勾股定理竞赛培优

1、1.2.第一章勾股定理培优专题专题一、内容提要勾股定理及逆定理： ABC中 / C= Rt厶=a2 + b2=c2勾股定理及逆定理的应用作已知线段a的2 ,.3 ,5倍计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等。勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2+ b2=c2，那么这三个正整数 a,b,c叫做一组勾股数.勾股数的推算公式 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789 1853）任取两个正整数 m和n（mn）,那么m2-n2, 2mn, m2+n2是一组勾股数。 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc （n是正整数）也是勾股数。熟悉勾股数可提高计算

2、速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3, 4, 5;5, 12 ,13;7, 24, 25;8, 15, 17;9, 40, 41。1.常用勾股数口诀记忆常见勾股数3, 4, 5 :勾三股四弦五5, 12, 13 :5-12 记一生6, 8 , 10 :连续的偶数7 , 24 , 25 :企鹅是二百五8 , 15 , 17 :八月十五在一起3.4.5.特殊勾股数连续的勾股数只有3 , 4 , 5连续的偶数勾股数只有6, 8, 102.100以内的勾股数开头数字为20以内6.3 4 5 ; 5 12 13 ;6 8 10 ; 7 24 25 ; 8 15 17 ; 9 12 15 ; 9

3、 40 41 ; 10 24 26 ; 11 60 61 ; 12 16 20 ; 12 35 37 ;13 84 85 ; 14 48 50 ; 15 20 25 ; 15 36 39 ; 16 30 34 ; 16 63 65 ; 18 24 30 ; 18 80 82 二、例题求作线段.5例1.已知线段2a、.5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：、5 a = . 9a -4a2AAH = . AD-DH 2 ,FH= DF 2-DH 2/ AD BC ,AD DF AH FH,EH BHDE = . DH 2EH 2 ,BD = DHBH 2例6已知：正方形 ABCD

4、的边长为1，正方形EFGH内接于求：b a的值ABCD , AE = a, AF = b,且 Sefgh 3三、练习以下列数字为一边，写出 7, , _8, , 10, , 11, , 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值： 252 242=, 52+ 122=1.2. 9, , _ 12,：_5a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略） 例 2四边形 ABCD 中/ DAB = 60，/ B = Z D = Rt Z, BC = 1 , CD = 2求对角线AC的长例 3已知 ABC 中，AB = AC , Z B = 2Z A求证：AB2 BC2= AB X B

5、C例 4如图已知 ABC 中，AD 丄 BC , AB + CD= AC + BD求证：AB = AC例 5已知梯形 ABCD 中，AB / CD , AD BC求证：AC BD证明：作 DE / AC , DF / BC,交BA或延长线于点 E、FACDE和BCDF都是平行四边形 DE = AC , DF = BC , AE = CD = BF作DH丄AB于H,根据勾股定理 DE BD 即 AC BDMD 丄 BC, ME 丄 AC , MF 丄 AB ,EAFMB丿82 +152 =， V252 -152 =Sabc =CH =3. ABC中，AB = 25, BC = 20 , CA =

6、 15 , CM和CH分别是中线和高。那么_, MH =4. 梯形两底长分别是 3和7,两对角线长分别是 6和8,贝U S梯形=5已知： ABC 中，AD 是高，BE 丄 AB , BE = CD , CF 丄 AC , CF = BD 求证：AE = AF6已知：M是厶ABC内的一点,且 BD = BF, CD = CE 求证：AE = AF2 27在 ABC 中，/ C 是钝角，a -b =bc 求证/ A = 2 / B8求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）9已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长2 2 210等腰直角三角形 ABC斜边上一点P,求证

7、：AP + BP = 2CP11. 已知 ABC中，/ A = RtZ, M是BC的中点，E, F分别在 AB , ACME 丄 MF求证：EF2= BE2 + CF212. Rt ABC 中，Z ABC = 90，/ C= 600 , BC = 2, D 是 AC 的中点，从 D 作 DE丄 AC 与 CB 的延长线交于点E,以AB、BE为邻边作矩形 ABEF，连结DF，则DF的长是。（20XX年希望杯数学邀请赛，初二试题）100个不同的点P1, P2, P3,P100,2记 mi=APi +BPiX PiC (1=1,2 ,100)，贝U m1+m2 + + m1oo= 7. 知识点一：勾

8、股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a, b,斜边长为c,那么a2 + b2= c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 ,c2=（a+b）2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中陰私迥二依+砰二人仏处方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如

9、图（3） 1和（3） 2所示的两个形状相同的正方形。a . b(3)-1a在（3） 1中，甲的面积=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）， 在（3） 2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即:方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。C 4)(o + b)(&+占)22x-ab+-c22 2，所以。经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中，/ C=90 已知 a=6, c=10，求 b,（2）已知 a=40, b=9，求 c；（3）已知 c=25, b=15,求 a.思路点拨：写解的过程中，一定要先

10、写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：在厶ABC中，/ C=90，a=6， c=10,b=在厶ABC中，/ C=90，a=4O, b=9,c= 肿+沪二41在厶ABC中，/ C=90，c=25， b=15,a= JU 二 20举一反三【变式】：如图/ B= / ACD=90,AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在二中，_一JI ,二 -.求：BC的长.总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理举一反三【变式1】如图，已知:工一，二二

11、于P.求证：/“；【变式2】已知：如图，/ B= / D=90 ，/ A=60 , AB=4 , CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。类型三：勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东 60。方向走了订一 工到达B点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m到达目的地C点。(1 )求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地C在营地A的什么方向。总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出厶 ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米

12、，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ？（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路, 他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AE为4cm,EC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路

13、线的长是类型四：利用勾股定理作长为而的线段5、作长为、一；、，的线段。举一反三【变式】在数轴上表示类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确7、 如果 ABC的三边分别为a、b、c,且满足2 2 2a +b +c +50=6a+8b+10c，判断 ABC 的形状。举一反三【变式1】四边形ABCD中，/ B=90 , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13，求四边形ABCD的面积。【变式2】已知： ABC的三边分别为 m2 n2,2mn,m2+ n2（m,n为正整数，且m n）,判断 ABC是否为 直角三角形【变式3】如图正方形 ABCD , E为BC

14、中点，F为AB上一点，且BF= - AB。 请问FE与DE是否垂直？请说明。经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法住J1、若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组） 求解。举一反三 【变式1】等边三角形的边长为 2,求它的面积。【变式2】直角三角形周长为 12cm,斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1, n+2 , n+3,求n。思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。总结升华：注意直角三角形中两“

15、直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8, 15, 17B、4, 5, 6C、5, 8, 10D、8, 39,40【变式 5】四边形 ABCD 中，/ B=90 , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13 , 求四边形ABCD的面积。类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30。，点A处有 一所中学，AP = 160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 知拖拉机的速度为MN

16、上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条路”。他们仅仅少走了 步路（假设2步为1m）,却踩伤了花草。【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（3）过A作AK丄BC于点K（1 ）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）

17、图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少?（3）求出图中线段 AC的长（可作辅助线）。731 . 73一x 1 x * 【答案】（1）单位正三角形的高为-，面积是- 一 二。（2）如图可直接得出平行四边形 ABCD含有24个单位正三角形，因此其面24x -6/34。类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角 形问题来解决.3、如图所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC , D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE丄DF，若BE=12 , CF=5

18、 .求线段 EF的长。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半4、如图所示，已知 ABC中，/ C=90，/ A=60举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm ,总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的 线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法-+ ，求、1 的值。BC=10cm，求 EF 的长。10、若ABC 中，AB =13cm, AC =15cm，高 AD=12,则 BC的长为(A: 14 B : 4:1

19、4或4 D:以上都不对DB= 9。初二奥数竞赛第5讲D2.如图所示，在 那么边BC的长为1.如图，以等腰直角三角形 ABC的斜边AB为边向内作等边厶ABD连接DC以DC为边作等边 DCE B、 E在C D的同侧，若AB= 热，贝U BE=18、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 3dm 2dm, ?A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B点的最短路程是 24、如图，已知在厶 ABC中，CDL AB于 D, AC= 20, BC= 15,(1)求DC的长。求AB的长。27、如图，小红用一张长方形纸片 ABCD进行折

20、纸，已知该纸片宽 AB为8cm, ?长BC?为10cm .当小红折叠时，顶点 D落在BC边上的点F处(折痕为AE).想一想，此时 EC有多长？ ？3.如图，设 P是等边 ABC内的一点，PA=3, PB=4, PC=5则/ APB的度数是199?4. 如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997,那么另一条直角边的长为 .5. 若 ABC的三边a、b、c满足条件：+貲+手+338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为6. 如图，人。是厶ABC的中线，/ ADC=45，把 ADC沿 AD对折，点 C落在C处，贝U BC 与BC之间 的数量关系是BC =

21、BC.7. 如图， ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，PABC内一点，将 ABP绕点A逆时针旋转后与 ACP重合，如果 AP=3,那么线段PP的长等于 .&如图，已知 AB=13 , BC=14 , AC=15 , AD 丄BC 于 D，贝U AD=.9.如图，四边形 ABCD中, AB=3cm BC=4cm CD=12cm DA=13cm 且/ ABC=90，则四边形 ABCD勺面 积是cm2 .10. 如图，已知 P是厶ABC边BC上一点，且 PC=2PB若/ ABC=45，/ APC=60，求：/ ACB的大小.11. 一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角

22、三角形是否存在？若 存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由.12. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形.(1) 使三角形三边长为 3，总，_;(2) 使平行四边形有一锐角为45。，且面积为4.13.已知：如图，在证：CM=2BMABC中，AB=AC / A=120, AB的垂直平分线 MN分别交BC, AB于点 M N 求D为斜边15.在 ABC 中,AB=ACBC中点,DEL DF,求证：用卜=时+训.(1)如图，若点P是BC边上的中点，连接AP.求证：BP? CP -匸；(2)如图，若点 请说明理由；P是B

23、C边上任意一点，上面(1)的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立,(3)如图，若点P是BC边延长线上一点，线段 AB, AP, BP, CP之间有什么样的数量关系？画出 图形，写出你的结论.(不必证明)显示解析B组L AABC的周长是24, M是佃的中点.MC= MA - 5, A4RC的面积是（1999年全国联赛试题）2如图I 9-：5- 11，公路Z同侧有两村庄4,B,A村到公路/的距离AC = 4km,B村到公路Z 的距离BD = 2km,且 GD两点间的距离为8kmt 要在公路I上建一车站几使AP BP最小，则这 个最小值为.（1999年河北省竞奏题）图 I -9-5- 113在 A

24、BC 中AC2fBC 上有 100 个 不同的点戸虾鬥昇5鬥00,记mt = 4P? + RPj P（C（t 1.2,-J00）.则皿】+ m2 + m3 +柏00 = _*（1990年全国联赛试題）4. 已知 me是三边长为整数的玄角三角形，且iacbcabM下而各数可能是这个直角三角形的一条边长的是（）A-41B.51 C.6L D.71（1997年哈尔滨市竞赛題）5. 如图I -9-T-12.已知ZA = ZB.M.PPl.BBx均垂宜于命号】，AA = 17, PP)= 12,则 AP + PB 等于AJ2 B.13（ ）CJ4 D.15（1997年全国联赛试题Bi-9-5-13图 I

25、 - 9-5126创图1 -9 5-13,在等腰直角ABC的斜边仙上取两点使ZMC7V = 4S5，记AM - mMN二x t BN -疏，则以为边长的三角形的形状是A.锐角三角形C.钝角三角形( )B 直角三角形D.随着x.m.n的变化而变化(1妙 年安徴省竞赛JB)7.在中 17,G4= 18?J4f = 19,尸为磁内的一点,PD L HC 于 D.PEAC于E, PF丄佃于几且BD+CE + AFR求BD+BF的长.& ABC.AD是垃：边上的中线，点财在AB边上，点N在札边上,并aZMD/V=9（rTSttl果 BAf2 + C/V2 - DM2 + 初P求证：AD3 -AB2 +

26、4C2）.【知识点精讲】1勾股定理：2勾股定理的逆定理：3 勾股数：、4两种特殊的直角三角形：30的直角三角形45的直角三角形5两点之间最短，但蚂蚁在圆柱体表面爬行时，所走的路线必定是-线。6立体图形转化为图形，再转化为问题7勾股定理是求的长度的主要方法，若缺少直角条件则可以通过作垂线段的方法构造 RT，为勾股定理的应用创造必要的条件。8勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用，还经常利用方程求线段的和差等关系。【典型例题与思维拓展】 例1已知如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 ,AC=7,BC=24,CD是斜边AB上的高，求 CD 的长.拓展与变式练习11. 已知如图，在 Rt ABC中，

27、/ ACB=90 , BC=40,AB=41,CD是斜边上的高，求 CD的长。拓展变式练习21. 如图折叠长方形 ABCD先折出对角线 BD,再折叠AD边与BD重合，得到折痕DG若 AB=12,AD=9求 AG的长.2如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处,BF交AD于点E,AD=10 , AB=6，求 BDE的面积是多少？例 3 如图，在 ABC 中，/ BAC=90 ,AB=AC,D,E在 BC上，/ DAE=45 求证：cd2 +bE=dE .ABEDC拓展变式练习31. 已知如图，在 ABC中，/ A=90 ,DE为BC的垂直平分线,求证：BEJaC+AE22. 如图在

28、Rt ABC中，/ C=90 ,DA=DB,E F分别在 AC和 BC上，且 EDLDF, 求证：EF2 =AE +BF2B例4如图在四边形 的面积.ABC冲，已知/ B=90 ,AB=6,BC=8,CD=24,AD=26求四边形 ABCDDA拓展变式练习41. 如图，在四边形 ABCD中，已知 AB,BC,DA的长分别为2、2、2,且CD2 =12, AB丄BC,求/ DAB的度数.2. 如图在 ABC中 ,BC=6,AC=8,在厶ABE中,DE是AB边上的高，DE=7, ABE的面积为35,求ABC的形状. 例5若厶ABC的三边长a、b、c满足条件:a2 +b2 +c2 =10a+24b+

29、26c-338,试判断例6:（最短路径问题）有一个长宽高分别为 2cm, 1cm, 3cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C处，则它爬行的最短路程为 cm.变式拓展训练【变式 1 】 ABC中，AB=17cm BC=16cmBC边上的中线 AD=15cm ABC是三角形。2 2 2【变式2】（天府前沿）如果 ABC的三边a、b、c满足（a-b）（a +b -c ）=0 ,那么 ABC 定是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【变式3】如图，A B两个小集镇在河流 CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在

30、要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置 M使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？BA$ L【创新探究】1. （教材1+1.思维拓展）如图，在 ABC中，AB=5,AC=13,BC边上的中线 AD=6求证： ABD为直角C三角形。 2. （2009中考）若厶ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此三角形为 三角 3. (2008 天津)在 Rt ABC 中 AC=BC, / C=90, 求证：af2+b(Q=p(Q（天津市竞赛？变形）4.如图，在 ABC中, AB=AC P为BC上任意x P

31、C 5.（天府前沿?2010培优）Rt ABC 一直角边的长为 11,另两边为自然数，则Rt ABC的周长为 6.（天府前沿?2010培优）如图，在 ABC中，/ ACE=90o, AC=BC P是厶ABC内的一点，且 PB=1, PO2, PA=3,求/ BPC勺度数. 7. （20XX年“希望杯”晋升训练）已知ABC中,求证：AB2 BC2= AB x BC （方法：构造直角三角形）AB = AC，/ B = 2 /A。拓展变式练习5已知 a、b、cABC的三边长，且满足条件：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断 ABC勺形状.【思维与能力提升】1. 如图在 ABC中, CE

32、平分/ ACB CF平分/ ACD且EF/ BC交AC于点M若CM=5 求ce2+cf2的值2如图， ABC是直角三角形，/ CAB=90 , D是斜边BC上的中点，E、F分别是 AB AB边上的点，且 DE丄 DF.（1 ）（如图 1 ）若 AB=AC, BE=12, CF=5，求 DEF 的面积。（2）（如图 2）求证： BE2 CF2 = EF2（3）设AB=6点E,F在AB,AC上移动，且保持/ EDF=90 ,设AE=x当 其从1开始逐渐 变为5 （每次增加1）时，写出EF的长度，并猜想点E移到何位置时EF最短.【家庭作业】A卷一、选择题1 直角三角形的两直角边分别为A . 6B.8 C.5、12,则斜边上的高为（8060D. 13132. 已知 Rt ABC中，/ C=90，若 a+b=14cm,c=10cm则 Rt ABC的面积为(A.24cmB. 36cm 2C.48cmD. 60cm3. 等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为（）A. 56B.48C.40D.324. 如图 ABC中, / B=90,两直角边AB=7 BC=24三角