基本函数求导公式

1、设y二f(u)，而u =(X)且f(u)及(X)都可导，则复合函数y = f(x)的导数为基本初等函数求导公式(1)(C) =0(2)(x")-収心(sin x) = cosx(4)(cosx) = -sin x(5)(tan x) = sec2 x(6)(cot x)二- csc2 x(secx)二 secx tan x(8)(cscx) = -cscxcotx(9)(ax) =ax| na(10)(exr = ex(log a x)(ln x) = 1(11)x l n a(12)x1(arcsinx) -2(arccosx)" = 一 -(13)1 - x(14)J1

2、-；(arcta n x)厶(arccot x)厶(15)1 +x(16)1 + x函数的和、差、积、商的求导法则设u =u(x), v =v(x)都可导，则(1)(u _ v) = u - v(2)(Cu) = Cu ( C 是常数)(3)(uv)二 u v uv(4)#设y二f(u)，而u =(X)且f(u)及(X)都可导，则复合函数y = f(x)的导数为#设y二f(u)，而u =(X)且f(u)及(X)都可导，则复合函数y = f(x)的导数为反函数求导法则#设y二f(u)，而u =(X)且f(u)及(X)都可导，则复合函数y = f(x)的导数为#设y二f(u)，而u =(X)且f(

3、u)及(X)都可导，则复合函数y = f(x)的导数为若函数x =(y)在某区间Iy内可导、单调且(y) = 0，则它的反函数y = f(x)在对应#设y二f(u)，而u =(X)且f(u)及(X)都可导，则复合函数y = f(x)的导数为#设y二f(u)，而u =(X)且f(u)及(X)都可导，则复合函数y = f(x)的导数为区间Ix内也可导，且dxf (x)=1(y)dx dx 或dy复合函数求导法则dy dy du= Sdx du dx 或 y 二 f (U) r (x)2 .双曲函数与反双曲函数的导数 .双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求

4、出.可以推出下表列出的公式：(shx) '=chx(chx)" = shx1(thx)鼻匚亍ch x击“1(archxv11(arthx) = _21 -x(arsGQ 丿2(1 +x(arOTQ _ p2vx -1一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程f (x, y) =o求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导 出隐函数的导数公式.隐函数存在定理 1设函数F(x, y)在点P(xo, y。)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(Xo,yo) =0 ， , Fy(X0,y0)=O，则

5、方程F(x,y)=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f(x)，它满足条件yo = f(X。)，并有鱼二 _FadxFy公式(2)就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。将方程所确定的函数y = f(X)代入，得恒等式3F(x, f(x)三 0,其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍 然恒等，即得叭0, jx 鋼 dx由于Fy连续，且Fygyo) =0，所以存在(xo,yo)的一个邻域，在这个邻域内Fy = 0，于 是得dy _ _ FxdxFy如果F(x, y)的二阶偏导数也都连续， 我们可以把

6、等式(2)的两端看作x的复合函数而再一次求导，即得d2y _ _£dx2；:xFx + cFy丿內XFx dyFy ydxFxxFy -FyzFx F xy F y - F yy F x z F?Fy22 2FxxFy -2FXyFXFy FyyFXFy3FxFy22例1验证方程x y -0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时，y "的隐函数y二f(x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值。解设 F(x,y) =x2 +y2 1，则 Fx = 2x, Fy = 2y , F (0,1) = 0, Fy (0,1) = 2 式0.因此2 2

7、由定理1可知，方程x y -1=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时，y二1的隐函数y二f(x)。下面求这函数的一阶和二阶导数dy =_FxdxFydy dXx出d2y - y - xy72dx2 = yd2ydx2x =0隐函数存在定理还可以推广到多元函数既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F（x,y,z）=0（3）就有可能确定一个二元隐函数。与定理1 一样，我们同样可以由三元函数 F（X, y,z）的性质来断定由方程 F（x,y,z）=o 所确定的二元函数 z = （x, y）的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。隐函数存在

8、定理2设函数F（X, y,z）在点P（x0,y0，z0）的某一邻域内具有连续的偏导数，且 F （x0, yo, zo） = 0， Fz （xo, y0, z0）式 0，则方程 F （x, y, Z）=o 在点（xo, yo, zo）的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z = f （x,y），它满足条件zo 二 f （xo,yo），并有_:zF x :zFy.x = Fz 门=Fz .这个定理我们不证与定理1类似，仅就公式（4）作如下推导.由于f （x,y, f （x,y）三o,将上式两端分别对 x和y求导，应用复合函数求导法则得Fx+ Fz ；x =0,Fy + Fz

9、鋼=0。因为Fz连续，且卩2（）0忆0）所以存在点（x0,y0,z0）的一个邻域，在这个邻域内Fz工0，于是得.zF x :zFy-：x =Fz ,釣=Fz。-2:z2亠 2例2设xyz2 - 4z = 0，求；：X2.解设f (x,y,z)=2 2x y z2-4z，则 Fx=2x, Fz = 2z-4 应用公式(4), 得:zx.:x =：2 - z。再一次x对求偏导数，得丄氏-2(2 _ z) x _z _ex-2:x(2 -z)26(2-z)2(2-z)2 x2(2-z)3、方程组的情形7#F面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且#增加方程的个数，例

10、如，考虑方程组F(x,y,u,v) =0,_G(x,y,u,z) =0.(5)就有可能确定两个二这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组元函数。在这种情形下，我们可以由函数F、G的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。隐函数存在定理3设函数FCxydz)、G(x, y,u,v)在点Po(Xo,yo，uo,Vo)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F(xo，yo，Uo，Vo)= 0，G(Xo, yo，Uo，Vo) = 0且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比Jacobi)式):#在点 P0(x0,y0,u0,v0)不等于零，

11、则方程组 FXyU'V)"，G(x,y,u,v)=0 在点(x0,y0,U0,V0)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数u 二 u(x, y),v 二 v(x, y)，它满足条件u。=u(x。, y°),v° = v(x0,u°)，并有x 二 _ J ：'(x,v)FxGxFuGuFvGvFvGvrv 1 ：(F,G) 二 - J "u,X)FuGuFuGuFxGxFvGvFy FvGy Gv8.:uy1 ；:(F,G)Jr（y,v）FuGvFvGv:y这个定理我们不证：(F,G)r(u,y)FuGuFuGuFyGy乓Gv例3 设 XU - yv =0, yu XV =1，求ex, ex 和讷.解此题可直接利用公式（6），但也可依照推导公式（6）的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。将所给方程的两边对 x求导并移项，得；:u：