非线电路中的混沌现象实验报告

1、基础物理实验报告第 26 页非线性电路中的混沌现象学号： 37073112姓名：蔡正阳2009 年 3 月 24 日五：数据处理：1 计算电感LRLC 谐振规律，当输入激励的频率本实验采用相位测量。根据12 LC时， RLC 串联电路将达到谐振，L 和 C 的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45 度斜线。测量得：f=32.8kHz ；实验仪器标示：C=1.095nF由此可得：L14 2 f 2C21.50mH129324 3.142 1.095 10 9 (32.8 103)2估算不确定度：估计 u(C)=0.005nF ， u(f)=0.1kHz则：u(L) 4u2(f) u2(

2、C)7.6 103Lf2 C2即 u(L) 0.16mH最终结果：L u(L) (21.5 0.2)mH2用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理：1 ）原始数据：RVRVRV71200-122044.9-81753.4-421000-11.82036.2-7.81727.5-3.812150-11.62027.2-7.61699.6-3.68430-11.42017.8-7.41669.4-3.46390-11.22007.9-7.21636.7-3.25100-111997.5-71601.2-34215-10.81986.7-6.81562.4-2.83564-10.61

3、975.3-6.61519.7-2.63070-10.41963.4-6.41472.3-2.42680-10.21950.9-6.21420-2.22369-101937.6-61360.9-22115-9.81923.7-5.81295.1-1.82103.1-9.61909-5.61281.8-1.62096.8-9.41893.4-5.41276.7-1.42090.2-9.21876.9-5.21270.1-1.22083.4-91859.5-51261.1-12076.3-8.81840.9-4.81247.8-0.82068.9-8.61821.2-4.61226-0.62061

4、.2-8.41800.1-4.41148.9-0.42053.3-8.21777.6-4.21075-0.22）数据处理：UR根据 I R R 可以得出流过电阻箱的RKCL 方程和 KVL 方程可知：I R1 I RU R1 U R由此可得对应的I R1 值。对非线性负阻R1 ， 将实验测得的每个（ I ， U） 实验点均标注在坐标平面上，可得：I-V 图（实验值）I00050.00450.0040.00350.0030.00250.002000150.00100005V-14-12-10-8-6-4-20图中可以发现，（ 0.0046336， -9.8）和（0.0013899， -1.8）两

5、个实验点是 折 线 的拐 点。 故 我们在12 U 9.8V 、9.8 U 1.8V 、1.8 U 0V 这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲线。使用 Excel 的 Linest 函数可以求出这三段的线性回归方程：0.002032U - 0.02453093 2-12 U 9.78I - 0.00041U 0.00065195 3- 9.78 U -1.72- 0.00079U-1.72 U 0经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（ r=0.99997） ， 证明在区间内I-V 线性符合得较好。应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0 区间的 I-U 曲线。

6、将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在U>0 区间的 I-U 曲线：I-V 图（线性回归）5.00E -034.00E -03I/A3.00E -0322.00E -031.00E -030.00E +00U-15.00-12.0-10.0-7.50-5.00-2.500.002.505.007.5010.0012.5015.00-1-2.00E -03.00E -03.00E -03-4.00E -03-53观察混沌现象：（ 1 ）一倍周期：一倍周期2）两倍周期：Vc1-tVc1-t两倍周期3）四倍周期：Vc1-t四倍周期4)单吸引子：单吸引子Vc1-t三倍周期(5)双吸引子：双吸引子V

7、c1-t4使用计算机数值模拟混沌现象：( 1 )源程序(Matlab 代码) ：算法核心：四阶龙格库塔数值积分法文件1： chua.mfunction xx=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no) h=0.01;a=h/2;aa=h/6;xx=;for j=1:symbol_no;k0=chua_map(x,time_variable,aaa);x1=x+kO*a;k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);xl=x+k1*a;k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(

8、x1,time-variable,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);xx=xx x;end文件2： chua_initial.m:function x0=chua_initial(x,aaa)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;x=-0.03 0.6 -0.01'k0=chua_map(x,1,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(xl,1,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,1,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,1,aaa);x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);for k=2

9、:400kO=chua_map(x,k,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(xl,k,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);endx0=x;文件3： chua_map.m:functionx=chua_map(xx,time_variable,aaa) m0=-1/7.0;m1=2/7.0;if xx(1)>=1hx=m1*xx(1)+m0-m1;elseif abs(xx(1)<=1hx=m0*xx(1);else

10、hx=m1*xx(1)-m0+m1;endA=0 9.0 01.0 -1.0 1.0O aaa 0;x=A*xx;x=x+-9*hx 0 O'文件4： chua_demo.mx0=0.05*randn(3,1);x0=chua_initial(x0,-100/7);xx=chua(x0,1,-100/7,20000);plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end);xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)');figure;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end)xl

11、abel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)'); (2)对于本实验，其微分方程组的求解还可以采用离散化的处理。具体代码如下： ( Matlab 代码)function discrete_chaidt=0.04;c1=1/9;c2=1;L=1/7;G=0.7;N=10000;a0=0.8;a1=0.1;MT=1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1;UVI=zeros(3,N);UVI(:,1)=0.1;0.1;0.1;for

12、k=1:N-1;Bd=-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a12*UVI(1,k)2/3-1);0;0;UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k)+Bd;endplot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end);xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)');figure;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end) xlabel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)');经验证：该代

13、码的执行效率比四阶龙格库塔数值积分法要高，但初始精度稍差。2）数值仿真结果：改变 G 的值，当G=0.7 时，数值仿真出现双吸引子：Uc1-Uc2 图使用 matlab 的 Plot3 可以做出I-Uc1-Uc2 的三维图：I-Uc1-Uc2 图Plot 做出 I 、 Uc1 和 Uc2 对时间的曲线：改变 G 值，使 G=0.35，数值仿真出现单吸引子：Uc1-Uc2 图使用 matlab 的 Plot3 可以做出I-Uc1-Uc2 的三维图：Plot 做出 I、 Uc1 和 Uc2 对时间的曲线：在结果中可以看到，计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的 相图极为相似。同时利用计算机可以方便

14、地更改系统参数，充分显现 出计算机仿真的优越性。六、选做实验：费根鲍姆常数的测量：以 G 作为系统参数，将RV1+RV2由一个较大值逐渐减小，记录出现倍周期分岔时的参数值Gn，得到倍周期分岔之间相继参量间隔之比：lim Gn Gn1n Gn 1 Gn测量时 n 越大 值越趋近于费根鲍姆常数。在本实验中由于条件限制，费根鲍姆常数的近似值可取：(R1 R2)R3(R2 R3)R1实验测得：R1=8700； R2=11060 ； R3=11829。代入上述公式，可得：4.1728七、实验后思考题：1 什么叫相图？为什么要用相图来研究混沌现象？本实验中的相图是怎么获得的？答：将电路方程x=V 1（t）

15、和y=V2（t）消去时间变量t而得到的空间曲线，在非线性理论中这种曲线称为相图。在非线性理论中，我们会看到使用运动状态之间的关系，更有利于揭示事物的本质，它突出了电路系统运动的全局概念。在本实验中，示波器CH1 端接 Vc1电压， CH2 端接 Vc 2电压，这样就能获得Vc1-Vc2相图。2什么叫倍周期分岔，表现在相图上有什么特点？答：系统在改变某些参数后，运动周期变为原先的两倍，即系统需要两倍于原先的时间才能恢复原状。这在非线性理论中称为倍周期分岔。倍周期分岔在相图上表现为原先的一个椭圆变为两个分岔的椭圆，运动轨线从其中的一个椭圆跑到另一个椭圆，再在重叠处又跑到原来的椭圆上。3什么叫混沌？

16、表现在相图上有什么特点？答：混沌大体包含以下一些主要内容：（1） 系统进行着貌似无归律的运动，但决定其运动规律的基础动力学却是决定论的；（2） 具体结果敏感地依赖初始条件，从而其长期行为具有不可测性；（3） 这种不可预测性并非由外界噪声引起的；（4） 系统长期行为具有某些全局和普适性的特征，这些特征与初始条件无关。混沌在相图上的表现为轨道在某侧绕几圈似乎是随机的，但这种随机性和真正随机系统中不可预测的无规律又不相同。因为相点貌似无规律地游荡，不会重复已走过的路，但并不是以连续概率分布在相平面上随机行走，类似“线圈”的轨道本身是有界的，显然其中有某些规律。4 什么叫吸引子？什么是非奇异吸引子？什

17、么是奇异吸引子？表现在相图上有什么特点？答：在系统条件一定下，无论个它什么样的初始条件，最终都将落入到各自的终态集上，这些终态集被称为“吸引子”。周期解的吸引子称为非奇异吸引子，非周期解的吸引子称为奇异吸引子。5什么是费根鲍姆常数？在本实验中如何测量它的近似值？答：对于某一系统，改变参量r，当r=r 1 时可以看到系统由稳定的周期一变为周期二，继续改变r，当当r=r 2时周期二失稳，同时出现周期四，如此继续下去。定义：lim rnn1nrn 1rn常数被命名为费根鲍姆常数。测量时n 越大值越趋近于费根鲍姆常数。在本实验中由于条件限制，费根鲍姆常数的近似值可取：(R1 R2) R3(R2 R3)

18、 R16非线性电阻R 的伏安特性如何测量？如何对实验数据进行分段拟合？实验中使用的是哪一段曲线？答：测量非线性电阻R 时，把电感从电路中取出，这样可以把有源非线性负阻R 与移相器的连线隔开。将电阻箱R0和有源非线性负阻并联，改变电阻箱R0 的电阻值，用数字电压表测U RO，获得有源非线性负阻在U<0V 时的伏安特性。分段时，先将实验点画在坐标平面上，确定拐点的位置，然后分组进行一元线性回归拟合。实验中使用的是U<0V 时的伏安特性曲线，需要和原点对称，获得U>0V 时的伏安特性曲线。八、实验感想：在本次实验中，我初步了解了混沌的一些知识，并对混沌的理论和实际应用产生了兴趣。在

19、实验后，我通过查阅相关资料了解到，20 多年来，混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序与无序的统一、稳定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人类对客观世界的认识。混沌现象在非线性科学中指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。混沌现象是自然界中的普遍现象，天气变化就是一个典型的混沌运动。而在

20、人类的实际生活中，混沌的机理也被广泛地应用在秘密通信、改善和提高激光器的性能等方面。在实验中我通过观察现象，加深了对RLC 电路谐振的理解，并了解到这种原理在测量领域中的应用。同时，在测量非线性电阻R 的伏安特性曲线中，通过思考连线方法和测量方法，锻炼了实验的能力。参考资料：1杨晓松，李清都混沌系统与混沌电路北京：科学出版社，20072孙志忠数值分析第二版南京：东南大学出版社，20023 冯久超，陈宏滨蔡氏电路的仿真研究华北航天工业学院学报Vol 15 suppl， Jun 2005在结果中可以看到，计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的 相图极为相似。同时利用计算机可以方便地更改系统参数，充

21、分显现 出计算机仿真的优越性。基础物理实验报告第 38 页三倍周期单吸引子双吸引子使用计算机数值模拟混沌现象：( 1 )源程序(Matlab 代码) ：算法核心：四阶龙格库塔数值积分法文件1： chua.mfunction xx=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no) h=0.01;a=h/2;aa=h/6;xx=;for j=1:symbol_no;k0=chua_map(x,time_variable,aaa);x1=x+kO*a;k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);xl=x+k1*a;k2=chua_map(x1,time_

22、variable,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,time-variable,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);xx=xx x;end文件2： chua_initial.m:function x0=chua_initial(x,aaa)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;x=-0.03 0.6 -0.01'k0=chua_map(x,1,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(xl,1,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,1,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,1,a

23、aa);x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);for k=2:400kO=chua_map(x,k,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(xl,k,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);endx0=x;文件3： chua_map.m:functionx=chua_map(xx,time_variable,aaa) m0=-1/7.0;m1=2/7.0;if xx(1)>=1hx=m1*xx(1)+m0-m1;el

24、seif abs(xx(1)<=1hx=m0*xx(1);elsehx=m1*xx(1)-m0+m1;endA=0 9.0 01.0 -1.0 1.0O aaa 0;x=A*xx;x=x+-9*hx 0 O'文件4： chua_demo.mx0=0.05*randn(3,1);x0=chua_initial(x0,-100/7);xx=chua(x0,1,-100/7,20000);plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end);xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)');figure;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end)xlabel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)&