数列基础知识点和方法归纳

1、数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质定义：a“+a.=d （d 为常数），4=4+（一1”，推论公式：an = am +（口 - m）d（n，m ' N *, n > m，等差中项：x, A y 成等差数列0 2A = x+），,an = dn-1 + Hn+i（n N 2）.（兄+凡）（一1） f等差数列前项和：S = 5 2=4+ : "性质：q是等差数列（1）若m+= p+小 则"+见=。0+ 4；（下标和定理）注意：要求等式左右两边项数相等（2）数列&_）,g“如屈仍为等差数列，S”，S.S., S.n-S2n仍为等差数列，公差为”

2、；（3）若三个成等差数列，可设为a-d, a, a + d；（4）若”是等差数列，且前项和分别为S”，则产=2；（5） %为等差数歹IIOS”：。/+加（a, b为常数,是关于的常数项为0的二次函数）S”的最值可求二次函数S”=m/ +加的最值；或者求出勺中的正、负分界项，即：当可>0, d<0,解不等式组可得S”达到最大值时的值. I"。当可<0, J >0,由可得s”达到最小值时的值. NO（6）项数为偶数2的等差数列4,有S2n = 伍1+ %）= （& + 01）=（” + %X% ,。血为中间两项）S儡一 $奇=nd ,.3 偶 4"

3、;+1（7）项数为奇数2-1的等差数列可有邑“T =（2-1）%（%为中间项） , /2.等比数列的定义与性质定义：誓=4（°为常数，gwO）,推论公式：an = amqn m（n,mC N*且n>m）等比中项：X、G、y成等比数列 一"，或G = ±历.等比数列中奇数项同号，偶数项同号an=an-ian+/n2）等比数列前n项和公式：.# 1）性质：,是等比数列（1）若相+="+4，则qj 4“ =%/ 0g （下标和定理）注意：要求等式左右两边项数相等。（2） S, S2n-Snf Sin-S2n仍为等比数列，公比为 O.（3） q是正项等比数

4、列，则hog%J是等比数列。注意：由S“求”时应注意什么？ =1 时，4 = S；之2时,a-nf3 .求数列通项公式的常用方法（1）定义法求通项公式（已知数列为等差数列或等比数列）（2）已知s“与的关系或为与”的关系时，求见电( =1)例：数列4的前越项和扁= /+1求数列4）的通项公式;解：当h = 1时的=4=2_ r2（w = 1）当中之2时/ =S' Si = 2%T二数列14的通项公式为”12相一 1（松之2）.练习：设数列4的前越项和为凡，且W=健一物.求数列4的通项公式。(3)求差(商)法例：数列q,、1 + % +/=2 + 5,求凡解：n = l 时，= 2x1 +

5、 5,aY = 141 1 1 0 ./ +尹/ = 2 + 5之2时，+= 2 - 1 + 5一得:之为=2 ,a“= 2,r+1,、14 (n = 1)2,r+1 (n > 2)练习：在数列GJ中，ai = 1，ai +畀畀+an（n V N*），求数列1所的通项公式。乙 Q11累乘法形如肾=f（n）的递推式由4=/(),则& = /(1),虫=/(2),，也=f(n)两边分别相乘得，色里=可 n/伙）k=l例：数列中，。1 =3,4± =4解 fi.fi= 1可出 % 2=L 又=3 , an =nnNr 1A. ell =3,an+l = 练习：已知|an（nl

6、）,求数列QJ的通项公式。（5）累加法形如an+i-an = f（n）的递推式。由勺-% = /（），4 = &，求"，用迭加法,两边相加得见- = /(2)+/(3)+f(n)%-="2) a,-a = f(3)，之2时，3-，4 = & + f (2) + ”3) +f ()例：已知数列练满足ai = 1闰n =即-1 + 3n- 2（n N 2），（1）求a2与33的值。（2）求数列1。的通项公式练习：己知数列涮中，的=2,冬-2用-2=°（«7V* ）.求数列练的通项公式;（6）构造法形如 =ca“_ +d （ c、d 为常数，c

7、wO, c#l, dwO）的递推式。可转化为等比数列，设a“ + x = c(a”_i+x)na” =ca/j_1+(c-l)x令(c-l)x = d, ,x = H-,.(见+44是首项为q + 工-,c为公比的等比数列C-l I C-lC-1例：已知数列叫)满足出=1, %+1 = 26 +19eN力.求数列M)的通项公式;解 丫乐+1 = 2缘+1, %+i+l = 2(叫+1),而。1 = 1,故数列纵+D是首项为2,公比为2的等比数列,即%+1 = 2、因此 = 23练习1：已知数列U中四= ：dn7 = 3an+3,求数列q的通项公式。练习2：己知数列“满足凡+1=24+ 3x5&

8、quot;, 4 = 6,求数列4的通项公式。(7)倒数法例：4=1,。什=2，求4+ 2,-j.1。“ + 211.111由己知得:=-H ，=% 2q 2a/l+1 an 2为等差数列，=1» 公差为L ,；"! = 1 +“ =2.% J%2 a”2 2 +1练习：已知数列4的首项，&1 = 1广/(/)求数列的通项公式。a =Sg)总结：公式法、利用口 一1 S“-S_1G仑2)、累加法、累乘法.构造等差或等比q,* = pa”+g或”+1 = pa” + fm、待定系数法、对数变换法、迭代法。4.求数列前n项和的常用方法（1）定义法：如果已知数列为等差或者

9、等比数列，这用对应的公式求和等差数列前项和：s = nal +吗辿dI （ 3al（q= l）等比数列前n项和公式："=1斗$=宣1¥1）常见公式：Sn = E；=k = S（n + 1）1 + 3+5+（2n-1）=心l2 + 22 + 32+ -" + n2 = Q（n + l）（2n + 1）, 13+" + n3 = "n（n +（2）错位相减法给% = &1 + 42 +2+”. + &11两边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式与原等式相减，对应项互相抵消，最后得出前n项的和Sn.一般适用于J为等差数列，4为等

10、比数列，求数列“（差比 数列）前项和，可由S“-染”，求S”，其中q为a的公比.例：S = l + 2x + 3x?+ 4炉 + x”tx S =x+2x2+3x3+4x4 + (1)上 + 心”CD (2)1x)S“=l+x+x2+ V* 1 nx11时，s.=£4-x = l时，S-1 + 2 + 3 + + =如D(1-x) l-x2练习：已知数列S,是等差数列，3J是等比数列，且出=&=2, & = 54,电+的+的=与+务.(1)求数列%和3J的通项公式(2)数列满足力=%瓦，求数列的前舞项和e.(2)裂项法把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中

11、间项，只剩下有限项再求和。常见形式：若,是公差为d的等差数列，则 n(n+ l)(n+2)= 5 (2n- l)(2n + 1) = 22n- 1-2n+ J n(n + 1) (n+l)(n + 2)« 1如：4是公差为d的等差数列，求*=i %I11/11、解：由- 7 = j 一 (d 工 0) < 1 1 1 , 工=2-；k=l 见+1A=1 1为 W+1)J!练习：已知数列1%)的前n项和其="+2附1求数列1%的通项公式；求数列1/乐+J的前n项和十，(3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.Sn = a.+a+a./、,、/、相加2s=(%+%)+ (生+41)+(+4>S“=4,+4i + +生+。/练习己知/(#=二，则1 +广加+ "2)+扑3) +唱+4) +小一lZ=£+=i“'W l + X2 l + x2 1 + X2原式=/(1)+ /(2) + /(g) + 53) + /1) + /(4) + /(；) = ：+1+1+1 = 3；(3)分组求和法有一类数列，