分层抽样与系统抽样

1、分层抽样与系统抽样读教材填要点1. 分层抽样的概念将总体按其属性特征分成若干类型 （有时称作层），然后在每个类型中按照所占比例随也 抽取一定的样本这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样.2. 系统抽样的概念系统抽样是将总体的个体进行编号，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按相同的间隔（称为抽样距）抽取其他样本.系统抽样又叫等距抽样或机小问题大思维1. 分层抽样时为什么要将总体分成互不重叠的层？提示：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了使抽取的样本更合理， 更具有代表性，所以将总体分成互不重叠的层，而后独立地抽取一定数量的个体.2. 系统抽样的第二步中，当 错误！不是整数时，从

2、总体中剔除一些个体采用的方法是什 么？影响系统抽样的公平性吗？考点一提示：剔除一些个体可以用简单随机抽样抽取，不影响系统抽样的公平性.分层抽样3 : 5 : 2。若从所中、老年职工应分,所以采用分层抽样例1 :某企业共有3 200名职工，其中青、中、老年职工的比例为别抽取多少人？每人被抽到的可能性相同吗有职工中抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、自主解答因为总体由差异明显的三部分（青、中、老年）组成的方法更合理.因为青、中、老年职工的比例是3 : 5 : 2，所以应分别抽取：青年职工400 X错误！ = 120 （人）；中年职工400 X错误！ = 200（人）; 老年职

3、工400 X错误！ = 80（人）.由样本容量为400,总体容量为3 200可知，抽样比是错误！=错误！，所以每人被抽到的 可能性相同，均为 错误！。悟一法分层抽样的步骤（1）根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层;（2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比k=错误！;（3）确定第i层应该抽取的个体数目ni = NiX k（Ni为第i层所包含的个体数），使得各ni 之和为n;（4）在各层中，按步骤（3）中确定的数目在各层中随机地抽取个体，合在一起得到容量 为n的样本.1. 某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家.为 了掌握各商店的营业情况，计划

4、抽取一个容量为21的样本,按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程.解：第一步：样本容量与总体容量的比为 错误！=错误！；第二步：确定各种商店要抽取 的数目：大型商店：20 X错误！ = 2（家），中型商店：40X错误！= 4（家），小型商店:150 X错误! =15 （家）；第三步：采用简单随机抽样在各层中分别抽取大型商店2家，中型商店4家，小型商店15家，综合每层抽样即得样本.侶点二系统抽样例2相关部门对某食品厂生产的303盒月饼进行质量检验， 需要从中抽取10盒，请用系统抽样法完成对此样本的抽取.自主解答第一步 将303盒月饼用随机的方式编号.第二步 从总体中剔

5、除3盒月饼，将剩下的300盒月饼重新编号（分别为000,001，299）,并分成10段.第三步在第一段中用简单随机抽样抽取起始号码I。第四步 将编号为I, I + 30, I + 2X 30,1+ 9X 30的个体取出，组成样本.悟一法1. 当总体容量能被样本容量整除时， 分段间隔k =错误！；当用系统抽样抽取样本时， 通 常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号（s+ k）,再加k得到第3个个体编号（s+ 2k）, 依次进行下去，直到获得整个样本.2当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意 的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔

6、除几个个体后使总体中剩余的个体能被样本容量整除，然后再按系统抽样方法抽取样本.2. 为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本请用系统抽样写出抽取过程.解析：（1）对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3,，15 000.（2） 分段：由于样本容量与总体容量的比是1 : 100,所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含 100个个体.（3）在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是 56。（4） 以56作为起始数，然后依次抽取156,256, 356，14 956,这样就得到容量为 150的

7、一个样本。考点三三种抽样方法的灵活应用例3选择恰当的抽样方法，并写出抽样过程.(1) 有30个篮球，其中，甲厂生产的有21个，乙厂生产的有 9个,现抽取10个作样 品；(2) 有甲厂生产的30个篮球，其中一箱 21个，另一箱9个现取出3个作样品；(3) 有甲厂生产的300个篮球，抽取10个作样品；有甲厂生产的300个篮球，从中抽取 30个作样品.自主解答(1)因总体是由差异明显的几部分构成，可采用分层抽样的方法抽取.10第一步 确定抽取个数因为错误！，所以甲厂生产的应抽取21 X错误！ = 7 (个),乙厂生产的应抽取 9X错误！ = 3 (个)；第二步 用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球 7个，

8、乙厂生产的篮球3个.这些篮球便组 成了我们要抽取的样本.(2)总体容量较小，用抽签法.第一步 将30个篮球编号，编号为 00, 01,29;第二步 将以上30个编号分别写在一张小纸条上，揉成小球，制成号签；第三步 把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；第四步 从袋子中逐个抽取 3个号签，并记录上面的号码；第五步找出与所得号码对应的篮球.(3)总体容量较大，样本容量较小，适宜用随机数法.第一步 将300个篮球用随机方式编号，编号为 001,002,，300 ；第二步 在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第3行第5列的数3”开始任选一个方向作为读数方向，比如向右读；第三步 从数3”开始向右读

9、，每次读三位，凡不在001300中的数跳过去不读，遇到已 经读过的数也跳过去不读，便可依次得到241, 242, 232,283 , 039, 101 , 158,272 , 266,166这10个号码，这就是所要抽取的 10个样本个体的号码.(4) 总体容量较大，样本容量也较大，适宜用系统抽样法.第一步 将300个篮球用随机方式编号，编号为 000, 001,002,，299,并分成30 段；第二步 在第一段000,001,002，,009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；第三步 将编号为002,012, 022,，292的个体抽出，组成样本.1.三种抽样的适用范围

10、不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系.在应用时要根据实际情况选取合适的方法.2三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的3某社区有 700 户家庭，其中高收入家庭 225户，中等收入家庭 400 户,低收入家庭 75 户为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作；某中学高二年级有12名篮球运动员，要从中选出3人调查投篮命中率情况，记作；从某厂生产的 802辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作。为完成上述三项抽样，则应采取的抽样方 法是 ( )A 简单随机抽样，系统抽样，分层抽样B 分层抽样，简单随机抽样，系统抽样 C 简单随机抽样，分层抽样，系统抽样D

11、分层抽样，系统抽样，简单随机抽样解析：对于，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成， 而所调查的指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样；对于 ，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应采用简单随机抽样；对于，总体中的个体 数较多，且个体之间差异不明显，样本中个体数也较多，应采用系统抽样.答案:B一个单位有职工 160 人，其中有业务人员 112人，管理人员 16人，后勤服务人员 32 人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为 20的样本，试确定业务人员、管理 人员、后勤服务人员各抽取的人数是多少？解 法一：三部分所含个体数之比为112

12、: 16 : 32= 7 : 1 : 2,设三部分各抽个体数为 7x,x，2x，则由7x+ x+ 2x= 20得x= 2故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取的个体数分别为 14， 2 和 4.法二：由160+20= 8,所以可在各层人员中按8 : 1的比例抽取，又因为 112充=14,16七=2,32 8 = 4,所以业务人员14人，管理人员2人，后勤服务人员 4人.法三： 因为共有职工 160 人，所抽取的人数为 20,所以样本容量与总体容量之比为 错误! = 错误 ! ,则业务人员应抽取112X错误！ = 14人，管理人员应抽16X错误！ = 2人，后勤服务人员 应抽32 X错误！= 4

13、人.课堂训练：1 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是 ()A 都是从总体中逐个抽取B将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取C抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D 将总体分成几层，分层进行抽取解析 :简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是：在抽样过程中每个个体被抽取 的概率是相同的.答案：C2 某市场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销量总额采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序往后将 65号，115号，165号，抽出，发票上的销售额组成一个调查样本这种抽取样本的方法是()A 抽签法B 随机数法C.系统抽样法D 其他的抽样方法解析:

14、上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50 张从第一组中抽取 15号,以后各组抽取15+ 50n (n N *)号，符合系统抽样的特点.答案：C3某校高三年级有男生 500人，女生400人为了解该年级学生的健康情况，从男生 中任意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20人进行调查，这种抽样方法是 ()A .简单随机抽样法B .抽签法C.随机数表法D .分层抽样法解析 :样本由差异明显的几部分组成 ,抽取的比例由每层个体占总体的比例确定，即为分层抽样法.答案:D4. 将一个总体分为 A、B、C三层,其个体数之比为5 : 3： 2，若用分层抽样方法抽取容 量为100的样本，则应从 C中抽取的个体数

15、为 .解析:错误！ X 100 = 20.答案：205. 将参加数学夏令营的100名同学编号为001 , 002,，100。现采用系统抽样方法抽取一个容量为 25的样本，且第一段中随机抽得的号码为 004，则在 046至 078号中，被 抽中的人数为 .解析:抽样距为 4,第一个号码为 004,故 001100中是 4的整数倍的数被抽出 ,在 046 至 078 号中有 048,052,056, 060,064, 068,072, 076,共 8 个. 答案： 86. 某中学有教职工 300人,分为教学人员、管理人员、后勤服务人员三部分,其组成比 例为 8: 1: 1。现用分层抽样从中抽取容量

16、为 20的样本,请写出抽样的过程.解:抽样过程如下：(1)确定抽样比 错误！=错误！ ； (2)确定各层抽样数目为 错误！ = 16, 错误！ = 2,错误！ = 2; ( 3)用系统抽样法从教学人员中抽取16人，用简单随机抽样法分别从管理人员和后勤服务人员中各抽取 2 人;(4)将上述各层所抽的个体合在一起即为所 要抽取的样本.形成性测试：一、选择题1.某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为；从某中学的30名数学爱好者中抽取 3人了解学业负担情况，该抽样方法记为。那么()A. 是系统抽样, 是简单随机抽样C.是简单随机抽样，是系统抽样解析： 对于 ,因为每隔 30分钟抽取

17、一袋体数量少，样本容量也小，故为简单随机抽样.B. 是简单随机抽样, 是简单随机抽样D. 是系统抽样, 是系统抽样，是等间距抽样，故为系统抽样；对于，总答案： A2. (2012四川高考)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员 96人.若在甲、 乙、 丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12，21, 25，43， 则这四个社区驾驶员的总人数 N 为( )A101B808C1 212D2 012解析：依题意得知，甲社区驾驶员的人数占总人数的错误！=错误！，因此有 错误！=错误！

18、，解得N = 808.答案：B3一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人，具有中级职称的 320 人，具有 初级职称的 200 人， 其余人员 120 人为了解职工收入情况， 决定采用分层抽样的方法，从 中抽取容量为 40 的样本则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A12， 24,15， 9B 9,12 ， 12， 7C8， 15,12 ， 5D 8， 16， 10,6解析：由题意，各种职称的人数比为160 : 320 : 200 : 120 = 4： 8 : 5 : 3,所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40X错误！ = 8, 40X错误！ = 1

19、6, 40 X错误！ = 10,40 X错误！ = 6。答案:D4下列抽样中不是系统抽样的是()A 从标有115号的15个球中，任选3个作为样本.将15个球按从小号到大号排序， 随机选i0号作为起始号码，以后选i°+ 5,i°+ 10 (超过15则从1再数起)号入样B 工厂生产的产品， 在用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽取一件产品进行检验C. 进行某一市场调查时，规定在商场门口随机抽取一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止D .在报告厅对与会听众进行调查，通知每排(每排人数相等)座位号为14的听众留下来座谈解析： 分析各选项中抽样的

20、特点，与系统抽样的概念、特点进行比较.A、 D 显然是系统抽样. B 项中 ,传送带的速度是恒定的，实际上是将某一段时间内生产的产品分成一组， 且可以认为这些产品已经排好，又总在某一位置抽取样品,这正好符合系统抽样的概念.选项 C 因事先不知道总体的个数，而且抽样时不能保证每个个体等可能入样,因此它不是系统抽样. 答案： C5. 某学校有职工 140人，其中教师 91 人，教辅行政人员 28人，总务后勤人员 21 人.为 了了解职工的某种情况 ,要从中抽取一个容量为 20的样本.以下的抽样方法中 ,依次为简单随 机抽样、系统抽样、分层抽样顺序的是 ()方法 1：将140人从 1140编号,然后

21、制作出编号 1140的形状、 大小相同的号签， 并 将号签放入同一箱子里均匀搅拌， 然后从中抽取 20个号签， 编号与号签相同的 20个人被选 出；方法 2：将 140 人分成 20组，每组 7 人，并将每组 7 人按 17 编号，在第一组采用抽 签法抽出k号(1 < kw 7),其余各组k号也被抽出，20个人被选出；方法3:按20 : 140= 1 : 7的比例，从教师中抽出 13人，从教辅行政人员中抽出4人, 从总务后勤人员中抽出 3 人从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数法，可抽到 20 人A .方法2,方法1方法3 B .方法2,方法3,方法1C.方法1，方法2,方法3 D

22、.方法3,方法1,方法2解析:结合简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义判断答案： C二、填空题6. （2012浙江高考）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为 解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560X错误! = 160.答案：1607. （2013日照高一检测）某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍 ,高二学生数比高一学生数多 300 人,现在按错误!的抽样比用 分层抽样的方法抽取样本 ,则应抽取高一学生数为 .解析：若设高三学生数为 x，则高一学生数为

23、错误！，高二学生数为错误！ + 300,所以有x + 错误！ +错误！ + 300 = 3 500,解得x= 1 600。故高一学生数为 800,因此应抽取高一学生数为 错误！ = 8答案：88. （2013中山高一检测） 一个总体中有100个个体，随机编号为 0、1、2、99 , 依编号顺序平均分成 10个小组，组号依次为 1、2、3、10。现用系统抽样方法抽取一 个容量为10的样本，规定如果在第 1组随机抽取的号码为 m,那么在第k组中抽取的号码 个位数字与m+ k的个位数字相同.若 m= 6,则在第7组中抽取的号码是 .解析:第 k组的号码为（k 1） 10, （k 1）10 + 1,，（k 1） 10 + 9,当 m = 6、k= 7 时， 第k组抽取的号码 m+ k的个位数字为3,所以（7 1） X 10 + 3= 63.答案：63三、解答题9. 为了调查某路口一个