线性代数知识点全归纳

1、线性代数知识点全归纳Newly compiled on November 23, 2020线性代数知识点1、行列式1 .行列式共有2个元素，展开后有!项，可分解为2"行列式；2 .代数余子式的性质：、Ag和的大小无关：、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|冏：4代数余子式和余子式的关系：/% = (T产勺& = (-1),+<W.4 .设行列式将。上、下翻转或左右翻转，所得行列式为R,则2=(-1)-。：将O顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为.，则N=(T)FO：将。主对角线翻转后(转置)，所得行

2、列式为2,则2 = 0：将。主副角线翻转后，所得行列式为则2=0;5 .行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积：、副对角行列式：副对角元素的乘积x(T)一：、上、下三角行列式(|、|=|4|):主对角元素的乘积；、|，|和|/|：副对角元素的乘积x(T)b：、拉普拉斯展开式：:":训|叫、山严国|叫、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积：、特征值；6 .对于阶行列式|A|,恒有：RE-用=乃+之(-1)飞产,其中羽为上阶主子式:7 .证明|A卜。的方法：、|A| = -|A|；、反证法；、构造齐次方程组Ar=0,证明其有非零解：、利用秩,证明，(A)：、证明0是其特征值；

3、2、矩阵1.A是阶可逆矩阵：o 141Ho （是非奇异矩阵）：Or（A）= （是满秩矩阵）O A的行（列）向量组线性无关：O齐次方程组Ar = 0有非零解：0 Pbe K', Ax =b 总有唯一解；o A与E等价；o A可表示成若干个初等矩阵的乘积；O A的特征值全不为0：O A7是正定矩阵：=A的行（列）向量组是炉的一组基；O A是炉中某两组基的过渡矩阵：2,对于阶矩阵A： A4=A;4 = |A|E无条件恒成立;3.(AT).=S)T（“丫 =（ar）t4 .矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头：行列式是数值，可求代数和:5 .关于分块矩阵的重要结论，其中均4、5可逆：'A

4、'若4=& .,则：*.S /不II、aJ a；，；*' （o :图：主对角分块,、（：» 2）（副对角分块）、诊m（拉普拉斯）、A O-1A-1CC B=-Eg4T b（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个小x 矩阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：等价类：所有与4等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类：标准形为其形状最简 单的矩阵：对于同型矩阵A、B ,若/(A)=r(6) U> AB ;2 .行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得：、每行首个非。元素必须为1：、每行首个非。元素所在列的其他元素必须为0：3 .初等

5、行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)、若(A.E)二(E.X),则 A 可逆，且 X=A-i;、对矩阵(46)做初等行变化，当A变为E时，就变成“必，即：、求解线形方程组：对于“个未知数个方程Ax=b，如果(A.b)二(瓦x),则A可逆，且 x = A'b :1 .初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩 阵：4、A= " .,左乘矩阵A,4乘A的各行元素：右乘，4乘A的各列元素：、对调两行或两列，符号E(iJ),且E(ijy'=E(i,j),例如：1 V' r 11 = 1 :

6、< d b、倍乘某行或某列，符号E(i(k),且E(i(k)Yl =E(i(-),例如： k“ yl p 、k =1 (AhO)：某行或某列，符号E(ij(k) 9且=E(我一储),如：(1 -k1(A = 0);2.矩阵秩的基本性质：、0«r(As)S min(/n.)：、r(Ar) = r(A)：、若4» ,则r(A) = r(8)：、若P、0可逆，则r(A) = r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)：(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max(r(A),r(2?) < r(A.B) < r(A) +r(B) ： ( X )、r(A4-B)<r(A)+r

7、(B) ： (X)、r(AB)< min(r(Ahr(B): ( X)、如果A是机x矩阵，8是”xs矩阵，且AB = O,则：(X)I、8的列向量全部是齐次方程组"=0解(转置运算后的结论)；H、r(A) + r(B) </、若A、均为阶方阵，则r(AB)Nr(A)+r(5)- ：3.三种特殊矩阵的方哥：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)X行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;(、型如0<0b的矩阵：利用二项展开式;1,(。+方尸=cy+ + C：a/fEb/w +C；T""i +C； =加-0注：【、m+b)”展开后有+i项:n(n -

8、1)(一 胴+ 1)!?!(一，)!C = c：=iIIK组合的性质：C： =C豆c；=2"y =仁：、利用特征值和相似对角化:r(A) = n r(A) = n-l ：r(A) </-14 .伴随矩阵：n、伴随矩阵的秩：r(A,)= 10、伴随矩阵的特征值：(AX =AX.A' =AAl A'X=X):、A- = |A|A- |A*| = |Af'5 .关于A矩阵秩的描述：、r(A) = n, A中有阶子式不为0, + 1阶子式全部为0：(两句话)、r（A）<n , A中有阶子式全部为0；、r（A）>n，A中有阶子式不为0：6 .线性方程组

9、：Ax=b t其中A为帆x矩阵，则：、加与方程的个数相同，即方程组Ar=b有机个方程；、与方程组得未知数个数相同，方程组Ar=。为元方程:7 .线性方程组Ax=b的求解：、对增广矩阵8进行初等行变换（只能使用初等行变换）：、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；由个未知数九个方程的方程组构成元线性方程:8.（向量方程,A为机x/i矩阵，加个方程，“个未X飞、（卬勺）刈=#（全部按列分块，其中6= %）； I IUJbn）、41玉+,*2+=/（线性表出）、有解的充要条件：r（A） = r（A/）W（为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1 .m个维列向量所组成的向量组

10、A ： 4%,即构成x/矩阵A =:4机个”维行向量所组成的向量组5 ：斤£,£构成mx 矩阵5=弓； .含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应：2 .、向量组的线性相关、无关=Ar = 0有、无非零解：（齐次线性方程组）、向量的线性表出=心=方是否有解：（线性方程组）、向量组的相互线性表示=4V = 3是否有解：（矩阵方程）3 .矩阵4小与即"行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组4r =0和Br=0同解:（尸刈例14）4 . r（ATA）=r（A）；（尸例5 . 维向量线性相关的几何意义：、a线性相关<=> a=0：、a/线性相关o a.尸坐标

11、成比例或共线(平行)：、a/.y线性相关=a/.y共面：6 .线性相关与无关的两套定理：若.a,.线性相关，则a;.%、必线性相关；若,a,线性无关，则必线性无关：(向量的个数加加减减，二者为对 偶)若/维向量组A的每个向量上添上个分量，构成维向量组6：若A线性无关，则B也线性无关：反之若8线性相关，则A也线性相关：(向量组的维 数加加减减)简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定：7 .向量组从(个数为r)能由向量组3 (个数为s)线性表示，且A线性无关，则/“5；向量组A能由向量组6线性表示，则r(A)4r(8);向量组从能由向量组6线性表示=4¥ = 3 有解：r(A) = r

12、(A.B)向量组A能由向量组B等价=r(A) = r(B)=r(A. B)8 .方阵A可逆O存在有限个初等矩阵匕使A = <R"：、矩阵行等价：屋5 =正4=5 (左乘，尸可逆)=Ar=O与所=()同解、矩阵列等价：A：8 = AQ = 8 (右乘，Q可逆)；、矩阵等价：AB = P4Q = 8 (尸、。可逆)：9 .对于矩阵。川与星”：、若4与6行等价，则A与8的行秩相等；、若4与8行等价，则Ar=O与Kr=O同解，A与8的任何对应的列向量组有相同的 线性相关性：、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩：、矩阵A的行秩等于列秩：1。,若4/1=“，则：、C的列向量组能由4的列向量组线性

13、表示，8为系数矩阵：、C的行向量组能由8的行向量组线性表示，不为系数矩阵；(转置)11 .齐次方程组所 = ()的解一定是收=0的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证 明】、ABx=0 只有零解=Ar =0只有零解；、Bx = 0有非零解=W=0一定存在非零解：12 .设向量组约犷：&也,也可由向量组4心线性表示为:(4 也，4)=(%，4)K( B = AK )其中K为sxr,且A线性无关，则8组线性无关= r(/O = r； ( 5与K的列向量组具有相同 线性相关性)(: v r = r(B) = r(AK) < r(K),r(K) < r,/. r(K) = r

14、 ：充分性：反证法)注：当/ = §时，K为方阵，可当作定理使用；13 .、对矩阵七仙，存在。3,，AQ = EmOr(A) =机、。的列向量线性无关；、对矩阵4仙，存在心帆，PA = EOr(A) = 、尸的行向量线性无关；14 .线性相关O存在一组不全为0的数A1.&£，使得A© +A& +=0成立；（定义）'X| '0（即3.）=0有非零解，即Ar=o有非零解： 9O，（q%,.）<$，系数矩阵的秩小于未知数的个数：15 .设小的矩阵A的秩为r ,则元齐次线性方程组Ar=0的解集S的秩为： r（S） = /f-r ：16

15、 .若为Ar= 的一个解，左刍,©-为Ax=0的一个基础解系，则 ，4,蚤，4T线性 无关；5、相似矩阵和二次型1 .正交矩阵= E或A=A7（定义），性质：、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即、若A为正交矩阵，则A-A，也为正交阵，且|4| = ±1：、若A、5正交阵，则Ab也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2 .施密特正交化：q）瓦=册；4= 一如 力0也也瓦一一生土”1女；- - I3IAM也24】-%,%一3 .对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关：对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交：4 .、4与8等价 0 A经过

16、初等变换得到6 ：=PAQ = B , P、0 可逆；<r（A） = r（B） , A 5 同型：、A与8合同 OCAC = 8,其中可逆：= xAx与3&有相同的正、负惯性指数；、A与8相似=尸-幺= 8：5. 相似一定合同、合同未必相似：若C为正交矩阵，则ClC = 6 = A-3,（合同、相似的约束条件不同，相似的更严 格）：6. A为对称阵，则4为二次型矩阵：7. 元二次型/4r为正定：=A的正惯性指数为；OA与E合同，即存在可逆矩阵C,使CAC = E：O A的所有特征值均为正数；=A的各阶顺序主子式均大于0：=%>0.同>0：（必要条件）第一章随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清；全概逆概百分比，二项分布是核心；必然事件随便用，选择先试不可能。第二、三章一维、二维随机变量1）离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件