北京市2020高三数学一模分类汇编2导数理

1、2020北京市高三一模数学理分类汇编 2:导数.【2020北京市海淀区一模理】(12)设某商品的需求函数为 Q = 100- 5P ,其中Q, P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性更 大于1 (其中EQ = - Q-P Q Q'是Q的导数)，则EPEP Q商品价格P的取值范围是【答案】(10,20)【2020北京市门头沟区一模理】10.曲线y x3与直线x 1及X轴所围成的图形的面积为.4【2020北京市门头沟区一模理】18.(本小题满分13分)1 a已知函数f(x) ln x ax 1 .x1(I)当0 a J时，讨论函数f(x)的单调性；2(n )设 g(x) x2 2bx 4

2、 ,当 a 。时，若对任意 x (0, 2),当 x2 1,2时， 4f(x1) g(x2)恒成立，求实数b的取值范围. 2/,、11aax x (1 a)八【答案】 解：(i) f (x) 一 a 尸 2分x xxax (1 a)(x 1)(x 0)x令 f/(x) 01 a八得 x1 , x2 1 3 分a1当a 时，f (x) 0,函数f(x)在(0,)上单减4分2当 0 a a一 一 一在(0,1)和(,)上，有f(x) 0,函数f(x)单减， a1a.在(1,a)上，f (x) 0,函数f(x)单增 6分 时，1a 1 ,2 a(n)当 a 1 时，L_a 3, f(x) inx -

3、x 14 a4 4x由(I)知，函数 f(x)在(0,1)上是单减，在(1,2)上单增1所以函数f (x)在(0,2)的最小值为f(1)- 8分2若对任意为(0,2),当x2 1,2时，f(x1) g(x2)恒成立，1只需当x 1,2时，gmax(x)即可2,、1g2所以2, 11分1g(2)2代入解得b u4 11所以实数b的取值范围是1).13分4 【2020北京市朝阳区一模理】18.(本小题满分13分)ax e 一设函数 f (x) ,a R .x 1(i)当a 1时，求曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程;axz 2e (ax 2x a)f (x) -22(x 1)(n

4、 )求函数f (x)单调区间.axe【答案】解：因为f (x) Te,所以x 1(i)当 a 1 时，f(x)x2 1f (x)ex(x2 2x 1)22(x 1)所以 f (0) 1, f (0) 1 .所以曲线y f(x)在点(0, f (0)处的切线方程为 x y 1 0. 4分ax 2ax(n)因为 f (x) e (ax2 乌 a) e2(ax2 2x a), 5分(x 1) (x 1)(1)当 a 0 时，由 f (x) 0 得 x 0 ；由 f (x) 0 得 x 0.所以函数f(x)在区间(，0)单调递增，在区间(0,)单调递减. 6分22(2)当a 0时，设g(x) ax 2

5、x a ,万程g(x) ax 2x a 0的判别式4 4a24(1 a)(1 a),当0 a 1时，此时0.1.1 a2a11 a 2已知函数f (x) 1x2 (I)求x0和b的值;(n)求证：在定义域内f (x) 为 0恒成立;a一 (ni)若函数F(x) f (x)一有最小值m,且m 2e,求实数a的取值范围.x由f (x) 0得x ,或xa1.1 a21.1 a2由 f (x) 0 得x aa 11 a211a2)，所以函数f(x)单调递增区间是(，一-一二)和(一a- aa单调递减区间(11a , 1一). aa当a 1时，此时0.所以f(x) 0,所以函数f (x)单调递增区间是)

6、.10分当1a 0时，此时 0.由 f (x)1.1 a2由 f (x)1 .1 a2，或x 所以当10时，函数f(x)单调递减区间是1.1a211a2)和(,)，单调递增区间11 a2 11 a2(,).12分当a 1时，此时f (x)单调递减区间是().【2020北京市东城区一模理】(18)(本小题共14分)2.2ex 3e ln x b 在(x0,0)处的切线斜率为零.【答案】(I)解：f (x)x 2e3e2由题意有f (x0)0即x02e 竺 0,解得x0 e或x0 3e (舍去).4分 x0(n)证明:，r 1f (e) 0 即，22-2e 2e一 2 . 一 .一.3e ln e

7、 b 0 ,解得 bf(x):2 2ex 3e2 In2e /x (x20)，x 2e (x)3e2(x e)(x 3e)(xx在区间(0,e)上,(x) 0 ；在区间(e,)上，有f (x) 0.故f(x)在(0,e)单调递减，在(e,)单调递增,于是函数f (x)在(0,)上的最小值是f (e) 0 .故当x 0时，有f (x) > 0恒成立.10分a(出)解：F(x) f (x) - x x2a 3ea 2e (x 0).x当 a 3e2 时，贝U F(x)a 3e222e 2ja 3e 2e ,当且仅当 x Va3e x时等号成立，故 F(x)的最小值m2Ja 3e2 2e 2e

8、,符合题意;13分值，不合题意.23e时，函数F(x)3e2时，函数F(x)x 2e在区间(0,)上是增函数，不存在最小值，不合a 3e2小、x 2e在区间(0,)上是增函数，不存在最小x综上,实数a的取值范围是(3e2,).14分【2020北京市石景山区一模理】18.(本小题满分14分)已知函数f(x) x2 2alnx.(I)若函数f (x)的图象在(2, f (2)处的切线斜率为1,求实数a的值;(n)求函数f(x)的单调区间;2(出)若函数g(x) f (x)在1,2上是减函数，求实数 a的取值范围 x2a【答案】解：(I)f'(x) 2x 2x由已知f '(2) 1,

9、解得a 3.2x 2a x 3分(II )函数f (x)的定义域为(0,).(1)当a 0时，f'(x) 0, f(x)的单调递增区间为(0,);5分f 2(x 、 a)(x 、 a)f (x) xx(0,/T)G-a, )f'(x)-0+f(x)极小值z当x变化时，f'(x), f (x)的变化情况如下:(0,二)；由上表可知，函数 f(x)的单调递减区间是单调递增区间是(,).29(II )由 g (x) x 2a ln x 得 g '(x) x由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g'(x) 0在1,2上恒成立，2 2a即 一2 2x 0在1

10、,2上恒成立.xx12即a x2在1,2上恒成立.x1令 h(x) x2,在1,2上 h'(x) x所以h(x)在1,2为减函数.h(x)min所以a 7.28分2c 2a八2x , 9 分x x11分1c, 1c、 cT 2x( 2x) 0,xxh(2)7,214分【2020年北京市西城区高三一模理】18.(本小题满分13分)已知函数f(x) eax (a a 1),其中a 1.x(i)当a 1时，求曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线方程;(n)求f (x)的单调区间.1. 11【答案】(I)解：当 a 1 时，f(x) e (1 2), f (x) e (1 2 -12)

11、.2 分xx x由于 f (1) 3e, f (1) 2e,所以曲线y f (x)在点(1, f (1)处的切线方程是 2ex y e 0 .4分ax(x 1)(a 1)x 1(n)斛： f (x) ae 2, x 0 .6分x当a 1时，令f (x) 0,解得x 1 .f(x)的单调递减区间为(，1)；单调递增区间为(1,0), (0,)8分1当a 1时，令f(x) 0,解得x 1,或x .a 11当1 a 0时，f(x)的单调递减区间为(，1), (,)；单调递增区间a 1，1为(1,0) , (0,).10 分a 1当a 0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间.11分1当a 0时，f(

12、x)的单调递减区间为(1,0) , (0,，)；单调递增区间为(，1),'a 11(一;,) 13 分a 1【2020北京市海淀区一模理】(18)(本小题满分13分)1已知函数 f(x) e kx(x2 x -) (k 0). k(i)求f(x)的单调区间;(n)是否存在实数k ,使得函数f(x)的极大值等于3e2?若存在，求出k的值；若不存在,请说明理由【答案】解：(I) f(x)的定义域为R.f'(x) ke kx(x2 x 1) e kx(2x 1) e kx kx2 (2 k)x 2, k即 f '(x) e kx(kx 2)(x 1) (k 0).人.2 2,

13、2令 f'(x) 0,解得：x 1或 x 2 . k当k 2时，f'(x) 2e2x(x 1)2 0 ,故f (x)的单调递增区间是(-? , ?). 3分当2 k 0时，f (x) , f '(x)随x的变化情况如下：x(©2 k(”)1(1，)f'(x)00f(x)Z极大值极小值Z22所以，函数f(x)的单倜递增区间是(，一)和(1,)，单调递减区间是(一，1). kk 5分当k 2时，f (x) , f '(x)随x的变化情况如下：x(,1)1(1令2 k(?)f'(x)00f(x)Z极大值极小值Z22所以，函数f(x)的单调递增

14、区间是(，1)和(£,)，单调递减区间是(1,-). kk 7分(n)当k = - 1时，f(x)的极大值等于3e2.理由如下：当k 2时，f(x)无极大值.当2 k 0时，f(x)的极大值为f(2) e2(J42 -), k k2 k 8分人2.4 1、 c 2 r 41 c “ r-4 人令 e (2)3e ,即 丁23,解得 k 1 或 k (舍).k2kk2k3 9分k e当k 2时，f(x)的极大值为f( 1).k 10分11一 ,0因为 k 2，k 2 ,e eek 1 c所以 J 1e2.k 2因为 1e2 3e2,2所以f(x)的极大值不可能等于 3e2. 12分综上

15、所述，当k 1时，f(x)的极大值等于3e2. 13分【2020北京市房山区一模理】18.(本小题共13分)已知函数 f(x) ln(1 x) mx .(I)当m 1时，求函数f(x)的单调递减区间；(II )求函数f (x)的极值；(III )若函数f (x)在区间0,e2 1上恰有两个零点，求 m的取值范围.【答案】解：(I)依题意，函数f(x)的定义域为1,当 m 1 时，f (x) ln(1 x) x,1一f (x) 1 2 分1 x,一I 1一 x由 f (x) 0得 1 0,即 01 x1 x解得x 0或x 1 ,又 Q x 1 , x 0f(x)的单调递减区间为(0,). 4分、1(II ) f (x) m, (x 1)1 x(1) m 0时，f (x) 0恒成立f(x)在(1,)上单调递增，无极值. 6分一，一 1，(2) m 0时，由于11m1 1,、，一，所以f(x)在 1,- 1上单调递增，在 1,上单调递减，mm1从而