大学高等数学下考试题库附答案

1、.选择题（3分黑10）1 .点 Mi (2,3,1 )到点 M 2(2,7,4)的距离 M1M2 =().A.3B.4C.5D.62 .向量 5=+ 2j + k,b =21+ j-,则有().a. a/b b. a b C. (a,b)=( d. (a,=?2 213 .函数y = %;2x y + =的定义域是().x2y2 -1a.x, y x2 + y2 2 b. x, y1 x2 + y2 2IC. t x, y 1 ： x2 y2 _ 2 d x, y 1 _ x2 y2 二 2) II4 .两个向量a与b垂直的充要条件是().a. ab=0 b. a b=0 C. ab=0 d.

2、 a b=0一一335 .函数z = x + y -3xy的极小值是（）A.2 B. -2C.1 D. -1；z6 .设 z = xsin y ,则 :y2、2A.B. -D. - . 27 .若p级数 1收敛，则（）n nA. P 1 B. p -1 C. p 1 D. p - 1：- n一 x8 .募级数Z 的收敛域为().n 1 nA. 1-1,1 1 B -1,1 C. 1-1,1 D. -1,1 1).1D.2。x).9 .募级数Z - I在收敛域内的和函数是（ n2；A. B.上 C.21 x 2 x1 x10.微分方程xy - y In y = 0的通解为（xxxcxa. y 二

3、ce b. y 二 e c. y 二cxe d. y 二 e二.填空题(4分黑5)1 .一平面过点A(0,0,3)且垂直于直线 AB,其中点B(2,1,1),则此平面方程为 2 .函数 z =sin(xy )的全微分是 .二273 23Z3 .设 z =x y -3xy -xy +1,则=；:x.:y4 .的麦克劳林级数是 .2 x5.微分方程 y +4y + 4y = 0的通解为三.计算题(5分M6)、r UZ ；：Z1 .设 z=e sinv,而口=乂丫,丫 = 乂 + 丫，求,.；:x ；:y2 22Z , Z2 .已知隐函数z =z(x, y油万程x -2y +z 4x + 2z5 =

4、 0确定，求 ,. ；x ：:y3 .计算 JJsin xx + y2d。，其中 D :n 2 E x2 + y2 4n 2.D4 .如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R为半径).5 .求微分方程y3y =e2x在y x =0条件下的特解.四.应用题(10分父2)31.要用铁板做一个体积为 2 m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？r 12.曲线y = f x让任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点1- 求此曲 3)线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD二.填空题1. 2x -y -2z 6=0.2. co

5、s xy ydx xdy .J- -1n n4. -x .n5. y = Ci C?x e ?x三.计算题Z xy .r1. 一 二elysin x ycosx y 1=exy Xsin x ycos x y 1.-y；z 2 - xjz2 y2.=,=：:xz 1 ：:y z 13.sin P FdP =-6n 2.4竺R333x2 x5. y = e - e .四.应用题1 .长、宽、高均为3/2m时，用料最省2 . y =-x . 3高数试卷2 (下).选择题（3分M10）1 .点 M1(4,3,1 ), M2 (7,1,2 )的距离 M1M2 =()A. 12 B. . 13 C. .

6、14 D. . 152 .设两平面方程分别为 x2y+2z+1=0和x+y + 5 = 0 ,则两平面的夹角为（）JJJTJEA. B. -C. D.3 .函数z =arcsin(x2 +y2 )的定义域为().a. 1x, y 0 Mx2 y2 V2 n122 nC.(x, y 0 M x +y M b. 1x, y 0 ： x2y2 ： 1 ：d. “x, y )0y24.点P(1,2,1例平面x+2y2z5=0的距离为（A.6B.7C.8D.9A.3B.4C.5D.62-25 .函数z=2xy3x -2y的极大值为()A.0B.1C. -1D. 12、一2 ,人2-殳/、6 .设 z =

7、 x +3xy + y ,则一6 2 =().,，7 .若几何级数ar ar n是收敛的，则（）.n 0a. r 1 c. r| 1 d. r 0）所围的几何体的体积4 .应用题（10分父2）1 .试用二重积分计算由y = Jx, y =2vx和x = 4所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二.填空题x 2 y 2 z 11. =.1 122. exy ydx xdy .3. 8x 8y z =4.n 2n4. - 1 x .-35. y = x .三.计算题1.8i -3j 2k.2. z = 3x2 sin ycosy cosy - sin y，z = -2x

8、3 sin y cosy sin y cosy x3 sin3 y cos3 y ；x；y一 xz2 .xy z二 z - yz二z3. =2 , 一；xxy z 二 y32 34. a二 2-2 3四.应用题161.3、选择题（本题共1、二阶行列式A、10B、 202、高等数学试卷10小题，每题3分，共30分）-3C、的值为（24D、22设 a=i+2j-k,b=2j+3ka与b的向量积为（A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k3、点 P (-1、-2、1）到平面 x+2y-2z-5=0的距离为（A、2 B、3 C、 4 D、 54、函数z=xsiny在点3

9、11,-）处的两个偏导数分别为（.2A、B、C、.2.2(下)D、5、设 x2+y2+z2=2Rx,z 二 z,分别为（x 二 yA、B、C、D、x-R2226、设圆心在原点，半径为R,面密度为 X = x +y的薄板的质量为（）（面积A=nR ）22212-A、R2AB、2R2AC、3R2AD、一 R A2二二n7、级数Z (1)n x的收敛半径为()n 4nA、2 B、1C、1 D、328、cosx的麦克劳林级数为（）A、oO“ ()nn卫2n x 鬲B、 (-1)nn 42n X 丽C、v (-1)nn =02n X (2n!D、QO (-1)nn=02n JX(2n -1)!9、微分方

10、程（y）4+（y）5+y+2=0的阶数是（）A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶10、微分方程y+3y+2y=0的特征根为（）A、-2, -1 B、2, 1 C、-2, 1 D、1 , -2 二、填空题（本题共 5小题，每题4分，共20分）1、直线L1： x=y=z与直线L2： 1 =3 =2的夹角为。2-1直线L3： -1 =y2 = z与平面3x +2y 6z =0之间的夹角为2-123、二重积分 0d%D :x2 +y2 M1的值为 oD 二二二二 n4、募级数Z n!xn的收敛半径为 , Z工的收敛半径为 。n =0n =0 n!三、计算题（本题共 6小题，每小题5分，共30分）1、

11、用行列式解方程组f3x+2y-8z=172x-5y+3z=3二 x+7y-5z=22、求曲线x=t,y=t 2,z=t3在点（1, 1, 1）处的切线及法平面方程.3、计算口xyd仃，其中D由直线y =1,x =2及y = x围成.D二 n 1 4、问级数Z （T）nsin1收敛吗？右收敛，则是条件收敛还是绝对收敛？n 1n5、将函数f（x尸e3x展成麦克劳林级数6、用特征根法求 y+3y+2y=0的一般解1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰M成正比，(已知比例系数为k)已知t=0变。由原子物理

12、学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量时，铀的含量为M0,求在衰变过程中铀含量 M (t)随时间t变化的规律。参考答案、选择题1、 D 2、 C3、C4、5、B 6、D7、C8、A 9、B10,A二、填空题1、2 ar cos,18.8,arcsin -212、0.96, 0.173653、ji、0, +ox25、y =ce万 cx=1 y三、计算题1、-3 2-8解： =2 -57 -517 2-8(-3)-5-2-5-5(-8)-5 =-138 x=-53 =17-5-2(-8) X3 -5 =-138同理: y=所以,7 -517 -83 =276 ,2 -5方程组的解为x 二-5

13、-5 z= 414x-1.2,z2、解：因为 x=t,y=t 2,z=t 3,所以 xt=1,y t=2t,z t=3t 2,所以 xt| t=1 =1, y t|t=1=2, z 111=1 =3故切线方程为： 二y 1z -1法平面方程为：(x-1 ) +2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因为 D由直线y=1,x=2,y=x 围成,所以D:y故:22xyd - - xydxdy =D2 y31i(2y4)dy=.4、解：这是交错级数，因为Vn=sin1：0,所以，Vn + lVn,且limsin1 = 0,所以该级数为莱布尼兹型级数，故收敛。nn181sin81发

14、散，从而工Sin发散。又、sin 1当x趋于0时 ,sin x x, 所以，lim n=1,又级数 n以门sin1以取。5、n4 nT 1n4n所以，原级数条件收敛。解：因为w1213e =1x x x2!3!x (-二，二)-xn n!用2x代x,得：6、解：特征方程为r2+4r+4=0所以，(r+2) 2=0得重根1=2=-2,其对应的两个线性无关解为y1=e 2x,y2=xe 2x所以，方程的一般解为y=(C1+C2x)e-2x四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为x, y, z则 2 (xy+yz+zx ) =a2构造辅助函数2、F (x,y,z) =xyz+ /-(2xy+2 yz

15、 + 2zx - a )求其对x,y,z的偏导，并使之为 0,得：?z+2 入(y+z)=0x xz+2 入(x+z)=0kxy+2 K (x+y)=0与2(xy+yz+zx)-a 2=0联立，由于x,y,z均不等于零可彳导x=y=z 代入 2(xy+yz+zx)-a 2=0 得 x=y=z=-6 、6a3所以，表面积为 a2而体积最大的长方体的体积为V = xyz = 士史一362、解：据题意高数试卷4 (下)一.选择题：3%10=301 .下列平面中过点(1 , 1 ,1)的平面是 .(A) x+y+z = O (B) x+y+z = l (C) x = l (D) x = 32 .在空间

16、直角坐标系中，方程x2 +y2 =2表示.(A)圆 (B)圆域 (C)球面 (D)圆柱面3 .二元函数 z =(1 -x)2 +(1 -y)2的驻点是 .(A) (0 ,0)(B) (0 ,1)(C) (1 ,0)(D) (1 ,1)4 .二重积分的积分区域 D是1 Ex2 +y2 E4 ,则ffdxdy =.D(A)兀(B) 4n (c) 3n (d) 1E5 .交换积分次序后 dx 0 f (x,y)dy =(A)0cly /”中(B)1dy0f(x,y)dx 1dyjyf(X,y)dx向yj f(x, y)dx6 . n阶行列式中所有元素都是1 ,其值是 (A) n (B) 0(C) n

17、! (D) 18 .下列级数收敛的是 .:-:cn(A) 尸2(B) 等(C)巨n1n 1n32nTn(D)cdzn 11-. nVn，则.QOQO若Z Vn收敛，则 Un收敛n 1n 1QOco若2 Un收敛，则vn发散n 1n 11 -x2 x4 -cQoq9 .正项级数Un和zn满足关系式Unn 1 n 1QOoo(A)若Z Un收敛，则ZVn收敛 (B)n 1njiQOoO(C)若Zvn发散，则Zun发散 (D) n 1n 11-一, 1 10.已知：=1 +x +x2 +，则7；的募级数展开式为 .1 -x1 x2(A) 1+x2 +x4 + (B) 1+x2-x4 + (C) -1

18、-x2-x4- (D).填空题：4&5 = 20数 z =“2 +y2 _1 +ln(2 x2 y2)的定义域为 .若 f(x,y)=xy,则 f(?,1)=x已知（沏，丫0）是 f （x,y）的驻点，若 晨（刈,丫0）=3, fyy（x0,y0）=12, fxy（x0,y0）=a 则 时，（x, y0） 一定是极小点.级数 fun收敛的必要条件是 . n 4,计算题（一）：6&5=30.已知：z=xy,求：,.；-xy.计算二重积分 qj4 _x2dcr ,其中 D =（ x,y） | 0 My M J4 _x2 ,0 Ex M2.D n.求募级数 工（-1）n 1 的收敛区间. n 1n1

19、23当51245四1四2.3.4当5四求f （x） =e的麦克劳林展开式（需指出收敛区间） ,计算题（二）：10*2=202 1.求平面x 2 y + z= 2和2 x + y z = 4的交线的标准方程.参考答案.1 . C ; 2 . D; 3 . D; 4 . D; 5 . A;B；x, y) |1 x2 +y2 22 .x3 . -6 a 64.27lim un =0n_):：.1 .解：乌=yxy,2=xylnyx y解:JJ” -x2dcr = jdx 0 J 74 -x2dy二02(4 一x2)dx = 4x3 x -316解:B-2R=1,当 |x| 3, C3濡，下列可运算的

20、式子是（A AC B CBC ABC D)AB - AC9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式（A 必等于零）B 必不等于零C 可以等于零，也可以不等于零D 不会都不等于零Un EVn,贝U (10、正项级数Z Un和 Vn满足关系式n 1n 4oOcoA若Z un收敛，则 vn收敛n 1n 4QOoOB若Z vn收敛，则un un收敛nJn 4oOooC 若Z Vn发散，则Z Un发散ngn昌QOooD若Z Un收敛，则Z Vn发散nWnJ填空题(4分/题) 1、空间点p (-1, 2,-3)到xoy平面的距离为 2 .22、函数f(x,y) = x +4y 6x+8y+2在点 处取得极小值，极小值为 3、