随机变量及其概率分布、超几何分布

1、导学目标：1. 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性 .2. 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用自主梳理1 离散型随机变量的分布列(1) 随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做(2) 假定随机变量X有 n 个不同的取值，它们分别是x1， x2，xn，且P(X xi) pi， i 1,2 ，n，则称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列也可以将用表Xx1x2xnPp1p2pn来表示，并将此表称为随机变量X的概率分布表它和都叫做随机变量X的概率分布它们具有的性质： pi0， i 1,2 ， n； p1p2pn .2如果

2、随机变量X的分布表为X10Ppq其中0<p<1， q 1 p，则称随机变量X服从 或0 1 分布3超几何分布列在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件X k 发生的概率为P(X k) ， (k 0,1,2 ，m)，其中mminM，n，且nN，MN，n、M、N N*. 随机变量X的分布列具有以下表格的形式.X01mP0 n 0CMCN MCnNC1MCnN 1M CnNm n mCMCN M CnN则称随机变量X服从超几何分布记为X H(n， M， N)自我检测1 袋中有大小相同的红球6 个、白球5 个，从袋中每次任意取出1 个球，直到取出的球是白球时

3、为止，所需要的取球次数为随机变量 ，则 的所有可能值为2一批产品共50 件，其中5 件次品，45 件合格品，从这批产品中任意抽两件，其中出现次品的概率是3已知随机变量X的分布列为P(X i) 2ia(i 1,2,3) ，则P(X 2) .4 设某项试验的成功率是失败率的2 倍， 用随机变量 描述 1 次试验成功的次数，则 P( 0) 5 (2018 ·苏州模拟 ) 从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有 个红球，则随机变量的概率分为.探究点一离散型随机变量的概率分布例 1 一袋中装有编号为1,2,3,4,5,6 的 6 个大小相同的球，现从中随机取出3 个球，

4、以X表示取出的最大号码求 X 的概率分布变式迁移1 将 3 个小球任意地放入4 个大玻璃杯中去，杯子中球的最大数记为 ，求 的概率分布探究点二超几何分布例 2 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有用 X表示其中的男生人数，求X的概率分布6 名男生，4 名女生，从中选出4 人参加数学竞赛考试，变式迁移2 从 4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛设随机变量X表示所选3 人中女生的人数(1) 求X的概率分布；(2) 求“所选 3 人中女生人数X1”的概率探究点三离散型随机变量分布列的应用例 3 袋中装着标有数字1,2,3,4,5 的小球各2 个，从袋中任取3 个小球，按3 个小球上最大数

5、字的9 倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3 个小球上的最大数字，求：(1) 取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；(2) 随机变量X的概率分布；(3) 计分介于20 分到 40 分之间的概率变式迁移3 袋中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中随机地抽取4 个球，设取到一个红球得2 分，取到一个黑球得 1 分(1) 求得分 X的概率分布；(2) 求得分大于6 的概率1 随机变量是把随机试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件随机变量和函数都是一种映射，随机变量把试验结果映射为实数，函数把实数映射为实数，在这两种映射之间，试验的结果相当于函数的定义域，随机变

6、量的取值相当于函数的值域，我们把随机变量的取值范围称为随机变量的值域2求解分布列要注意以下几点：搞清随机变量每个取值对应的随机事件；计算必须准确无误；注意运用概率分布的两个性质检验所求的概率分布是否正确( 满分： 90 分 )一、填空题( 每小题 6 分，共 48 分 )1 设 X是一个离散型随机变量，其概率分布为101P121 2q2 q则 q 的值为 2袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5 五个号码，任意抽取2 个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为a3已知随机变量 的分布列为P( k) 2k， k1,2,3,4. 则 P(2< 4) .4已知随机变量

7、的概率分布如下：12345678910222222222P33233343536373839m则 P( 10) .5在15 个村庄中有7 个村庄交通不方便，现从中任意选10 个村庄，用X表示这 10 个村庄中交通不方便C47C68P(X k) C10 ，则k .6若某一射手射击所得环数X的概率分布如下：X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数X 7”的概率是 317 某电子管正品率为， 次品率为， 现对该批电子管有放回地进行测试，设第 次首次测到正品，则 P(443) .8 如图所示，A、B 两点 5 条连线并联，它们在单位时间内能

8、通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2. 现记从 ，则 P( 8) .二、解答题( 共 42 分 )9 (12 分 ) 袋中有同样的5 个球，其中3 个红球，2 个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1 个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求随机变量 的概率分布10 (14 分 ) 设离散型随机变量 的分布列P k ak， k 1,2 ， 3,4,5. 5(1) 求常数 a 的值；(2) 求 P 35 ；(3) 求 P 110<11 (16 分 )某批产品成箱包装，每箱5 件，一用户在购进该批产品前先取出3 箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，

9、设取出的第一、二、三箱中分别有0 件、 1 件、 2 件二等品，其余为一等品(1) 用 表示抽检的6 件产品中二等品的件数，求 的概率分布；(2) 若抽检的6 件产品中有2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率学案 63 随机变量及其概率分布、超几何分布CkMCnN kM1 (1) 随机变量(2) 1 2. 两点分布3.Cn自我检测1 1,2，7解析 除了白球外，其他的还有6 个球，因此取到白球时取球次数最少为1 次，最多为7 次472 245解析 设抽到次品的件数为X，则X服从超几何分布，其中N50，M5，n2. 于是出现次品的概率为P(X1)C15

10、C520 15 C52C250 25924747P(X1)P(X2)C250C52049245 245，即出现次品的概率为245.123解析 由分布列的性质知 1 ，2a 2a 2a21 a 3，P(X 2) 2a 3.14. 3解析P(P( 0) P( 1)10) 2P( 0) 3P( 0) 1， P( 0).3012P133105105.11C12C136 3解析 P( 0) C25 10， P( 1) C25 10 5，C233P( 2) C52 10，012P13310510课堂活动区例 1 解题导引求离散型随机变量的概率分布步骤是：(1) 找出随机变量X 的所有可能取值xi (i 1

11、,2 ，)； (2) 求出取各值xi的概率P(X xi)； (3) 列表求出分布表后要注意应用性质检验所求的结果是否准确解 X的可能取值为3,4,5,6 ，C331C11 ·C 323从而有：P(X3) C320，P(X4) C320，C11 ·C 243C11 ·C 25 1P(X 5)C63 10， P(X 6)C36 2.故 X 的概率分布为X3456式迁移1 解 依题意可知，杯子中球的最大数 的所有可能值为1,2,3 ，当 1 时，对应于4 个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当 2 时，对应于4 个杯子中恰有一个杯子放两球的情形

12、；当 3 时，A343对应于 4 个杯子恰有一个杯子放三个球的情形从而有P( 1) 43 8；C32·C41 ·C139C411P( 2)4316；P( 3) 4316. 的概率分布为123P39181616例 2 解题导引对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出超几何分布描述解 依题意，随机变量X 服从超几何分布，Ck6C44 k所以P(X k) 4 (k 0,1,2,3,4)C10C06C441C61C434P(X0) C4 210，P(X1) C4 35，C10210C1035C26C243C36C148P(X 2) C410 7， P(X 3)

13、C410 21 ，C46C041X01234P143812103572114P(X 4) C140 14， X的概率分布为所选的3人中女生随机变量X 0,1,2 ，(3) 计分介于20 分到 40 分之间的概变式迁移2 解 (1) 从 4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，其概率P(X k) Ck2CC343 k，k 0,1,2 ，故 X的概率分布为：X012P153515(2) 由 (1) 可得“所选 3 人中女生人数X 1”的概率为P(X 1) P(X 0) P(X 1) 1 3 4.555例 3 解题导引(1) 是古典概型；(2) 关键是确定X的所有可能取值；率等于X 3 与X 4

14、的概率之和C35C12C21C21 2解 (1) 方法一记“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”为事件A，则P(A) C3 3方法二记“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”为事件A，记“一次取出的 3 个小球上有两个数字相B，则事件A和事件B 是对立事件P(B) 3C10C51C22C811所以 P(A) 1 P(B) 1 1 2.33(2) 随机变量X的可能取值为2,3,4,5 ，取相应值的概率分别为C341P(X 2)3C1030，C12C24C22C142P(X 3)3 C10C130 15，C12C26C22C163P(X 4)3 C10C130 10，C12C28C22C18

15、8P(X 5)C130 C130 15.X 的概率分布为X2345P123830151015(3) 由于按 3 个小球上最大数字的9 倍计分，所以当计分介于20 分 40 分时， X的取值为3 或4， 所以所求概率为P P(X 3) P(X 4)2 3 13.15 10 30变式迁移3 解 (1) 得分 X的所有可能值为5,6,7,8.C14C334C24C2318P(X 5) C4 35P(X 6) 4 C735，C34C1312C44C031P(X 7) C4 35，P(X 8) 4 C735.X的概率分布为X5678P41812135353535(2) 得分大于6 的概率为：P(X 7)

16、 P(X 8) 121 13.35 35 35课后练习区1 122解析 由分布列的性质，有1 2q 0，q2 0，1 1 2q q2 1，2解得q 122.27解析9.X 的可能取值为1 2 3,1 3 4,14 5 2 3,1 5 6 4 2,2 5 7 3 4,3 5 8,4 513.5a a a a16解析2 4 8 16 1， a 15.P(2< 4) P( 3) P( 4)16 1615 1521814. 3916 15 15解析23× 1P( 10) 111 31931 39.5 4解析CkC10 kX 服从超几何分布P(X k) C7C810 ，故C15k4.6

17、0.88解析 环数X7的概率是：0 09 0.28 0.29 0.22 0.88.3764解析1133P( 3) × × 4 4 4 6448 5 解析方法一由已知， 的取值为7,8,9,10 ，C22C121C22C11 C22C123P( 7)C3 5， P( 8)C3C21C12C11210P( 9)C53 5，C22C111P( 10)C53 10， 的概率分布为78910P1321510510P( 8) P( 8) P( 9) P( 10) 3214 10 5 10 5.21C2C24方法二P( 8)1 P( 7) 1C3 5.9解 随机变量 可取的值为2,3,4

18、 ，(2 分 )C21C13C21 3P( 2)C51C41 5；A22C31 A32C213P( 3)C51C41C13 10；A33C121(10 分 )P( 4) C51C41C31C21 10，所以随机变量 的概率分布为234P33151010(12 分 )10 解 (1) 由离散型随机变量的性质，得a ·1 a ·2a ·3a ·4a ·51，(3 分 )解得a 1 .15k1(2) 由 (1) ，得 P 5 15k， k 1,2,3,4,5.方法一P 35P4 P 5 P( 1)(7 分 )3454.15 15 15 5方法二P 35 1 P <1P 51 P 12，5， 5，35，1241 15 15 5.(7 分 )17(3) 10< <10，17 P 10< <10P15 P 25 P1232 15 15 15 5.11解 (1) 的可能取值为0,1,2,3.C42 C2