证明或判断等差数列的常用方法

1、证明或判断等差（等比）数列的 常用方法证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省 王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是 等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这 些题目呢？且听笔者一一道来.一、利用等差（等比）数列的定义在数列 an中，若anan 1 dan（d为常数）或an 1为等差（等比）数列.这是证明数列弭为等差（等 比）数更最主要的方法.（2005北京卷）q （ q为常数）,则数列an1.如：设数列an的首项a1 a,4记bna2n 112an1an 414，n为偶数n为奇数n 1,.(I)求 a2, a3 ； (fl) 数列，并证明你的结论. 解：(I) a2 a1

2、4 a 1 as44判断数列bn是否为等比a?11a2a22所以1 1 111 1 1 1 a , boa3a , da5 a 44424444?猜想:bn是公比为g的等比数列.bn 1a2n1 1 1 1 o 2n4242a2n1 11bn,(n42所以0是首项为4，公比为2的等比数列.an评析：此题并不知道数列bn的通项，先写出几 项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规 做法。例2. （2005山东卷）n项和为Sn，且Sn1 2S.1是等比数列；（U）解：由已知S已知数列an的首项a1 5 , n 5（n N ）（I）证明数列 略.,Sn2Sn n 5(n N*)可得 n 2 时Sn 2

3、(Sn Sn1)1 ，即an 12Sn1 n 4两式相减得:Sn2an 1，从而 an 1 1 2（an 1）,当 n 1 时，S2 2S1 1 5，所以 a2又a1 5，所以a2 11，从而a2 1故总有an 1 1 2（an 1）, nN ，又务 5,务 1 0，从而an 12佝 1) 3 2 an 1所以数列an 1是等比数列.Sn的式子再类 ampan q的形式，再利评析：这是常见题型，由依照含 似写出含Sn1的式子，得到 用构造的方法得到所要证明的结论.本题若是先 求出通项an的表达式，则较繁.注意事项：用定义法时常采用的两个式子n > 2,n > 2时，有q (常数0

4、).n 1 an dan an 1d和a” 1 a” d有差别，前者必须加上" 否则n 1时a。无意义，等比中一样有： 严L q (常数0九n N时，有孑L an 1an：运用等差或等比中项性质 an是等差数歹y,0) an是 等比数列，这是证明数列an为等差(等比)数列 的另一种主要方法.例3. ( 2005江苏卷)设数列an的前项为Sn， 已知色 1, a26, a3 11， 且 (5n 8)Sn 1 (5n 2)Sn An B, n 1,2,3,L，其中A, B为常数.(1)求A与B的值；(2)证明数列an为等差数列； (3)略.解: ( 1)由 1, a2 把n 1,2分别代

5、入an an 2 2an 1a.an 2 an(an6,a311，彳得S11,S27,S318 .(5n 8)Sn 1 (5n 2)S,An B，得 A B 28，l J 2A B 48(n)由(I)知,5n( Sn 1W ) 8Si 1 2Sn5nan 1 8Sn 12Q20n 8 ,又 5(n 1)an 2 8S，2 2Sn 120( n1)8-得，5(n 1)an 25nan !8an 22an 1即卩(5n 3)an 2 (5n 2)an 120又(5n 2)an 3(5n 7冋 220-得,(5n 2)( an32 an 2an 1) 0 ， an 3an 2an 2an 1L83a

6、25，又 a220n 8，即an 32a n 2 an 10 ,20,因此，数列an是首项为1,公差为5的等差数 列.评析：此题对考生要求较高，通过挖掘Sn的意 义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性 质，这种处理大大简化了计算.n,a*,例4.(高考题改编)正数数列©和叫满足： 对任意自然数n, a”, bn，a” i成等差数列，b“, a” b” 1成等 比数列证明：数列问为等差数列.证明：依题意，an 0, bn 0,2bn & an 1，且 an ” Jbnbn ” , an Jbn1bn(n > 2)2bn Jbn 10 JbA 1 由此可得 2伍 ,bT

7、； .b； 即.，石 応 伍、，務(n > 2) 数列(6为等差数列.评析：本题依据条件得到an与bn的递推关系，通过消元代换构造了关于何的等差数列，使问 题得以解决.运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳 法证明的步骤要熟练，从“ n k时命题成立”到 “n k 1时命题成立”要会过渡.例5(2004全国高考题)数列an的前n项和 记为Sn ,已知务1 , am Sn(n 12L) 证明：数列§nn是等比数列.证明：由31 1 ,3n1 £rSn(n 1,2,L)，知323a1,S224a2S1 1，猜测见是首项为1,公比为2的等比17n数列.下面用数

8、学归纳法证明：令S §.n(1) 当 n 2 时，b2 2b1，成立.(2) 当 n 3 时，S3 a1 a2 as 1 3 2(1 3) 12,ba 4 2b?, 成立.假设n k时命题成立，即bk 2bk1 .那 么 当 n k 1 时 , S k 2Sbk1乩 丄旦1 k2Sk 2bk，命题成立.k 1 k 1k 1 k综上知爼是首项为n1,公比为2的等比数列.物线 Cn: y X2 anX bn(n N ),其中 an 2 4n jr , x.由以下方法得到：X! 1，点P2(X2,2)在抛物线G：y x2 qx d上, 点A(x,)到P2的距离是Ai到Ci上点的最短距离，L

9、 , 点Pn 1 (xn 1,2n)在抛物线 Cn : y x2 anX bn 上，点 An(Xn,O)至 R 1 的 距离是An到Cn上点的最短距离.(1)求X2及C1的方程.(2)证明Xn是等差数列. 解：(I)由题意得：A1(1,0),G：y x2 7x d .设点P(x, y)是G上任意一点，则 |AP| J(x 1)2 y2 7(x 1)2 (x2 7x b1)2令 f (x) (x 1)2 (x2 7x bj2,则 f'(x)2(x 1) 2(x27xbj(2x 7).由题意:f'(X2) 0,即 2(X2 1) 2(X227x2bi)(2x27)0.又 E(X2,

10、2)在 G 上,2 X22 7X2 b1,解得：X2 3,b114.,故G方程为y2 7x14.(II)设点P(x,y)是Cn上任| AnP| .(X Xn)2 (X2 anX 0)2令 g(x) (X Xn)2 (X2 anX bn)2 ,贝y g (x) 2(x Xn) 2(X2 anX bn)(2X an)由题意得g'(Xn1) 0 ,即 2( Xn 1 Xn) 2(x21anXn 1bn)(2 n 1an)0又 Q 2n Xn 12 an Xn 1bn ,(Xn1 Xn) 2n(2Xn1 a.) 0(n 1).即(1 2n 1)Xn 1 Xn 2$ 0F面用数学归纳法证明xn

11、2n 1 当n 1时，X! 1,等式成立. 假设当n k时，等式成立，即Xk 2k 1, 则当 n k 1 时，由（* ）知 （1 2k1）Xki Xk 2kak o1k又 ak 2 4k 2厂Xk1 占 2k 1.即当n k 1时，等式成立.由知，等式对n N成 立.x”是等差数列.评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握 猜想证明题的基本技能、掌握数列前 n项和这个 概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例 6 是个综合性比较强的题目，通过求二次函数的最 值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证 明，解法显得简洁明了，如果直接利用递推关系 式找通项，反而不好作.四反证法解决数学问题的思

12、维过程，一般总是从正面 入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和 运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从 正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑.女口： 例7. （ 2000年全国高考（理）设3n bn是公 比不相等的两等比数列，Cn a b”.证明数列Cn不 是等比数列.证明：设an bn的公比分别为P, q , p q , G a” b” , 为证Cn不是等比数列只需证c2 CS 事实上， c2 (a1 p dq)2 a2 p2 bq2 2a1b1pq2 2 2 2 2 2 2 2GSC3 (ai bi)(as ba) (ai b)(aip biq ) ai p bi q aibi(

13、 p q )Q p q，p2 q2 2pq，又 ai，bi不为零， C2 Ci9C3 ， 故g不 是等比数列.评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性 质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要 求要证g不是等比数列，只要由特殊项(如 c2 qm )就可否定一般地讲，否定性的命题常 用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方 法与正难则反的思维策略的重要性.五.看通项与前”项和法若数列通项a”能表示成an an b ( a, b为常数) 的形式，则数列an是等差数列；若通项an能表示 成an cqn(G q均为不为0的常数，n N )的形式，则 数列an是等比数列.若数列an的前n项和Sn能表

14、示成Sn an2 bn (a，b为常数)的形式，则数列& 等差数列；若Sn能表示成Sn Aqn A(A, q均为不等 于0的常数且q工i)的形式，则数列an是公比不 为i的等比数列.这些结论用在选择填空题上可 大大节约时间.例8. (2001年全国题)若Sn是数列a的前n项和， S，则a”是().A.等比数列，但不是等差数列B .等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D .既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B,大大节约了时间，同时大大提高了命中率.六.熟记一些常规结论，有助于解题若数列an是公比为q的等比数列，贝9(1) 数列3” a”(为不

15、等于零的常数)仍是公 比为q的等比数列；(2) 若bn是公比为q的等比数列，则数列2”如是 公比为qq的等比数列；(3) 数列丄是公比为1的等比数列；anq(4) a,是公比为d的等比数列；(5) 在数列an中，每隔k(k N)项取出一项，按原 来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为k 1 q ；(6) anan i an an i，a2n i a2n，(7) 若 m, n, p(m, n, p N )成等差数列时，am, a“, ap 成 等比数列；(8) Sn, S2n Sn, S3n S2n均不为零时，则S, S2n S>, Ssn S2n成 等比数列；(9) 若log b a

16、n是一个等差数列，则正项数列an是 一个等比数列.若数列an是公差为d等差数列，则(1 ) kan b成等差数列，公差为kd (其中k 0, k, b是 实常数)；(2) S(”1)k S4 , ( k N, k为常数)，仍成等差数列， 其公差为k2d;(3) 若an b”都是等差数列，公差分别为d1, d2 , 则an bn是等差数列，公差为di d2 ；(4) 当数列an是各项均为正数的等比数列时， 数列lg an是公差为lg q的等差数列；(5) m, n, p(m, n, p N )成等差数列时，a”, a”, ap 成等 差数列.例9. ( 96年全国高考题)等差数列an的前n项 和为30,前2n项和为100则它的前3n项和为( )A. 130 B. 170 C. 210D. 260解：由上面的性质得：Sn, S2n S, &n S2n成等比数列， 故 2