高考天津理科数学试题及答案解析版

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理科)参考公式：?如果事件A，B互斥，那么P AUB P A P B ；?如果事件A，B相互独立，那么 P AB P A P B ；?柱体的体积公式 V Sh,其中S表示柱体的底面面积， h表示柱体的高；1?锥体体积公式V -Sh，其中S表示锥体的底面面积， h表示锥体的咼.3第I卷(共40分)一、选择题：本大题共 8小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.(1)【2021年天津，理1, 5分】集合 A 1,2,3,4 , B y y 3x 2,x A，那么AI B ()(A)1(B)4(C)1,3(D)1,

2、4【答案】D【解析】把 x 1,2,3,4 分别代入 y 3x 2 得：y 1,4,7,10 ,即卩 B 1,4,7,10，: A 1,2,3,4 ,二 AI B 1,4 ,【点评】应选D.此题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基此题，难点系数较小.一要 注意培养良好的答题习惯，防止出现粗心错误， 二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，不漏.x(2)【2021年天津，理2, 5分】设变量x , y满足约束条件 2x3x3y2yz 2x 5y的最小值为(A)4'【答案】B(B)(C) 10(D) 170，那么目标函数0做到不重x2x3x虚线，平移直线I。【解析

3、】作出不等式组y 23y2y060表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线9 0l°:2x 5y 0,图中的,可得经过点 3,0时，z 2x 5y取得最小值6，应选B.【点评】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目 标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最 后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.(3) 【2021 年天津，理 3, 5 分】在 ABC 中，假设 AB .13 , BC 3 , C 120°，那么 AC ()(A) 1( B) 2(C) 3( D) 4

4、【答案】A【解析】在 ABC 中，假设 AB 13 , BC 3, C 120°, AB2 BC2 AC2 2AC BCcosC，得:13 9 AC2 3AC , 解得AC 1或AC 4 (舍去)，应选A .占二！$4【点评】(1 )正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求 解也可以用余弦定理求解.(2)利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而 到达知三求三的目的.(4) ( 4)【2021年天津，理4,5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出S的值为()(A) 2( B) 4( C) 6( D) 8【答案】B

5、【解析】第一次判断后：不满足条件，S 2 4 8 , n 2 , i 4 ;第二次判断不满足条件n 3 ；fa n - 7第三次判断满足条件：S 6，此时计算S 8 6 2 , n 3,第四次判断n 3不满足条件， 第五次判断S 6不满足条件，S 4 . n 4，第六次判断满足条件n 3，故输出S 4 ,应选B .【点评】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结 构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明 确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.(5)【2021年天津，理5, 5分】设an是首项为正

6、数的等比数列，公比为 q那么“q 0 是 对任意的正整数 a2n 1 a2n 0 "的()(A)充要条件(B )充分而不必要条件C(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件【答案】【解析】an是首项为正数的等比数列，公比为 q，假设成立，例如：当首项为2, q1-时，各项为2,2a2n 0 ,前提是C.q 0 是 对任意的正整数n , a2! 1124q 0 ，那么，此时21n 1a2n0 不一定【点评】1 0,-2q 0 是对任意的正整数n ,而对任意的正整数n , a2n 1的必要而不充分条件，应选充分、必要条件的三种判断方法.(1)定义法：示相结合，例如p?q"

7、为真，那么p是q的充分条件.(2)等价法：利用p?q与非q?非p, q?p与非p?非q,直接判断a2n 1a2n假设p那么q、假设q那么p的真假并注意和图p?q与非q?非p的等价关系，对于条件或结论是否认式的命题， 一般运用等价法.(3)集合法：假设A?B, 那么A是B的充分条件或 B是A的必要条件；假设 A= B，那么A是B的充要条件.2 2(6)【2021年天津，理6, 5分】双曲线 .每1 b 0，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的4 bB , C , D四点，四边形ABCD的面积为2b,那么双曲线的方程为(竺 1(C) L34【答案】圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,2小 22(

8、A) 2L A 1(B) x_444D2y_ 12 1 42(D)-42 y12【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2y24 ,双曲线两条渐近线方程为设 A x, bx2可得1-4，那么四边形ABCD 的面积为 2b , 2x bx 2b，二 x 1，将 A 1,b 代入 x222x,双曲线的方程为 一4求双曲线的标准方程关注点：位是指确定焦点在哪条坐标轴上， 求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式,其方程为Ax2+ By21 AB2 22 2cm x n y0 .(7)【2021年天津，理7, 5分】【点评】21，应选D .12(1)确定双曲线的标准方程也需要一

9、个定位条件，两个 定量条件，定量是指确定a, b的值，常用待定系数法.(2)利用待定系数法 以防止讨论.假设双曲线的焦点不能确定时，可设0 .假设渐近线方程为mx ny 0 ,那么双曲线方程可设为ABC是边长为1的等边三角形, nir 二二 连接DE并延长到点F，使得DE 2EF，贝U AF BC的值为iuu点 D , E分别是边AB , )【答案】【解析】51111(B)-(C)(D)8848BC的中点，DEunrUJLTUULTUJLTUUTUUUDD、E分别是边AB、2EF,AFBCAD DFAC AB1 UUD3 unrHIT ULU1 UUU 3 uniULUTUUU3 UUU21

10、UUU UUT1 UUU2AB DEAC ABABACACAB-ACAB ACAB ,2224442(A)B由BC的中点，弓【点评】1-，应选8研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言一一坐标语言，实质是 形化为 数.向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来 进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.二是利用一组基(8)【2021年天津，理8, 5分】函数f(x)2x(4 a 3)xlOga(X 1)且关于X的方程(A)0,3f(x)| 2X恰好

11、有两个不相等的实数解,(B)1,那么(C)【答案】【解析】loga X 11 在 0,递减,那么0 a 1，函数【点评】3a,x 0(a 0，且 a01)在R上单调递减,xa的取值范围是(1,2 u 33 34在R上单调递减，那么(D)320 a 120 4a 3 0 3a logaf(x)当3a由图象可知，在 0,上,2 x有且仅有一个解，故在,0上,f(x)x同样有且仅有一个解,3时，联立2x 4a3a 24a224 3a 20 ,3或14 应选C.函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： 等式，再通过解不等式确定参数范围(解得a(舍去)，当1 3a 2时,由图象可知，符合条件,综上：a

12、的取值范围为334 ，直接根据题设条件构建关于参数的不2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解 然后数形结合求(1 )直接法:决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象, 解.二、填空题：本大题共第II卷(共110分)6小题，每题5分，共30分.(9)【2021年天津，理9, 5分】a , b R , i是虚数单位，假设 1 ibi那么a的值为【答案】【解析】【点评】11 b 1 b i a , a,b R，二 1此题重点考查复数的根本运算和复数的概念，属于基此题.算技巧和常规思路，如 (a bi)(c di) (ac bd)(ac bd) (

13、bc ad)i (a,b,c.dR),其次要熟悉复数相关根本概念，如复数a1 i 1 bibb首先对于复数的四那么运算，a，解得:a 2 b要切实掌握其运(ad bc)i,(a,b,c.d R),a bi c di 的实部为2ca、虚部为d2b、模为-.'a2b2、共轭为a bi .bi(a,b R)(10)【2021年天津，理10,5分】8的展开式中X7的系数为(用数字作答)【答案】56【解析】C8rX28rr rc88X16 3r，令16 3r 7，解得r 3 . . x2-的展开式中Xx7的系数为3c；56 .求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通

14、项公式，建立方程1(1)来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n , r均为非负整数，且 n r );第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.(2)有理项是字母指数为整数的项解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解.(11)【2021年天津，理11, 5分】一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如下图(单位：m),那么该四棱锥的体积为 m3 .【答案】2【点评】正腼【解析】由中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积 S 2 1 2m2，棱锥的高h 3m

15、, V3Sh32m .【点评】1解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.2三视图中 正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.12 【2021年天津，理12,5分】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E , BE 2AE BD ED，那么线段CE的长为 .2 3 丁 过 D 作 DH AB于 H , I BE 2AE 2 , BD ED ,二 BH 二 DH2 AH ?BH 2，贝U DH 2，在 Rt DHE 中，贝U DE 由相交弦定理得： CE DE AE EB

16、,二CE AE EBDE【答案】【解析】HE 1 , AH 2, BHDH 2_HE厂2一3 "V .【点评】2 ,JD1 ,3 ,E1、解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：1 直接应用相交弦、切割线定理及其推论；2当比例式等积式中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似， 一般思路为 相似三角形t比例式t等积式在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握.2、应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关 的相似三角形等.13 【2021年天津，理13, 5分】f x是定义在R上的偶函数，且在区间,0上单调递增

17、.假设实数a满la 1f 2，那么a的取值范围是1 3【答案】丄,32 2【解析】 f x上单调递减,2，那么 a 11，即-2 2【点评】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的以形助数的方法有：轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效. 函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的根本方法， 数式的几何意义实现 数向 形的转化., 2X 2pt t为参数， y 2 pt是定义在R上的偶函数，且在区间|a 12，等价为f 21la 1I,0上单调递增， f x在区间0,1f 2，即.22|a 13 a21借助数2借助需注

18、意的问题是准确把握代14【2021年天津，理14, 5分】设抛物线p 0的焦点F ,准线为I .过抛物线上一点A作1的垂线，垂足为B 设C2p，0,AF与BC相交于点E 假设 CF|2 AF，且ACE的面积为3 2 ,那么p的值为【答案】6【解析】抛物线x 2pe (t 为参数，p 0)y 2pt的普通方程为：y2如图:过抛物线上一点 A作I的垂线,垂足为 B，设C 7 p,0 , AF与BC相交22px焦点为F和,于点 E . CF 2AF| ,|CF| 3p AB |AF可得 3safc sace . 即: 3-p , A p, 2p , ACE 的面积为 3 2 , 21 3p 2p 3

19、 2，解得 p 6 .2AE ABEF CF【点评】1凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.(2) 假设 P xo, yo 为抛物线y2 2px p 0上一点，由定义易得B x2,y2，那么弦长为|ABPF| x0 p ;假设过焦点的弦 AB的端点坐标为 AX1,% ,为X2 p , X1 x2可由根与系数的关系整体求出；假设遇到其他标准方程，那么焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.三、解答题：本大题共 6题，共80分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.【2021年天津，理15, 13分】函数f x 4tanxsin 2 x cos x 33 (2

20、)讨论f x在区间5 上的单调性.4 4解：1f x的定义域为xx k , k Z f x4tan xcosxcos x %f3 4sin xcos x 23314sin x cosx更 sinx罷 2sin xcosx2“sin2x灵221 求f x的定义域与最小正周期;解：1由，有P A C3C4 C4ci。2 随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P X 02 2 2C3C3C4C101 c3c3 c3c；C；0715，cMCo4石所以，随机变量X分布列为:sin2x . 3 1-cos2x 3 sin 2x 3cos2 x=2sin 2x .所以，f x 的最小正周期 T 一32(2

21、)令 z 2x -,函数y2sin z的单调递增区间是2k， 2k ,k 乙322由一2k2x 2k ，得一k5xk ,k 乙2321212设 A,B xkx 5k,kZ ,易知 AI B一,一 4 4121212 4所以，当x,时，f x在区间上单调递增，在区间一，一 上单调递减4 4124412【点评】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题,首先从角进行分析，善于用角表示所求角，即注重角的变换角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公 式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常

22、是先化为y Asin x k的形式，再利用三角函数的性质求解.角恒等变换要坚持结构同化原那么，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是 同化思想的表达；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式.16【2021年天津，理16, 13分】某小组共10人，利用假期参加义工活动.参加义工活动次数为1, 2,3的人数分别为3, 3, 4现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.1 设A为事件 选出的2人参加义工活动次数之和为 4求事件A发生的概率；2设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.13,所以，事件A发生的概率为3X012P

23、474151515随机变量X的数学期望E X 0 1 2 1 151515【点评】求均值、方差的方法1随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义公式求解；2随机变量E的均值、方差，求 E的线性函数n= aE+ b的均值、方差和标准差，可直接用E的均值、方差的性质求解；3如能分析所给随机变量是服从常用的分布如两点分布、二项分布等 ,可直接利用它们的均值、方差公式求解.17【2021年天津，理17, 13分】如图，正方形 ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平 面OBEF 平面ABCD，点G为AB的中点，AB BE 2 (1)(2)求证：EG/平面ADF ; 求二面角 O EF

24、C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点，且ah解：依题意，OF 平面ABCD，如图，以的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得2 HF，求直线3O为点，分别以O(0,0,0),BH和平面CEF所成角的正弦值.UJlf UU UUfAD, BA,OF的方向为x轴，y轴、z轴A 1,1,0 ,B( 1, 1,0),C(1, 1,0),D(1,1,0), E( 1, 1,2), F(0,0,2), G( 1,0,0).UULfUUf(1) AD (2,0,0), AFUU1, 1,2 .设n x,y,z为平面ADF的法向量，那么ULn1ULn1LUfAD uuAF(2)易证,即2x 0x y 2z 0

25、 又因为直线UUUOAJUUJU.不妨设z 1，可得厲 0,2,1 ,又EG平面ADF，所以EG/平面ADF .Ufx, y,z可得UUn 1,EG1,1,0为平面OEF的一个法向量.依题意,UJU EF UJU CF UUU OA UUU为平面CEF的法向量，那么UU Uf1,1 .因此有 cos OA, n20,1, 2，可得UULf ULEG n1所以，二面角O EFuuurEF1,1,0umr,CF1,1,2设UL n2UL n2OAC的正弦值为30,即0UU0y 2z于是sin不妨设0UUU UUOA,n22(3)由 AH HF3UUf从而BH2AF5UJlf因为AFUUUU1, 1

26、,2，所以 AH2 8 45'55UUT UU,因此 cos BH , n2UUf UUBH ri2UUf UUBH n22 UUf-AF5-.直线BH和平面 213 3 45 5 5CEF所成角的正弦值为二21，进而有【点评】1、利用数量积解决问题的两条途径：标运算.2、利用数量积可解决有关垂直、(2) a 4a ; (3) cos;a, b).Pllbl(18)【2021年天津，理18, 13分】an是各项均为正数的等差数列, 和an 1的等比中项.(1 )设 Cn一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐 夹角、长度问题.(1) a 0 ,公差为对任意的n N , b

27、n 是 an(2 )设 a1解：(1 )由题意得 所以Cn(2) Tnb2bn1bn2,n N，求证：数列2nTnk 1(1)kb2 , nN，求证bn anan 1，有 Cn 是等差数列.Cn是等差数列;n 丄 _1_k 1Tk 2dan 1an 2anan 12dan因此cn2d an 2an 12da?a2n2dn a2a2n2d2nn丄k 1 Tk1 n _12d2 k1k k 1【点评】分组转化法求和的常见类型(所以1 n奇k11) 假设12d212d求an的前n项和.(2)通项公式为an= bnG，且 bnbn, n为奇数, 3nCn, n为偶数Cn为等差或等比数列，可采用分组求和

28、法的数列，其中数列bn ,是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.2 (19)【2021年天津，理19,14分】设椭圆 笃a2y_113ea . 3的右焦点为F ,右顶点为A .OF OA FA '其中O为原点，e为椭圆的离心率.(1 )求椭圆的方程；(2)设过点A的直线I与椭圆交于点B ( B不在x轴上)，垂直于I的直线与I交于点M，与y轴交于点解：(1)设 F c,0H .假设 BF HF，且，由11OF |0A |FA因此a24，所以椭圆的方程为MOAMAO，求直线3c ,即 1c2x41a2 y3a(a3cc)I的斜率的取值范围.2,可得a2 22c 3c，又 ab23，所

29、以c21 ,(2)设直线I的斜率为k k 0 ,那么直线I的方程为设B XB,yB，由方程组 4y2y_3x消去y,整理得4 k23 x216k2x16k2 12解得从而yB12k4k2 :(1)知，F 1,0，设0,yH，有uuir FH1,yH28k 62 ，4k 3ujur,BF122由BFHF ,um 得BFiLurHF0,所以色_竺4k 3中,由题意得xB29 4k4k238k 62 ?4k 312k4k 3912k4k 设M Xmm，由方程组MOA MAO | MA | | MO |，即 xM12ky31xkk(x4k20，解得9 4k2yH12k消去2)4k2912ky，解得因此

30、直线MH的方程为Xm22 0k9 *.在 12(k1)MAO2 2yM2Xm20k 9yM，化简得Xm 1，即12(k1)1，解，空 U ',.44(1)利用判别式来构造不等关系，从而确 解这类问题的核心是在两个参数之间4)利用根本31 ax b , x R，其中 a ,(2 )假设f x存在极值点X0，且f X1f(3 )设a 0 ,函数g x f x，求证：X0 ，其中 X1 X0，求证：x 2X0 3 ；1g x在区间0,2上的最大值不小于 .4-或k .所以，直线I的斜率的取值范围为44【点评】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：定参数的取值范围；(2)利用参数的范围，求新参数的范围，建立等量关系；(3)利用隐含或的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围; 不等式求出参数的取值范围；(5 )利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.(20)【2021年天津，理20, 14分】设函数f(x) x(1 )求f x的单调区间;xx爲a,31區31 J3a 1 %/3a3