高考数学应用题

1、18.此题总分值16分并且与天花板的距离如下图：一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为 O,通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，即OB为2m,在圆环上设置三个等分点 A1, A2, A3。点C为0B上一点不包含端点0、B，同时点C与点Ai, A2, A3, B均用细绳相连接，且细绳CAi， CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为y(1)设/ CAiO =(2)请你设计 ，rad，将y表示成B的函数关系式； 当角B正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小,并指明此时BC应为多长。18.(I)解:在 Rt COAi 中,CA,CO 2tan , cos3CA1 CB3 22 tancos2(3 sin

2、 )(0cos(n) y/22 cos(3 sin )( sin )cos22 3sin 12 2 ，cos当sin0 ,那么 sin0 ； sin12分 ysin 在0,上是增函数4当角1满足sin 时，y最小，最小为4 232 ;此时BC16分19.由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量Pt单位：吨与上市时间t 单位：月的关系大致如图1所示的折线ABCDE表示，销售价格Qt单位：元/千克与上市时间t 单位：月的大致关系如图2所示的抛物线段 GHR表示H为顶点.1请分别写出Pt ,Qt关于t的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份?(2)图(1

3、)中由四条线段所在直线.围成的平面区域为 M，动点P(x, y)在M内(包括边界)，求z x 5y 的最大值；(如 1 2x3y 3(3)由(2)，将动点P(x, y)所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算219解(I )P(t)113,6,9,12Q(t)4)2(0 t12).P(t) Q(t)(t4)26(3 t 6)(P(t) Q(t)訥3)2330在t (3,6恒成立，所以函数在(3,6上递增当 t=6 时，P(t)gQ(t)max 6月份销售额最大为 34500元.5 x y 111 x y 7,z=x5y. z=x5y= 2(x+y)+3(x y).222(xy)10,

4、33(x y) 21,19 Z 11,那么 max=11(川)类比到乘法有xyx117，求 z的最大值.由x A x B =(xy)A (- )B yy右(xy)1 3云1 (xy) 34318.此题总分值15分如图甲，一个正方体魔方由图甲解得x 1 si評cos0, , 6 分2魔方增加的外表积为S2Xtan ，由1得S -172sinsin coscos产0, , 10 分令 t sin cos2 sin236 t 1 那么S-1 t2361占丿一 108 72 2 当且仅当t 2即 一时等2 1号成立时,魔方增加的外表积最大为108 72 2 . 15分17.此题总分值15分请你为某养路

5、处设计一个用于储藏食盐的仓库供融化高速公路上的积雪之用.它的上部是底面圆半径为 5m的圆锥，下部是底面圆半径为 5m的圆柱，且该仓库的总高度为 5m.经过预算， 制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/m2、100元/m2，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价单位：元最少?z 竺，那么max= 343121252527个单位长度为 1个单位长度小立方体组成，把魔方中间的一层EFGH E1FG1H1转动 ，如图乙，设的对边长为x .1试用表示x ；2求魔方增加的外表积的最大值.18.命题立意：此题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力.解: °由题

6、意得x 盒盘17.命题立意：此题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力.解：法一设圆锥母线与底面所成角为，且0, n ,2分那么该仓库的侧面总造价1y 2 n 5 51 tan 1002 2 n55cos40050 n 3+耆，8 分由 y 50 n 2COS0 得 sin 1，即n, 13 分26经检验得，当n时，侧面总造价y最小，此时圆锥的高度为15 分法二设圆锥的高为xm,且x0,5， 2 分那么该仓库的侧面总造价y51 x 100.x225400150 n+10n 2 x225 x,8 分由y 10 n至1<x250得x芳,13分3经检验得，当x耸3时,3侧面总造

7、价y最小，此时圆锥的高度为穿m. 15 分3.在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域如下图，1A 120 , B是墙角线AM上的一点,假设BC=a=20,求储存区域面积的最大值;C是墙角线AN上的一点.D，使BD DC 20 ,求四边形储存区域 DBAC的最大面假设AB=AC=10,在折线MBCN内选一点解:四边形DBA面积的最大值为10j!，当且仅当x=y时取到.3(2)由DB DC 20,知点D在以B , C为焦点的椭圆上，Sabc 1 10 103 25 3，二要使四边形DBAC面积最大，只需DBC的面积最大，此2 2时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆

8、短轴顶点由 BC 103，得短半轴长b 5,SbCd面积的A最大值为-10. 3 525.3 .2因此，四边形 ACDB面积的最大值为50. 3 .3某直角走廊的示意图如下图，其两边走廊的宽度均为2m.(1)过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于A, B两点，且与走廊的一边的夹角为(0-)，将线段AB的长度I表示为 的函数;(2)一根长度为5m的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊？请说明理由(铁棒的粗细忽略不计).解：根据图得l( ) BP AP2sin cos(2)铁棒能水平通过该直角直廊,理由如下:l()2 2( )( )sincos0 sin 2 cos 0 cos2sin2 s

9、in2COS2(sin3cos3 )-2 2sin cos所以当因为4.20 得,时4时,时,21(0,1()为减函数;0, I ()为增函数;)有最小值4.2 ,5，所以铁棒能水平通过该直角走廊.19.(本小题总分值16分)如图一块长方形区域 ABCD , AD = 2 ( km ) , AB= 1 ( km ).在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角/ EOF始终为n，设/ AOE = a,探照灯O照射在长方形 ABCD内部区域的面积为 S.4(1 )当0 Wav n时，写出S关于a的函数表达式;2(2) 当0 w a上时，求S的最大值.4(3) 假设探照灯每9分钟旋转“一个来

10、回 (0E自OA转到0C,再回到0A,称“一个来回，忽略0E在0A及0C反向旋转时所用时间)，且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G,且/ A0G =芒，求点G在“一个来回中，6CF B被照到的时间.19 .解：(1)过0作0H丄BC, H为垂足.当0W aW上时，4E在边AB上，F在线段BH上(如图)，n1 =1 - ta n2). 4分当-V aVn时，42E在线段BH上,F在线段CH上(如图)此时，EH =1-,FH1,6分tan3 ntan()411.EF tantan(±4).S0EF 1112tan3 ntan()4S= S 正方形 0ABH Sa 0AE Sa 0H

11、F此时，AE = tan , FH = tan()，2 分111 - ta ntan(=224综上所述，S1 1 12 tan +. 3 ntan(4(2)当 0< a< n 时，S= 1 tan42即 S 2 1 (1 tan2)21 tan),(0 W<-),48分),10分 0w a 上， 0< tan W 1 .即卩 1< 1 + tan < 2.4 1 tan2?2 2 .1 tan S< 2 2 .当tan =2 1时，S取得最大值为2一 2 .12分3在“一个来回中，OE共转了2X3n3n其中点G被照到时，共转了 2X n = - . 1

12、4分63n那么“一个来回中，点 G被照到的时间为9 吕 2 分钟.16分3n17. 本小题总分值14分第十八届省运会将于 2021年9月在徐州市举办为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦形花坛中建喷泉如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心 O1、Q之间的距离为10米1 如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A , B , C , D均在圆弧上， O1O2 AB于点M .?AO2M q，求矩形的宽 AB为多少时，可使喷泉 ABCD的面积最大；2 如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的欣赏长廊以作休闲之用，那么矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA NB , NO2 4米.假设？A

13、O2M q?-,P，求喷泉的面积的取值范围.6 4ADC第17题图甲ZX-O1O2M第17题图乙17. ( 1)在直角 AAO2M 中，AM10sin,O2M所以矩形ABCD的面积S 20sin(20cos10):令 f ( ) 2sin cos sin , 0 <q?£ q? 3，那么 f'( ) 2cos2 cos4cos2cos2,令 f'( ) 0,得 cos331 .设 cos 0.33 1200(2sin cos sin ),10cos ，那么 AD 20cos 10 ,且0< % ? P，列表如下:3所以当(2)由0, 00(0,3)f

14、9;()0f()/极大值0，即 AB 5 30 22 33 时，矩形 ABCD的面积最大.10分1)易得，喷泉的面积 S 20sin (10COS4) 100si n280sin ,由 q?p,p知，2q?p,p ，所以函数g()6 43 2100si n 2 80sin 是单调增函数,所以 S 50、3 40,100 40.2.13分答：(1)矩形的宽AB 5 30 22 33 (米)时,可使喷泉 ABCD的面积最大;(2)喷泉的面积的取值范围是5040,10040 2(单位：平方米).14分17.(本小题总分值14分)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，角

15、 A为120° AB,AC的长度均大于200米.现在边界 AP, AQ处建围墙，在 PQ处围竹篱笆.(1) 假设围墙AP, AQ总长为200米，如何围可使 三角形地块 APQ的面积最大？(2) AP段围墙高1米，AQ段围墙高米，造 价均为每平方米100元.假设围围墙用了 20000元，问 如何围可使竹篱笆用料最省？17.解设AP x米，AQ y米.(1)那么x y 200, APQ的面积1S xysin1202xy.4y)22500.3 .42当且仅当x y 100时取“ = 6分(注：不写"=成立条件扣1分)(2)由题意得 100 (1 x 1.5 y) 20000，即

16、x 1.5y200 . 8 分要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以2 2 2 2 2PQ x y 2xycos120 x y xy(200 1.5y)2 y2(2001.5y)y1.75 y2 400 y 40000 ( 0 y 400)311分答:(2)800时，PQ有最小值罗，此时(1 )当当AP200713分AP AQ 100米时，三角形地块 APQ的面积最大为2500. 3平方米;学米，AQ 800米时，可使竹篱笆用料最省.14分18. (本小题总分值14分)因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发

17、生化学反响的药剂每投放a(1 a 4,且a R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为y a f(x),其中1 (0 x 4)8 x v f(x) 1 -5 x (4x 10)假设屡次投放，那么某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用(1) 假设一次投放4个单位的药剂，那么有效治污时间可达几天 ？(2) 假设第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值(精确到，参考数据 <2取6418.解

18、：(1)因为a 4,所以y4(0 x 4)20 2x(4 x 10)64那么当0 x 4时，由4 4,解得x 0,所以此时0 x 4 分8 x当4 x 10时，由20 2x 4,解得x 8,所以此时4 x 85分综合，得0 x 8,假设一次投放4个单位的制剂，那么有效治污时间可达 8天 分(2)当 6 x 10时,y1)2 (5-x) a( 16 -2 8 (x 6)16a=10 xa =(14 x)14 x16a14 :-a 4,因为 14 x 4,8 x,而 1 a 4,所以4.54,8,故当且仅当14 x4 , a时,y有最小值为8 . a12令 8 a a 44,解得 24 16 2a

19、 4，所以a的最小值为24162 1.61417.(本小题总分值14分)A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C,连接AC、BC,在三角形ABC内种草坪(如图)，M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形 AMC、三角形BNC上种花，其余是空地设花坛的面积为 S，草坪的面积为S2，取 ABC(1) 用及R表示Si和S2 ;(2) 求的最小值.S217. (1)因为 ABC ，那么 AC 2Rsin,BC 2Rcos那么 S2 AC BC 2R2sin cos2R2si n2设AB的中点为O,连MO、NO,贝U MO AC, NOBC .易得三角形AMC的面积为R2 sin

20、(1 cos )，三角形2BNC 的面积为 R cos (1 sin ), S1R2 sin(1 cos ) + R2sin (1cos )R2(sincos 2sin cos ). §R2(sincos 2sin cos )S222R sin cossin cos2sin cos令sincos t (1,J2，那么 2sin cos t2 1 .S_ _LS2 tlt11 色的最小值为、2 1 .S217. (本小题总分值14分)据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (k 0) 现相距18km的A，B两家化工厂(污染源)的

21、污染强度分别为a,b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC x ( km )(1) 试将y表示为x的函数；(2) 假设a 1，且x 6时，y取得最小值，试求b的值.kakb17.解：(1)设点C受A污染源污染程度为 ，点C受B污染源污染程度为2，其中k为比例系x(18 x)数，且k 0 .从而点C处受污染程度ykax2kb(18 x)2(2)因为k kba 1，所以，y x2而万，2y k-yx浮，令y' o,得x t(18 x)13 b又此时x6，解得b 8，经验证符合题意.所以，污染源 B的污染强度b的值为8.8分12分14分19. 一走廊拐角

22、处的横截面如下图， 内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧，AB , DC 分别与圆弧BC相切于B , C两点，EF / AB , GH / CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是 1m .(1) 假设水平放置的木棒 MN的两个端点 M , N分别在外壁 CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P 设 CMN (rad)，试用 表示木棒MN的长度f()；(2) 假设一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值.于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为在 Rt NWS 中，因为 NW 2， SNW ，2所以NScos因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ MN ,在Rt Q

23、PS，因为PQ1,PQS,1所以QS, QTcosQS2 1 , cos假设S在线段TG上，那么TSQT QS在 Rt STM 中，MSTSQT QSsinsin'因此MN NS MSNSQT QSsin假设S在线段GT的延长线上，那么TS QS QTCTM D在 Rt STM 中，MSsinTS QS QT,sin因此 MN NS MS NS QS QTsinNSQTsinQSf( ) MNNS 4ssincos(上sin)sin cos(2)因此因为2(sin设sinf()g(t)sin coscost(1g(t)学 14(t2 t 1)(t2 1)2，4t 2因此函数g(t)厂在

24、t即 MNmin4.22 min2)、2)，贝V sin cos -,2t 2，所以g (t)0恒成立,(1,、2是减函数，所以g(t)minge 2)4-2答：一根水平放置的木棒假设能通过该走廊拐角处，那么其长度的最大值为17.(本小题总分值14分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如下图)上进行开发建设，阴影局部为一公共设施不能建设开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在直线上)，公共设施边界为曲线f(x) 1 ax2(a 0)的一局部，栏栅与矩形区域的边界交于占J 八、N，切曲线于点P,设P(t, f (t).(1)OMN (O为坐标原点)的面积 S表示成f的函数S(t);(2)t 1, S(

25、t)取得最小值，求此时 a的值及S(t)的最小值.217解:(I) y 2ax,直线MN的斜率为 2at ,直线MN的方程为y (1 at2)2at(x t)令 y 0,得 x 1 at t2 at1 at2 2at22at1 at22at1 at2MF0)令x 0,得y 12 2at 2atat2,N(0,1 at2),MON的面积1 1 s(t) 2at22at2 2(1 at2)(1 at )4at(n) S(t)3a2t4 2at2 1(at2 1)(3at2 1)4at24at2因为a0,t0,由 S(t) 0,得3at2 10,得t13a当 3at210,即t时，S(t) 0,x;

26、3a当 3at210,即0 t 3a 时,S(t)1j时,S(t)有最小值.3a在t1 1S(t)取得最小值，故有3a 2故当a4,t12 时,S(t)min4 12(1 3 4)44 13 217.(本小题总分值14分)在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如下图的一个门(该图为轴对称图形)，其中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由长为6分米的材料弯折而成，BC边的长3为2t分米(1 t -);曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线(在如下图29是一段抛物线，其焦点到准线的距离为9，此时记门的最高点 0到BC边的距离为h2(t)8(1)试分别求函数h1

27、t、h2(t)的表达式(2)要使得点0到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少?3 解：(1) h-i t 4 t cost 1 t2h2 t4t2 t 31 t 3 6分9 2(2)由于 h1 (t)1 sint < 0 恒成立,所以函数h(t)在1,3上单调递减，2因此，h. t h 13 cos1而h2 tmax12分Q3 cos1 3 cos-2 所以选用 C214分I max i17.(本小题总分值15分)某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖(如图)，其中直四棱柱的高 AA 10m，两底面 ABCD ,A1B1C1D1是高为2m，面积为210m的等腰梯形，且

28、 ADC 0。假设储水窖顶盖每平方2米的造价为100元，侧面每平方米的造价为 400元，底部每平方米的造价为500元。(1) 试将储水窖的造价 y表示为 的函数；(2) 该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元(取3 1.73 )。17 .【解析】(1 )过A作AE DC ,垂足为E ,那么AE 2 ,2 2DE,AD tansin令AB x，从而CD1 4故 2 x x10,2 tan解得x5 2-,CD524分tantan所以y 202AD1040010AB50010CD1008000800025000521000 52sintantan3800080002107分

29、sintanu2(2)因为y3800080002 cossin52sin 2 cos cos 8000 1 2cos所以 y 80002 2 10分sinsin令y 0 ,那么 一，3当 0,时，y 0,此时函数y单调递减；3当，一时，y 0,此时函数y单调递增。3 2所以当 时，ymin 38000 8000.3 51840。3答：当 ADC 60°时，等价最低，最低造价为51840元。 15分18. 如图，矩形ABCD是一个观光区的平面示意图，建立平面直角坐标系，使顶点A在坐标原点0, B，D分别在x轴，y轴上，AD = 3百米，AB = a百米3< a< 4观光区中

30、间叶形阴影局部 MN是一个人 工湖， 它的左下方边缘曲线是函数"=丄门：匚了三2的图象的一段为了便于游客观光，拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路宽度不计，要求其与人工湖左下方边缘曲线段mn相切切点记为P，并把该观光区分为两局部，且直线左下局部建设为花圃.设点1求花圃面积f t的表达式；2 求f t的最小值.P到AD的距离为t, f t表示花圃的面积.第18题-甲第18题-乙18 某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲(1)(2)(3)2y ax 50( a 0)的一局部；CD AD，且CD恰好等于圆E的半径OB 50 米.假设要求CD 30米，AD

31、 24： 5米，求t与a的值;假设要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围;1 假设a 25，求AD的最大值(参考公式：假设f(x) a x，那么f(x)解：(1)因为 CD 50 t 30，解得 t 20.此时圆 E:x2 (y 20)2302，令 y0，得 AO 10 .5，假定拟建体育馆的高4)2、a x所以OD AD AO24、5 10、514.5，将点 0(14.5,30)代入 y2ax 50( a 0)中,解得a 49(2)因为圆E的半径为50t，所以CD50 t，在 yax250中令y50 t ,得 OD那么由题意知FD 50t a 75对 t (0,25恒成立,

32、所以1 点孚恒成立，而当Vt H，即t 25时,手取最小值10,10分(3)当 aOD 5 t，又圆E的方程为x2 (y t)2(50t)2，令 y 0，得 x 10、25 t，所以AO10 .25 t，从而ADf (t)10.25 t 5、.t(0 t 25)，12分又因为f5( . ?5 2 t)，令 f (t)0，得 t 5，J25 t . t14分当 t (0,5)时，f (t)0，f (t)单调递增；当 t (5,25)时，f (t)0，f(t)单调递减，从而当t 5时，f(t)取最大值为25 . 5 .答：当t 5米时，AD的最大值为25.5米.16分(说明：此题还可以运用三角换元

33、，或线性规划等方法解决，类似给分)方法二：令t 25cos20,3)，那么 AD 10 25 t 5、t 10 5sin5 5cos解得a10 5sin 5 5cos 25、, 5sin( )，其中是锐角，且tan从而当时，AD取得最大值为25-.5米.225( x 0, y 0)，求 z AD 5 (2x y)方法三：令x , 2FT, y ,f，那么题意相当于：x2 y2的最大值.根据线性规划知识，当直线 y2x z与圆弧x2 y2 25(x 0, y 0)相切时，z取得最大值为25 5米.19. 某园林公司方案在一块 O为圆心,R(R为常数)为半径的半圆形(如图)地上种植花草树木，其中弓

34、形CMDC区域用于欣赏样板地，OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售欣赏样板地的本钱是每平方米 2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元(1) 设 COD ,CMD I,分别用,l表示弓形CMDC的面积S弓f( ),S弓g(l)；(2) 园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？1 2 1(参考公式：扇形面积公式SR2Rl )2 21 219.( 1) S12 R ，S OCD1 2-R sin ,2S弓f( ) 1r2(sin ).2ri，sOCD1 2 R sin21 IS弓g(l) R(l Rsin ).2 R1211 21y1 3(；2R-IR)2，

35、y2-R2sin8，y3-R(l2Rs in ) 2 ,1 212 、12 .81 2yy1y2ya3( RR )R sinR ( sin ) 222221 -R 223(510sin)设g()510si n(0,)设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为 y2，欣赏样板地本钱为 yag ( )5 10cos12分1g ( ) O,cos1-,g在0,三上为减函数；1g ( ) 0,cos11，g在3-,上为增函数当i时，g取到最小值，此时总利润最大.所以当园林公司把扇形的圆心角设计成一时，总利润最大318. 本小题总分值16分如图，实线局部的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆 Q上的一

36、段劣弧围成，圆 P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地.(1)(2)如图甲，要建的活动场地为 RST,求场地的最大面积;如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积.解:R MA存=、B/ QCP.:第17题甲1如右图，过 S作SH丄RT于H,由题意， RST在月牙形公园里，IQSa rst= 1 SH2RT与圆QRT左边的局部是一个大小不超过半圆的弓形，那么有RTW4,切圆Q于P时如下左图，上面两个不等式中等号同时成立.1此时，场地面积的最大值为Sa rst= - 4 2 =42第17题乙(km2).AD必须切圆Q于P,再设/B

37、PA=，那么有&边形ABCD1 222 sin2 -22 2 sin( n2 )4(sinsin cos ) 0n2 .令 y sinsincos ,那么ycoscoscossin (2sin )2 coscos1 .假设 y 0 ,2同1的分析，要使得场地面积最大,AD左边的局部是一个大小不超过半圆的弓形,cos 2，n，又 0,n 时，y 0 , n, n 时，y 0 ,函数 y sin sin cos 在 f 处2333 23取到极大值也是最大值，故专时，场地面积取得最大值为33 ( km2).319. (本小题总分值16分)几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种 3D

38、产品该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产本钱为34元，该店的月总本钱由两局部组成：第一局部是月销售产品的生产本钱，第二局部是其它固定支出20000元假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x N )之间满足如下关系：当34< x< 60时，t(x) a(x 5)210050 ；当60< x< 70时，t(x) 100x 7600 设该店月利润为 M (元)，月利润=月销售总额一月总本钱.(1) 求M关于销售价格x的函数关系式；(2) 求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格.19.解：(1)当 x 60时，t(60)1600，代入 t

39、(x) a(x 5)210050 ,解得a 2 . 2分(2x220x 10000)( x 34)20000,34 < x 60, x N ,二 M (x)(100x 7600)(x 34)20000,60 < x < 70, x N .加2x3 48x2 10680x 360000,34 < x 60, x N ,即 M(x)2' 4 分100x2 1100x 278400,60 < x < 70, x N .(注：写到上一步，不扣分.)(2)设 g(u) ( 2u220u 10000)(u34) 20000 , 34< u 60 , u R

40、，贝V2g (u)6(u16u 1780).令 g (u) 0,解得 q 8 2 461 (舍去)，氏 8 2. 461 (50,51) . 7 分当34 u 50时，g (u)0, g(u)单调递增；当51 u 60时，g (u) 0, g(u)单调递减. 10分/ x N , M (50) 44000 , M (51) 44226 , a M (x)的最大值为 44226 . 12 分当 60 < x < 70 时，M(x) 100( x2 110x 2584)20000 单调递减，故此时 M(x)的最大值为 M(60)216000 . 14分综上所述，当x 51时，月利润M

41、(x)有最大值44226元. 15分答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件.16分19.(本小题总分值16分)如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形O为正方形的中心， G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半3径的圆的一局部，0G的延长线交弧 AD于点H。设弧AD的长为| , APH ,匕1求I关于的函数关系式；OP2 定义比值 Op为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美。证明：当角满足:Iis-i« 分執当两专帧点P在址段0G上/F*盒理底令%时.点P追 凰GH上*4讪胃佛=

42、盏谓尸予n條上所1£»AP金I手学人 w1W 44所以戌ADS9K iP 狞磊拔所求殖数英篥功縉蛇q 申 爭畑垮爭时eeOG-PGi一爲I一疇占妙"訂¥臥OPMOG + ©丹十曲刁T巧金p-警自艸专申防 廚以OP-需妊伴彤* 从汕瞥汽严记 /<#> 23娜十刃乂也匕也二3乘童_呼吻*令 f &Q、超鉄e*卡嶄 *轡为8轴知时仇从固片鶉孝器理-酣叫兀垮申.记搁足从下面证刖& Aatt/wnftca点,M /(tf) = 9<a>*5- tintfXO 在上肌咸立从面曲】在延(于寺)上隼骨3WL 14分Jff

43、fcl当矢(于点'时、<W»O,W /W>o> f在(于讯)上单理帕 当廉倔申ffhMYS即"<0小阳ttCft-7)上单邃富» /ce)4 gf 处展得极大療世是量大值BrU. 3 e « a unW- f >« 审 fi g 即R»* 大值.ItstffifcB* 优 56 亠16 分18.(本小题总分值16分)位幼儿园老师给班上k(k 3)个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为a0,就先从别处抓2块糖参加盒中，然后把盒内糖果的1分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖参加盒中，然后把盒内糖果的

44、2-分给第二个小朋友；，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖31果的丄 分给第n(n 1,2,3,L k)个小朋友如果设分给第 n个小朋友后(未参加2块糖果前)盒内n 1剩下的糖果数为an.(1) 当 k 3, ao 12 时,分别求 a1,a2,a3；(2) 请用an 1表示an;令0 (n 1)an,求数列bn的通项公式；(3) 是否存在正整数k(k 3)和非负整数a0,使得数列an (n k)成等差数列，如果存在，请求出所有的k和ao,如果不存在，请说明理由.20.解：(1 )当k 3,ao12时，a1ao21 訂。27,a2a121 a1236,a3a2

45、211a226.3分(2)由题意知：anan1 2 -1an 12nan 12 6分n1n 1即 n 1 ann an 12nan1 2n,bn(n1)an ,bnbnn12n,7分bn bn 12n,bn 1 bn 2 2n 2,Md bo 2.累加得bn b02 2n9分又 boa。，bn n n 1a°.10分由S nn 1 a0，得an n角，12分假设存在正整数k(k 3)和非负整数ao,使得数列an (n k)成等差数列那么a1 a3 2a2 ,14分 即(1 ?a0) 3号22号a0 0,15分当ao 0时，an n，对任意正整数k(k 3)，有an (n k)成等差数

46、列.16分注:如果验证&0,印卫2不能成等差数列，不扣分【说明】此题主要考查数列的定义、通项求法；考查反证法；考查递推思想；考查推理论证能力；考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力此题还可以设计：如果班上有5名小朋友，每个小朋友都分到糖果，求a。的最小值.17 (此题总分值16分，第1小题8分，第2小题8分)如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为，且跑道所在的直线与海岸线I的夹角为60。(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离 BC= 4 3km D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设 CD = x(km)，点D对跑道AB的视角为(1)

47、将 ta n表示为x的函数;(2)求点D的位置，使 取得最大值.17、(此题总分值14分，第1小题8分，第2小题6 分)解：(1)过A分别作直线CD , BC的垂线，垂足分别为 E,由题知，AB=, BC = 4-3,/ ABF = 90。一 60o= 30°,所以 CE = AF =x sin30°= |, BF = x cos30°= ： , 3,AE = CF = BC + BF =因为 CD = x(x>0)，所以 tan/ BDC = CC =生3T图2图1当X>，ED = X一4，曲ADC = ED =匕=煮(如图x41)；所以 tan =

48、 tan/ ADB = tan(/ ADC / BDC) =tan / ADC tan/ BDC1 + tan / ADC tan / BDC25価亜4x 9x9 3(x + 4)9=，其中 x>0 且 xm.2534占 x(4x 9) + 30041 + 4x 9当x= 9时tan = CE = %3,符合上式.4BC 48所以tan =93(x + 4)法一n =存念400-> 011分x(4x 9) + 300 (x> 0)所以当所以当x = 6时，tan取最大值片呼1313分由于y=tanx在区间(0,扌)上是增函数，所以当 x= 6时，取最大值.答：在海湾一侧的海岸

49、线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大14分(方法二)tan = f(x)= 9,3(x+ 4) =X土先.x(4x 9) + 300 4x2 9x+ 300=9逅(4x2 9x + 300) (x + 4)(8x 9) = _ 36>/5(x + 14)(x 6)0f (x)=(4x2 9x+ 300)2= (4/ 9x+ 300)2 ' x>0°由 f (x)= 0 得 x= 6.11分当x( 0, 6)时，f (x)>0,函数f(x)单调递增；当x( 6,+)时，f (x)v 0,此时函数f(x)单调递减.所以函数f(x)在 x= 6时取得极大值，也是最大值f(6)= 豎1313分由于y=tanx在区间(0, j上是增函数，所以当 x= 6时，取最大值.答：在海湾一侧的海岸线 CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大14分因为 4(x+ 4) + 400 41 > 24(x+ 4) 400 41 = 39,x+ 4x+