常微分方程习题及答案

1、第十二章常微分方程(A)、是非题1 .任意微分方程都有通解。（）2 .微分方程的通解中包含了它所有的解。（）3 .函数y 3sinx 4cosx是微分方程y y 0的解。（）4 .函数y x2 ex是微分方程y 2y y 0的解。（）125 .微分方程xy In x 0的通斛是y - In x C （C为任息常数）。（）26 . y sin y是一阶线性微分方程。（）7 . y x3y3 xy不是一阶线性微分方程。（）8 . y 2y 5y 0的特征方程为r2 2r 5 0。（）9 . dy 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。（）dx、填空题1.在横线上填上方程的名称 y 3 1n

2、xdx xdy 0 是 xy2 x dx y x2y dy 0 是。 x-y ln * 是 odx x xy y x2 sin x 是 0 y y 2y 0是。2. y sin xy x cosx的通解中应含 个独立常数。3. ye 2x的通解是。4. y sin2x cosx 的通解是。5. xy 2x2y 2 x3y x4 1是阶微分方程。6. .微分方程y y y 6 0是阶微分方程。7. y 1所满足的微分方程是 。 x8. . y 2y的通解为。 x9. dx dy 0的通解为。 y x10. 电包 x 1 5 ,其对应的齐次方程的通解为 dx x 111. 方程xy 1 x2 y

3、0的通解为。12. 3阶微分方程yx3的通解为。三、选择题1 .微分方程xyy x y 3 y4 y 0的阶数是（）。A. 3B.4C.5D.22 .微分方程yx2yx5 1的通解中应含的独立常数的个数为（）A. 3B.5C.4D.23 .下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（）。2A. y 2x B.yx C.y 2x D. y x24 .微分方程y 3y3的一个特解是（）。32_3A.yx31B.yx 2C.yx CD. y C 1 x5 .函数y cosx是下列哪个微分方程的解（）。A.yy0B.y2y 0C . yny 0D. y y cosx,其中C1, C2为任意常数6

4、 . y Cex C2ex是方程 y y 0 的（）A.通解B .特解 C .是方程所有的解D .上述都不对7 . y y满足ylx0 2的特解是（）xA. y ex 1 B.y 2ex C.y 2 e28 .微分方程y y sin x的一个特解具有形式（）*A. y asinxB.ya cosx*C. y x asin x bcosx9.下列微分方程中，（） 欢迎下载*.D . y a cosx bsinx是二阶常系数齐次线性微分方程。A. y 2y 0 By xy 3y2 0C. 5y 4x 0 D . y 2y 1 010 .微分方程y y0满足初始条件y 01的特解为（）。A. ex

5、B . ex 1 C . ex 1 D .2 ex11 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（）A.y 1 B . y x C . y sin x D . y ex12.过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程yy x应满足的关系是（）A. y 2x B . y 2x C . y 2x , y 13 D13.下列微分方程中，可分离变量的是（）。A. dyye B . dy kx ab y（k,a, b 是常数） dx xdxC. dy sin y x D . y xy y2 ex dx14 .方程y 2y 0的通解是（）。A. y sin x B . y 4 e2x C . y

6、C e2x D . y ex15 .微分方程" 曳0满足y|x3 4的特解是（） y xA. x2 y2 25 B . 3x 4y C C . x2 y2 C D16 .微分方程dy1y0的通解是y（dx xC1一A.CB.CxC.-CD.xx17 .微分方程y y 0的解为（）A. ex B . e x C .ex ex DoCx2 y 018 .下列函数中，为微分方程xdx ydy 0的通解是（）A. x y C B . x2 y2 C C . Cx y 0 D19 .微分方程2ydy dx 0的通解为（）。A. y2 x C B.yJxC C . y x C D20 .微分方程

7、cosydy sin xdx的通解是（）A. sin x cosy C B . cosy sin x CC. cosx sin y C D . cosx sin y C21 . y ex的通解为y （）。A.e B . e x C . e x Cx C2D . e x Cx C222 .按照微分方程通解定义，ysinx的通解是（）。A.sin x C1x C2 B . sin x C1 C2C. sin x C1x C2 D . sin x C1 C2四、解答题1 .验证函数y C e3x e2x（C为任意常数）是方程业 e 2x 3y的通解, dx并求出满足初始条件y|x 0 0的特解。22

8、2,求微分方程xy 1dxy1 x dy 0的通解和特解。 y |xo 1解：3r C , 2x2 y2 11 x3 .求微分方程或y tan -的通解 dx x x解：sin Cx o xx y y4 .求微分方程y y x的特解。y|x1 2解：y2 2x2 ln x 2 05 .求微分方程y y cosx e sinx的通解解：y e sinx x C6.求微分方程业y dx xsin x的通角轧欢迎下载9左力1,解：y sin x xcosx77 .求微分方程x 1y 2V x 11 0的特解。y 1x0 1-2312解：y x 1 2 x 1338.求微分方程y 孕上满足初始条件x

9、0, y 1, y 3的特解。x 1解：y x3 3x 19 .求微分方程y 2yy满足初始条件x 0, y 1, y 2的特解。解：arctan y x y tan x 10 .验证二元方程x2 xy y2 C所确定的函数为微分方程x 2y y 2x y 的解。11 .求微分方程exyexdxexyeydy0的通解。解：ex 1 ey 1 C12 .求 dy y tan x secx , y |x 0 0 的特解。 dx解：y cosx13 .验证y1 cos x, y2 sin x都是y2y 0的解，并写出该方程的通解。214 .求微分方程y 的通解。x解：y Cx2 x2 In x1y

10、. 15 .求微分方程y - y e0?两足初始条件y 1 0的特斛。xx e解：y ex x16 .求微分方程dy y x 1 3的通解。 dx x 1解：y x 1 2 - C217 .求微分方程上dx 上dy 0满足条件y0 1的特解。 1 y 1 x解：2 y3 X33 y2 x2518 .求微分方程y y 2y 0的通解。解：y Cex C2e 2x19 .求微分方程y 2y 5y 0的通解。解：y e x C1cos2x C2 sin2x20 .求微分方程y 4y 4y 0的通解。解：y C1 C2xe2xx21 .试求y x的经过点M 0,1且在此点与直线y 1相切的积分曲线。2

11、解：y x3 x 1 62（B）一、是非题1 .可分离变量微分方程不都是全微分方程。（）2 .若y1 x , y2 x都是y P x y Q x的特解，且y1 x与y2 x线性无关，则通解可表为y x y1 x C y x y? x。（）3 .函数y e 1x e2x是微分方程y 12 y 12y 0的解。（）4 .曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是y x2 C（C是任意常数）。（）15 .微分方程y e2x y ,满足初始条件y lx ° 0的特解为eye2x 1。（）2二、填空题1 . y1 cosx与y2 sin x是方程y y 0的两个解

12、，则该方程的通解为 。2 .微分方程y 2y 3y 0的通解为。3.微分方程2y y 0的通解为4.微分方程e2x的通解是5.微分方程y的通解是6.微分方程dydx2xy的通解是、选择题1 .微分方程4y 4y 0的两个线性无关解是（）A. e2x 与 2 e2x B . e 2x与 x e 2x Ce2x 与 x e2x D . e2x 与 42x e2 .下列方程中，不是全微分方程的为（A. 3x2 6xy2 dx 6x2y 4y2 dy 0.eydxyx e 2y dyC. y x 2y dx x2dy 0y dx xdy3.下列函数中，哪个函数是微分方程g的解（）2A. s gt B

13、. s gt C . s1.21.2-gt D . s - gt 224.下列函数中，是微分方程y 7y12y 0的解（）A. y x3 B . y3x e2xy e5.方程 1 x2 y xy0的通解是（A. y C 1 x2 BCyTx2x2Cxe 26.微分方程y In xdxx ln ydy满足y |x1 1的特解是（）2A. ln x,2ln yln2 x,2,ln y 1C. ln2xln2 y 0In,2ln y 17 .微分方程2.1 x dy2 .1 y dx0的通解是（A. arctan x arctan ytan x tan yC. ln x ln y Ccot x co

14、t y8.微分方程y sin x的通解是（）sin xC. y sin x C1x C2 Dy sin x C1 x C2A.y sin xCcrC3D. y3xx9.方程xy y 3的通解是（）。C3一A. y3 B.yCC. yxx四、解答题1 .求微分方程y 9y24x 6 cos3x 2sin3x 的通解。解：yC1 x cos3xC22x2 x sin x3x2.求微分方程y 7y 6y sin x的通解。1解：y C1eC2e- 7cosx 5sin x743.求微分方程3x2 2xy y2 dx x2 2xy dy 。的通解。解：y2 xy x2 Cx（C）、是非题1 .只要给出

15、n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解2 .已知二阶线性齐次方程 y P x y Q x y 0的一个非零解y,即可求出它的通解。（）二、填空题1 . 微分方程 y 4y 5y 0的通解是。2 .已知y 1, y x, y x2某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为3 .微分方程y 2y 2y ex的通解为三、选择题1 .微分方程y y 1一 的通解为（）。 x x x 1A. arctanx C B1, c c 1 arctanx C C . arctanx C D . arctanx xx2 .微分方程y y 1的通解是（）3.4.5.xy y 3 的的解是( y|x1 0

16、31微分方程dy 丫 tan 丫的通解为dx xA . sin - Cxx已知微分方程方程的通解是（）1Cxx sin 一yCxx sin y1Cx的一个特解为A. -C-x 1211C. C x_2116 .微分方程y1的一个特解应具有形式（式中a , b为常数）（）B . axexb C . aex bx D . axex bx四、解答题1 .设y ex是微分方程xyy x的一个解,求此微分方程满足条件y|x ln2 0的特解。解：代入yex到方程xyx中,xxe x原方程为xy_ xxe x x yC ee二 C2.已知y1xxe2xe ，y2xey3xxe2x ee x是某二阶线性非齐

17、次欢迎下载13得全微分方程:解彳3u x,yx0dx0x - dy2dy微分方程的三个解，求此微分方程。解：yi y ex, y3 y e H -ydxx 2e x均是齐次方程的解且线性无关。Cie x C2 e2x 2e x是齐次方程的通解。当Ci 2 , C2 1时，齐次方程的特解为e2xex、e2x都是齐次方程的解且线性无关。Cie x C2e2x是齐次方程的通解。由此特征方程之根为-1,2,故特征方程r2 r 2 0。相应的齐次方程为y y 2y 0故所求的二阶非齐方程为y y 2y f xyi是非齐次方程的特解代入上式得xf x i 2x e所以y y 2y i 2x ex为所求的微

18、分方程。一，i3.已知f 0-，试确止f x ,使e f x ydx f x dy 0为全微分方程，并2求此全微分方程的通解。，一“Q P 解：P e fxy,Q fx,由一 一得 x yf xex f x ,即 f x f x ex . f xe exe dx C ex x C. ii f 0一 C . f x ex-,22故此全微分方程的通解为ex x 1 y C2第十二章微分方程(A)一、是非题1. X； 2. X； 3. V; 4. X； 5. V; 6. X； 7. X； 8. V; 9.二、填空题1.在横线上填上方程的名称可分离变量微分方程；可分离变量微分方程；齐次方程；一阶线性微

19、分方程；二阶常系数齐次线性微分方程。1 2x1 .2. 3; 3. -eC1x C2 ； 4.sin2x cosx C1x C2 5. 3;446. 2; 7. y y2 0 ; 8. y Cx2; 9.x2 y2 C ;22_x_110. y C x 1 ; 11 . y Cxe2 ; 12. y x6 C1xC2x C3。120三、选择题1. D; 2 . A; 3. B; 4 . B; 5. C; 6.A; 7. B; 8. C; 9.A;10.A;11. C;12. C; 13. B; 14. C; 15. A; 16. B;17. B; 18. B; 19.A;20.D;21. C;

20、22. A.四、解答题1 .验证函数y C e3x e2x(C为任意常数)是方程也 e 2x 3y的通解， dx并求出满足初始条件y lx。的特解。222,求微分方程xy 1dx y1 x dy 0的通解和特解。y|x0 1解：C , 2x2 y2 1。1 x23 .求微分方程2y tan y的通解。dx x x解：sin Cx ox y4 .求微分方程y y i的特解。y 3 2解：y2 2x2 ln x 2 05 .求微分方程y y cosx es1nx的通解解：y e sinx x C6 .求微分方程 sinx的通解。 dx x臼 1斛：y sinx xcosx C 。 x0的特解。77

21、,求微分方程x 1 y 2y x 1工y |xo 12312解：y x 1 2- x 1 o338.求微分方程y 孕上满足初始条件x 0, y 1, y 3的特解。 x 1解：y x3 3x 1 o9.求微分方程y2yy满足初始条件x 0, y 1, y 2的特解。解：arctan y x 或 y tan x 。 4410 .验证二元方程x2 xy y2 C所确定的函数为微分方程x 2y y 2x y 的解。解：略。11 .求微分方程exy ex dx exy ey dy 0的通解。解：ex 1 ey 1 C 012 .求以 y tan x secx y |x 0 0 的特解。 dx解：y -

22、ocosx13 .验证y1 cosx, y2 sin x都是y 2y 0的解，并写出该方程的通解：略。214 .求微分方程y 空工的通解。x解：y Cx2 x2lnx。115 .求微分方程y -ye0?两足初始条件y 1xx解：y e- ex。x16 .求微分方程dy y x 13的通解。dx x 12解：y x 1 2 - C 。217 .求微分方程 x dx ydy 。满足条件y 01 y 1 x解：2 y3 x3 3 y2 x2 5 018 .求微分方程y y 2y 0的通解。解：y Cex C2e2x。19 .求微分方程y 2y 5y 0的通解。解：y e x C1cos2x C2 s

23、in2x。20 .求微分方程y 4y 4y 0的通解。解：y C1 C2xe 2x021 .试求y x的经过点M 0,1且在此点与直线y.一1 c 1解：y x x 1 o 62(B)、是非题1. X； 2. V; 3. V; 4. X； 5. X。、填空题x3x0的特解。1的特解。x -1相切的积分曲线23. yC1 C2xex;1. y C1cosx C2 sin x; 2. y C1eC2e;一l2x_2_xx24. y -eCixC2XC3;5.yCieC26. y C e8三、选择题1. C; 2. C; 3. C; 4. C; 5. D; 6. A; 7. A; 8. C; 9. A. 四、解答题1,求微分方程y 9y 24x 6 cos3x 2sin3x的通解。解：y C1 x cos3x C2 2x2 x sin x3x。2.求微分方程y 7y 6y sin x的通解。61解：y C1eC2e _ 7 cosx 5sin x 0743.求微分方程3x2 2xy y2 dx x2 2xy dy 。的通解。C解：y xy x o x(C)一、是非题1. X； 2. V;二、填空题2x21. y e C1cosx C2