比例式、等积式证明常用方法

1、比例式、等积式证明的常用方法一、三点定形法例1如图，在RtZkABC中，Z4C6 = 90° , CE>_LA8于。，E为月C的中点，EZ）的延长线交C3的延长线于点P,求证：PD?=PB,PC例2如图，在AA8C中，A8_LAC, D为BC中点,OE J_ 8C交AC于/，交8A延长线于E.求证：AD2=DE DF注：三点定形法证明等积式的一般步骤：1 .先把等积式转化为比例式；2 .观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形；3 .再找这两个三角形相«断需的条件.二、找相等的量（比、线段、等积式）替换1、等线段替换例 1 已知等腰&48。中，AB=AC. A

2、O_L8C于。，CG/AB. 8G分别交A。、AC 于 E、F ,求证：BE? = EFEG例 2 如图，在248C中，AB=AC, AO_L8c于。，于E, EGLBC于G, L是A/的中点.求证：CD2 = EG DL2、等比替换例3已知梯形ABC。中，AB/CD. AC. 8。交于点O, BEA。交AC的延长线于点E, 求证：OA'OCOE.例4如图，在248C中，AB1AC, AD±BCt七为AC中点，EO延长线交A3延 长线于尸.求证：AB AF=ACDF3、等积替换例5如图，在A48C中，AD. 8f分别是8C、AC边上的高，过。作A8的垂线交A8于E,交BF于G

3、 ,交AC延长线于”.求证：DE2=EGEH.例6如图，己知终是RtZXABC斜边A8上的高，在EC的延长线上取一点P,连结AP, 8G_LA尸垂足为G,交CE于D,求证：CE? =PEDE.E注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等 的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳 暗花明又一村”的效果.三、把求证等积式、比例式转化为求证垂直、求证角、线段相等，使证明简化例1 已知在正方形A8C0中，E是A8的中点，尸是AO上的一点，且=4EG1CF,垂足为 G,求证：EGr=CG FG.四、利用相似三角形的性质例1如图，R

4、/A48C中，ZACB=90° , CDLAB于点D, NCA8的平分A上交C。 于点尸，交,CB于点、E.求证：AF CB = CD AE.注：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，我们可 以利用这些性质来证明有关的等积式往往会起到事半功倍的效果！ 练习巩固：1.如图，点。、E分别在边A3、AC上，且NAOE=NC 求证：(1) AADEAACB： (2) AD AB = AE AC.2 .如图，A43C中，点OE在边8c上，且&4。七是等边三角形，ZBAC= 120°求证：(1 ) A4O3s(7"： (2) DE? = BDCE； ( 3 )ABAC=ADBC.E3 .如图，在平行四边形A8C3中，E为3A延长线上一点，ZD = ZECA. 求证：AD EC = AC EB1 / 14 .如图，AO为AABC中NA4c的平分线，石厂是AO的垂直平分线.求证：尸。2=尸。万瓦5 .如图，E是平行四边形A88的边D4延长线上一点，EC交AB于息G ,交BD于 点/，求证：FC2=