第43讲用综合法求角与距离(原卷版)

1、第43讲用综合法求角与距离一、课程标准1、理解空间角的概念，理解空间内的平行与垂直关系.2、掌握用传统方法求空间内异而直线所成的角、直线与平而所成的角及二面角的常见方法.二、基础知识回顾知识梳理1 .异面直线所成的角定义：设a，b是两条异而直线，经过空间任一点0作直线a，a，b，b，把a，与卜所成的锐角（或直 角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.范围：（0 '名.2 .线面角平面的一条斜线和它在这个平而内的射影所成的短鱼，叫做这条直线和这个平而所成的角，当一条直 线垂直于平而时，规定它们所成的角是直角.3 .二面角以二而角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线

2、的两条射线，这两条射线 所成的角叫做二而角的平面角.4 .点到平面的距离从平面外一点引平而的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离三、自主热身、归纳总结1、已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异而直线CE与BD所成角的余弦值为（）A.* B * C. 1 dT 00352、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，AAi=2AB=2，则异面直线AJB与AD1所成角的余弦值为（）13、在长方体ABCD-A】B】CiDi中AB=BC=2，AAi= 1，则ACi与平面A1BCD1所成角的正弦值为（）A. 1 B. | C. 1 D.平4、如图，已

3、知在长方体ABCDABiCiD】中，AB=BC=4, CCi=2,则直线BCi和平面DBBQ1所成角的A乎B.乎C.孝 D.音5、如图，在正三棱柱ABCAiBiCi中，各棱长都相等，则二而角AiBCA的平面角的正切值为四、例题选讲考点一异面直线所成的角例1在长方体ABCDAiBCDi中,AB=BC= 1, AA尸审，则异而直线AD1与DBi所成角的余弦值为（）屋b.乎c.乎DT变式1、如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，侧面PAD,底而ABCD, PA1AD, PA=AD则异 面直线PB与AC所成的角为（）方法总结：用平移法求异面直线所成的角的步骤：一作，即据定义作平行线，作出异面直线所

4、成的角：二 证，即证明作出的角是异面直线所成的角：三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角， 则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.考点二直线与平而所成的角例 2 如图，在三棱锥 ABCD 中，侧而 ABDJ_底面 BCD, BC_LCD, AB=AD=4, BC = 6, BD=4 小, 则直线AC与底而BCD所成角的大小为（）变式1、在正方体ABCDAB】C】Di中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为（）变式 2、2019杭州模拟在三棱锥 P-ABC 中，PA_L底面 ABC，NBAC=120。，AB=AC=1，PA=V2，则直线PA与平面PBC所成

5、角的正弦值为（）A.平p变式 3、如图，在三棱台 ABC-DEF 中，平而 BCFEL平面 ABC，/ACB = 90。，BE=EF=FC=1，BC=2， AC=3.(1)求证：BF_L平面 ACFD：(2)求直线BD与平而ACFD所成角的余弦值.方法总结：求直线与平面所成角的关键是寻找斜线在平面上的射影，要善于根据题意寻找平面的垂线，通 常方法：一、利用题设中的线线垂直关系转换为线面垂直：二、找己知平面的垂而，再利用面而垂直的性 质转化为线而垂直.有时作而的垂线较繁杂，可以不作而的垂线，利用空间的数量关系直接求点到面的距 离，进而在直角三角中直接求线面角.常见求解步骤是先作图，证明垂直关系，

6、交代所求角，再在直角三角形中求得所求角.其易错点是平面的斜线与平面所成角是锐角考点三二面角例3 如图，已知在三棱锥SABC中，SA=SB=CA=CB= 事,AB=2, SC= 娘，则二而角SABC的 平而角的大小为()A. 30° B. 45° C. 60° D, 90°变式 1、如图，在三棱柱 ABCAiBiCi 中，BBi_L平面 ABC, ZBAC = 90°, AC=AB=AAi, E 是 BC 的中 点(1)求证：AElBiC：(2)求异而直线AE与AC所成的角的大小；(3)若G为CiC的中点，求二面角CAGE的正切值.变式2如图，锐

7、二面角山。的棱上有A, B两点，直线AC, BD分别在这个二面角的两个半平而内，且都 垂直于AB.已知AB=4, AC=BD=6, CD=8,则锐二面角a甲的平面角的余弦值是()变式 3、如图，在四棱锥 A-BCDE 中，平面 8©口£_1_平而 ABC，BE±EC，BC=2，AB=4，ZABC = 60°.(1)求证：BE，平面ACE：(2)若直线CE与平而ABC所成的角为45。，求二面角E-AB-C的余弦值.D变式4、如图，在四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，底而ABCD是等腰梯形，ABCD AB=2，BC=CD = 1， 顶点Di在底而ABCD内

8、的射影恰为点C.(1)求证：ADilBC：(2)若直线DDi与直线AB所成的角为g，求平面ABCiDi与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值.方法总结：求二而角方法一：利用定义作出二面角的平面角，转换为在三角形中来求.方法二：分别求出 二面角的两个半平而所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意 结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角考点四点到平面的距离例4、若正四棱柱ABCDAiBCiDi的底而边长为1, ABi与底面ABCD所成角的大小为60。，则AiC】到底 面ABCD的距离为()A.坐 B. 1 C. 2 D.小变式1、已知正方体ABCDAB】GDi的棱长为

9、6, P是AA1的中点，Q是aBDCi内的动点，若PQ_LBC, 则点Q到平而AiBiCiDi的距离的取值范围是()'91A. 3, 5 B. 15' 61 C. 4, 5 D. 25，6变式2、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB = 1，PA_L平而ABCD， E，F分别是线段AB，BC的中点.(1)证明：PF1FD：(2)若PA=1，求点E到平面PFD的距离.变式3、如图所示的五而体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且NDAB=60。，EA=ED=AB=2EF=2，EFAB，M 为 BC 的中点.(1)求证：FM平而BDE；(2)若平

10、而ADEL平面ABCD，求点F到平面BDE的距离.方法总结：求点到平面的距离，方法一：根据而面垂直的性质直接作出距离求解，方法二：利用等体积法 换顶点来求解.五、优化提升与真题演练1、(2018全国二高考)在长方体ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC = 1，AAi=73，则异面直线ADi与DBi所成角的余弦值为()A I B当坐0田2、(2018天津高考)如图，在四面体ABCD中，aABC是等边三角形，平而ABCL平面ABD，点M为棱AB 的中点，AB=2，AD=2/，ZBAD=90°.(1)求证：AD1BC：(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值:(3)求直线CD与平而ABD所成角的正弦值.3、(2018 全国二高考)如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB=BC=2艰，PA=PB=PC=AC=4