根据matlab的Lorenz系统的仿真研究

1、MATLAB以下报告完成的是大作业第七题：7. Simulink 仿真在高等数学课程中的应用宋沛儒21130223基于MATLAB/Simulink对Lorenz系统仿真研究21130223 宋沛儒 1.引言1963年Lorenz通过观察大量大气现象并进行数值实验和理论思 考，得到了一系列混沌运动的基本特征，提出了第一个奇异吸引子一Lorenz吸引子1 , Lorenz通过计算机模拟一个由三阶微分方程描 述的天气模型时发现，在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的 无规则行为。Lorenz揭示了一系列混沌运动的基本特征，成为后人 研究混沌理论的基石和起点，具有非常重要的意义。Lorenz系统方

2、程如下：& a(y X),& cx y xz,(1)6 xy bz.其中，a, b, c为正的实常数。本人利用了数学工具 matlab,对Lorenz系统进行了仿真研究， 加深了对其的认知。7 .matlab 求解 Lorenz 系统首先创建文件“ Lorenz.m”定义Lorenz方程，假设固定a=10, b=2.6667, c=30，程序如下： function dx=Lorenz(t,x)dx=-10*(x-x);30*x-x(2)-x*x(3);x*x(2)-2.6667*x; end然后利用ode45(Runge-Kutta算法)命令求解Lorenz方程并绘 制图形，

3、初值取x=y=z=0.1,程序如下:>> clf>> x0=0.1,0.1,0.1;>> t,x=ode45('Lorenz',0,100,x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3)>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3)>> title('(b)')>> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1

4、),x(:,2)>> title('(c)')>> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)>> title('(d)')运行后，得如下波形：图中，（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，（b）为其在y-z平面上的投影，（c）为其在x-y平面上的投影，（d）为Lorenz混沌吸引子的三维图。四张图都类似于“ 8”字形。8 . Lorenz系统对初值的敏感性此时因为固定参数a=10, b=2.6667, c=30时，为混沌系统，对初值具有敏感性，初值很小的差异

5、会引起系统的大变化。例如在上例中取初值x=z=0.1 , y=0.11 ,绘制此时混沌吸引子在x-z上的投影,并与x=y=z=0.1在同一张图比较。(初值为x=y=z=0.1时投影用蓝色, 初值为x=z=0.1 , y=0.11时投影用红色)程序如下:>> clf>> x0=0.1,0.1,0.1;>> t,x=ode45('ex_lorenz',0,100,x0);>> plot(x(:,1),x(:,3)>> hold on>> x0=0.1,0.11,0.1;>> t,x=ode45(&#

6、39;ex_lorenz',0,100,x0);>> plot(x(:,1),x(:,3),'r*')得到图形如下：可以看到初值y仅变化0.01 ,图中红色与蓝色不重合出明显。证明了 Lorenz系统的敏感性。4.matlab对Lorenz系统的仿真由文献1可知在上述方程组(1)中，令x y z 0,当c>1时, 系统有三个平衡点：So(0,0,0) , S ( i'b(c 1), Vb(c 1),c 1),S (、b(c 1),曲(c 1),c 1)。当c=1时，系统在原点失去稳定。当c<1时, 原点是唯一的平衡点并且是汇点。利用mat

7、lab的Simulink功能，搭建Lorenz系统模型,并探讨参数对Lorenz系统的影响。仿真模型如图:在仿真模型中，取参数a=10, b=8/3,观察参数c取不同值时系 统的运行状态。根据文献1的分析，当参数0<c<1时，只有一个稳定平衡点 O (0,0,0 )。取初值为 x=y=z=2,参数c=0.5 ,仿真停止时间取为50,运行仿真。得到x、y、 z的相图以及x-z , y-z , x-y的图形依次如下所示：3T2.5 .21.5 -1.0.5 -0 ：r050100150可见，系统很快地趋向并稳定在 O (0,0,0 ),验证了前面所述。当c>1时，系统有三个平衡点

8、：原点 O(0,0,0)和S+, S-。此时原点 的特征值中有正值，因此原点为鞍点，是不稳定平衡点。当1<c<13.926 时，不稳定流形最终螺旋地趋于与之同侧的平衡点S+或S-;当c=13.926时，不稳定流形刚好无限趋于原点O,即出现同宿轨；当c>13.926时，不稳定流形将绕到另一侧，最终趋于与之异侧的S碱S-。可见，c是一个同宿分岔点。因此，取初值 x=y=z=2, c=8,仿真停止时间为50,运行仿真，得到x、v、z的相图以及x-z , y-z , x-y76 ,5 .4 .3 ,2 ,150200250300350400450的图形依次如下所示：6 ,5 . r

9、1 f 1 f X4 .3 ,2 , li11rrr 0501001502002503003501210864200100200300400500600700可以看到，系统趋于与之同侧的平衡点 S域S-V、151050-5-10-15-20050010001500050010001500取初值x=y=z=2, c=18,仿真停止时间为50,运行仿真，得到x、 z的相图以及x-z , y-z , x-y的图形依次如下所示:可以看到，系统趋于与之同侧的平衡点S域S-。为了观察c=13.926的同宿分岔点现象，在c=13.926附近不断尝试，最终在c= 15.39682328时观察到比较明显的过渡迹

10、象。取初值x=y=z=2, c=15.39682328,仿真停止时间为50,运行仿真，得到x、V、z的相图以及x-z , y-z , x-y的图形依次如下所示：050010001500可以看到，虽然最终轨线趋向于与之同侧的平衡点S+或S-,但有着明显的过渡迹象。可以推测，当c取15.39682328到15.39682330 间的某一个数值时，会出现同宿轨现象。根据文献1,当c>24.74时，S+W S-变为不稳定的，也就是说 系统进入“混沌区”。此时三个平衡点 Q S+、S-都不稳定。取初值x=y=z=2, c=30,仿真停止时间为100,运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z , y

11、-z , x-y的图形依次如下所示:100806040200-200500100015002000250030003500400045005000-40100908070605040302010 00500100015002000250030003500400045005000可以看到，上述图形中，轨线绕着 S喏干圈后，又绕着S-若干圈，如此循环，符合文献1的描述。为了观察由系统趋向于与之异侧的平衡点向系统的混沌状态的 过渡现象，在c=24.74附近反复不断尝试，最终发现当c=23.299时, 可以观察到明显的过渡迹象。因此，取初值 x=y=z=2, c=23.299 ,仿真停止时间为100,运行仿真，得到x、V、z的相图以及x-z , y-z ,x-y的图形依次如下所示:4040302010-10k 消00500O52O25 O53020100-1000200052可以看到，在上图中，轨线看起来稳定在一条围绕与之异侧的平 衡点的轨道上。仅从仿真运行的这段时间，无法判断系统是处于混沌 状态还是会趋向于与之异侧的平衡点，可以看出明显的过渡迹象。5.结论本文初步了解了 Lorenz系统，并简单观察了 Lorenz混沌系统对 初值的敏感性，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真结果，通过使用matlab的simul