勾股定理逆定理及综合应用

1、勾股定理逆定理及综合应用教学目标：掌握勾股定理逆定理，并能结合勾股定理进行综合应用教学内容解析：1 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.2. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常 用的勾股数有 3、4、5; 6、8、10; 5、12、13 等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和，再把它和最大边的平方比较4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定 理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的

2、应 用.例题解析:【例1】如图，已知四边形 ABC冲，/ B=90° , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13，求四边 形ABCD的面积.分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC,可实现四边形向三角形转化, ACD是直角三角形解：连接AC,在RtA ABC中，AC2=AB2 + BC2=32 + 42=25 ,/ AC=5.在厶 ACD 中，T AC2+ CD2=25 + 12169 , 而 AB2=132=169, AC2 + CD2=AD2，二 /acd=90 .£ £ £ £故 S 四边形 abcd=Saabc

3、+ Saacd= AB BC+ J ACCD=X3X4+ M X5X12=6 + 30=36.答：四边形 ABCD的面积为：36.【例2】如下图，南北向 MN为我国领域，即 MN以西为我国领海，以东为公海 上午9 时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇 C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来， 便立即通知正在 MN线上巡逻的我国反走私艇 B.已知a、C两艇的距离是 13海里，A、B两 艇的距离是5海里；反走私艇测得离 B艇的距离是12海里若走私艇C的速度不变，最早 会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的 跨度”可将原问题分解成下述 子问题” （1） ABC是什么 类型的三角形？

4、（ 2 ）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？ （ 3）走私艇C最早会在什么 时间进入？这样问题就可迎刃而解 解：设 MN 交 AC 于 E,则/ BEC=900.又 AB 2+BC2=52+122=169=13 2=AC2, ABC是直角三角形，/ ABC=900.又 MN丄CE ,走私艇C进入我领海的最近距离是线段CE的长，贝V CE2+BE2=144 , （13-CE） 2+BE2=25，得 26CE=288,144144144 CE= 13 , TT T3=l矽 0.85（小时），0.85 >60=51 （分）9时50分+51分=10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国

5、领海.【例3】如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶 A处，利用拉在 A处的滑绳AC ,滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB.解：设AD=x米，贝U AB为（10+x）米，AC 为（15-x）米，BC 为 5 米， （x+10）2+52=（15-x）2 ,解得x=2 , AB=10+x=12 （米）答：树高AB为12米。【例4】如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10叫宽为4叫将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD

6、上平行移动： 能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点 P在AD上移动，直角边 PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2 cm?若能，请你求出这时 AP的长; 若不能，请说明理由解：设AP=x，则根据题意可得?+16+(10-i)a+16=100化简可得二'-:.(i-2)(x-8) = 0解得x=2或8答：存在，AP=2或8.过点E作BC边的垂线可转化为，解得AP=4.【例5】如图，E、F分别是正方形 ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4, CEI

7、BC,F为CD的中点，连接 AF、AE，问 AEF是什么三角形？请说明理由.解：由勾股定理得 AE2=25, EF2=5, AF2=20, I AE2= EF2 +AF2, - AEF是直角三角形【例6】如图，已知等腰 ABC的底边BC=20cm , D是腰AB上一点，且 CD=16cm , BD=12cm，求 ABC的周长.877解：由 BD2+DC2=122+162=202=BC2,得 CD丄AB，又 AC=AB=BD+AD=12+AD ,在 Rt ADC 中,AC2=AD 2+DC2,即(12+AD) 2=AD2+162，解得 AD= 一 ,53- 故厶ABC的周长为：2AB+BC= 一 cm【例7】如图，在 ABC中，/ ACB=90 , AC=BC , P是厶ABC内的一点，且 PB=1 , PC=2 , PA=3，求/ BPC 的度数.解：如下图，将 APC绕点C旋转，使