高等数学课件：1-6 极限存在的准则和两个重要极限

1、11.6 1.6 极限存在的两个准则和极限存在的两个准则和 两个重要极限两个重要极限21sinlim. 10 xxx两个重要极限两个重要极限ennn 11lim. 23准则准则 I称为称为夹逼准则（两边夹法则）夹逼准则（两边夹法则）.函数的极限存在的夹逼准则函数的极限存在的夹逼准则.4例例).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn5AC)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan

2、,sinACxBDx 于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 我们先对这个极限大致估计一下，来我们先对这个极限大致估计一下，来证明一个不等式证明一个不等式: : 显显然然 AOCAOBAOBSSS 扇扇, 即即 xxxtan2121sin210 , ,tansinxxx ,tansinxxx 2/0 x6xxxtansin , 1sincos xxxxxxxcossinsin )3 . 2(,sinlim0定定理理由由极极限限的的保保号号性性存存在在若若极极限限xxx ,sinlimcoslim100 x

3、xxxx ?1sinlim0 xxx1sinlim0 xxxxxxcos1sin1 7xxysin 由夹逼定理，由夹逼定理，1sinlim0 xxx1sinlim0 xxx1sinlim0 xxx?sinlim xxx8yykxyysinlim0 tttsinlim0 原原式式.1 例例1 1 变量代换的例子变量代换的例子 )0(sinlim)1(0 kkxkxx.1 220sinlim)2(xxx. 0,0,2 txxt时时则则令令9)4(sinlim20 yyyxyy4)2sin(lim)3(22 xxx4141sinlim0 yyyy1)()(sinlim xx 就就有有为为某某极极限限

4、过过程程的的无无穷穷小小只只要要实实际际上上,)(,x )2)(2()2sin(lim2 xxxx.arcsinlim)4(0 xxx解解: 令令,arcsin xt 则则,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1112)4sin(lim)2(22 xxx)4()4sin(lim222 xxx?2sinlim)1(0 xxx)2( xxxx22sinlim0 2 例例2 2 恒等变形的例子恒等变形的例子 .tanlim)3(0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim0113解解2202sin

5、2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 202/2/sinlim21 xxx2121 .21 )0( 21cos12 xxx?cos1lim)4(20 xxx14xxx)2cos(lim)3(0 课堂练习课堂练习nnn1sinlim)1( 1)1sin(lim)2(21 xxx求下列极限。求下列极限。152.2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx称单调增加称单调增加,121 nnxxxx称单调减少称单调减少单调数列单调数列准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 具体：单调增加有上界，或单调减少有下界。具体：单调

6、增加有上界，或单调减少有下界。16e)11(lim nnn下面利用准则下面利用准则证明另一个重要的极限证明另一个重要的极限: : 先先证证明明nx单单调调增增加加: : ,21 x,249)23(122xx ,2 时时当当 nnnnnnnnnnCnCnCnCnx111111133221 nnnnnnnnnnnn1)1(!1)2)(1(! 31)1(! 21232 17nnnnnnnnnnnnbCabCbaCbaCaba 1122211)(mmm )1(321!)1()1(mmnnnCmn 二项式展开公式：二项式展开公式：其中其中 18e)11(lim nnn下面利用准则下面利用准则证明另一个重

7、要的极限证明另一个重要的极限: : 先先证证明明nx单单调调增增加加: : ,21 x,249)23(122xx ,2 时时当当 nnnnnnnnnnCnCnCnCnx111111133221 nnnnnnnnnnnn1)1(!1)2)(1(! 31)1(! 21232 19当当n改改为为n+ +1 1 时时, ,上上式式通通项项 nknnk112111!1增增大大, , nnnnnnnnnnnn1)1(!1)2)(1(! 31)1(! 21232 nnn2111! 3111! 212 nnnnn112111!1.1nnxx 且项数增加且项数增加( (每一项均为正每一项均为正),), 20其其

8、次次, ,证证明明nx有有上上界界： nn11131212112 n13 .3 nnnxn2111! 3111! 212 nnnnn112111!1)1(13212112 nn!1! 31! 212n 21综综上上所所述述，nx单单调调增增加加且且有有上上界界, , 因因此此 nnn 11lim存存在在, ,记记为为e. . 无无理理数数597182818284. 2e 以以e为底的对数称为为底的对数称为自然对数自然对数， .ln logexx记记作作22再次应用夹逼定理可以证明，相应的函数极限有再次应用夹逼定理可以证明，相应的函数极限有 e)11(lim xxxexxx )11(limexx

9、x )11(lim由变量代换可得由变量代换可得所以所以23e)1(lim10 xxx1 例例3 3.)1(lim10 xxx 求求解解.,0,1 txxt时时则则令令ettt )11(lim原式原式?)1(lim1有有什什么么不不同同此此极极限限与与xxx 注意注意24就就有有为为某某过过程程中中的的无无穷穷小小只只要要实实际际上上,)(,x .e)(1 lim)(1 xx 例例4 4.)11(limxxx 求求解解1)11(lim xxx.1 e1)11(lim xxxxxx)11(lim 原原式式25例例6 6.)23(lim2xxxx 求求解解xxxx221)2(lim 原式原式1 22

10、)2(211lim xxxxx22)2(211lim xxxxx2e 26例例7 7解解 21cos1cos10)1(cos1limxxxxx 2211cosxx 21cos1cos10)1(cos1limxxxxx 21 e27例例8 8.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式eln 解解) 0()1ln( xxxxxx)1ln(lim10 1lim)1ln(0 yyeyxy11elim0 xxx即即) 0(1e xxx另一个重要作用另一个重要作用 28将本金将本金0A存入银行存入银行, 年利率为年利率为 r, 则一年后本息则一年后本息之和为之和为)1(

11、0rA . 如果年利率仍为如果年利率仍为 r， 但半年计一次， 但半年计一次利息利息,且利息不取，前期的本息之和作为下期的本金且利息不取，前期的本息之和作为下期的本金再计算以后的利息，这样利息又生利息，由于半年再计算以后的利息，这样利息又生利息，由于半年的利率为的利率为2r，故一年后的本息之和为，故一年后的本息之和为20)21(rA , 这种计算利息的方法称为这种计算利息的方法称为复式计息法复式计息法. 例例9 9 连续复利问题连续复利问题 如一年计息如一年计息n次，利息按复式计算，则一年后本次，利息按复式计算，则一年后本息之和为息之和为 nnrA)1(0 29nnrA)1(0 随着随着n无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不会无限增大，其极限值为会无限增