作量 解：设这项工作为整体 据题意，得：1 1一 + x y1 ；4=整体“+乙再工作了的工作量1”，单独完成全部工程甲用1”x天，乙用y天解之得经检验:9.1y丿y1u =6V =丄12设丄x1 1=u, r,y所以丿则有x=6y=i2二6是原方程组的解, =12且符合应用题的实际。答：单独完成这件工作甲用6天，乙用12天。另解：设甲的工作效率为 -，则乙为丄-丄，据题意，得（丄-丄）9 -

12、 =1x4 x4 x4解之得：x=6经检验 x=6是原方程的解，且符合题意，故x=6丄 1 _色_2 _丄4 x 一4 一6 一1212 一12答：单独完成这个工程甲需6天，乙需12天【巩固练习】1 .若方程_3- =4有增根，则增根是 x 22 X2. 方程=-6 的解为x +x x -x x -13. 若方程2ax 7 =1的根是x二-3，则a的值a x4. 某工程队计划在若干天内，挖一条长180米的水渠，施工时，工效比原计划提高1倍，因而提前9天完工，设工程队的原计划工效为x，则列出方程，得 5. 若方程 一3-_m 有增根，则 m的值为x -1 x +2 x2 +x -26. 如果1

13、1,则-=a b a +b a b7. 关于x的分式方程 一1k2T有增根x = -2，则k= x -2 x +2 x2 -4&解下列方程（组）(1)2.无解3.41801801 .x=2a =4.972xx6.b ar =17. k= -18. (1)x=4 , (2)x=8a b【参考答案】(3)5. m的值为3或9x =-8(4) x=1x -8x 4 x -5x 7+ =+x -10 x-6 x 一7 x 一9 11=32x +y2x _y11J-12x +y2x _yx1 x22x362x 8x 152 225 x15 2x x(2)(3)(4)x -2 x2 -5x 6 x

14、 -39 从甲站到乙站共有 80千米，其中开头的20千米是平路，然后是30千米的上坡路，余下的是平路, 火车从甲站出发，经过 50分钟到达甲、乙两站的中点，再经过45分钟到达乙站，求火车在平路和上坡路上的速度。10. 有一件工程，甲单独完成所需要的时间是乙独完成所需时间的2倍。如果甲、乙合作做 4天，则完成工程的2 ,问甲、乙单独工作需要多长的时间才能完成全部工程。311 两条船分别从河的两岸同时开出，它们的速度是固定的，第一次相遇在距河一岸700米处，然后继续前进，都到达对岸后立即返回，第二次相遇在距河岸另一岸400米处，问河有多宽（船到岸后掉头的时间不计）？9.设火车在平路上的速度为x千米/小