复合函数求导方法和技巧

1、复合函数求导方法和技巧毛涛(理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班，723000)指导老师：延军摘要箕合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的 定义以及性质人手，在全面了解宜合函数后再探讨亘合函数的求导方法，分析箕合函数求导过程中容易出现 的问题，然后寻求能快速准确的对亘合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的 有效学习。关键词亘合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用1引言复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习 高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习

2、和思维素质的培养起着至关重要的 作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时, 在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题 时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知 半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求 导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元 积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构, 明确复合次数，然后由外层

3、向层逐层求导(或者也可以由层向外层逐层求导)，直到关于自变量求导， 同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先绐出了复合函数的定义和性质，在 充分了解并且堂握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求 导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种 对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够堂提各种题型的最佳解 决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后 学习生活中的使用。2复合函数的定义如果y是的函数，“又是的函数，即)，=73),

4、= g(x),那么y关于的函数y = /g(x) 叫做函数y = /W和"= g(x)的复合函数，其中。是中间变量，自变量为4,函数值为y。3导数的四则运算定理1若函数和u(x)在点与可导，则函数/(x) = (x)±y(x)在点差也可导,且：/'(%) = '(入0)±/(与)定理2若函数“W和似x)在点与可导，则函数/(x) = (x)Mx)在点口也可导,且:八/)='(%)"() + 6), Mx。)推论1若函数Mx)在点/可导，c为常数,则:("(x)L ="*()定理3若函数“(X)和U(x)在点凡都

5、可导，且X%)。，则x)= 皿在点/也可寻,且: 心)/'（%） =“'（/Mx。）-（Xo）y'（Xo）（%）4复合函数求导方法和技巧4.1链式法则求复合函数的导数定理4如果函数"=叭。及u = W都在点，可导，函数Z = f(u, v)在对应点(凡v)具有连续偏 导数，则复合函数Z = /'例，)&(/)在对应点，可导，且其导数可用下列公式计算：dt Jz du 5z dv ,I . dz du dt 5v dt思路 根据公式(/。)'"0)= /'(0)0(%) = /'(9(/)。'(飞)我们首

6、先要清楚的分析出复合函数的 复合关系，找出要求导的复合函数是由哪几个初等函数复合而成的，然后再恰当的设置中间变量，把 它分解成一些基本的初等函数的复合，最后由最外层开始，先使用法则，后使用导数基本公式，由表 及里的一层一层地求导，注意不可忘记里层的求导。例1求复合函数/*)= 0+，1 + .1)的导函数。解(分析过程)第一步，将这个复合函数“分解”成基本初等函数：f(x) = bin ll = X+yJi + X1(可以看出要求导的函数是由这两个函数复合而来，然后设置中间变量) 第二步，再根据链式法则进行求导，并将中间变量代回原来的X变量：/(X)，=(加(Inn)' = =)u&#

7、39; = 1 + a11 x+j + x2y/l + X2(注意对u的求导时Ji* 也是一个复合函数，(x+Ji+Yy=1+(717?/.W.=1+ 2d+x2y2，1 + 产=1+ J 2x2y/l + x2 x=1+ /l + X2不可忘记里层的求导，要做到准确求导)第三步，将分析求导后的数据整理得结果：1r/(0二-(1+1=)x + a/1 + 厂，1 + 厂1V1 + A'2例2求复合函数y = /2cosx的导函数。解 (分析过程)第一步，将这个复合函数“分解”成基本初等函数：y = Inn u = 2v v = cos x(可以看出要求导的函数是由这三个函数复合而来，设

8、置恰当的中间变量) 第二步，再根据链式法则进行求导，并将中间变量代回原来的X变量：)，=(/ u)'(2y)'(cos x)'(/)，= (2v = 2 (cos = -sinxu(注意J的表达式均是一元函数表达式)第三步，将分析求导后的数据整理得结果：yf =(加 )'(2.)'(cos x)f1 c=-z-sinxu1 c=-2-sinx2v-sinxcosx=kinx例3求复合函数y =。/(/x)的导函数。第一步，将这个复合函数“分解”成基本初等函数：y = Innu = Invv = Inx(可以看出要求导的函数是由这三个函数复合而来，设置恰当

9、的中间变量)第二步，再根据链式法则进行求导，并将中间变量代回原来的X变量：yf = (limy Invy (Inx)9(/)' = (Inv)r = -=uvx(注意v的表达式均是一元函数表达式)第三步，将分析求导后的数据整理得结果：y" = (Ini(y ,(/)'. (Inx)91 1 1 II V X1 1 1= In(Inx') Inx x1x Inx - In(Inx')注：链式法则求复合函数的导数是复合函数求导的一种基本方法，也是一种关键方法。在运用链 式法则求导时，一定要先明确链式法则的适用条件，在适合运用链式法则求导的前提下，准确的设置

10、 中间变量，在分析所给的函数时，y = e(),=w"),u = g(x)等分解表达式必须为一元函数。在求导 过程中，一定要记清每一步是谁对谁(即什么函数对哪个变量)求导数，对前变量(即函数)求导后, 在后边应马上乘以一个前变量对后变量求导因子，不能漏掉链式法则中的任何一个环节，不能忘记对 里层函数的求导。而在实际做题中，当我们已经熟练堂握链式法则后，并不一定要每一步都写出所求 复合函数的中间变量，心中知道是怎么复合而来的就行，然后做到准确无误的求导。4.2对数求导法求复合函数的导数对数求导法可以把乘积的函数转化成加减的函数，把函数的黑运算转化成函数的相乘运算，对于 一些函数的乘、除

11、、乘方、开方所构成的函数，采用对数求导法来求导，这会简化我们的求导运算， 因此对数求导法是复合函数求导的一种重要的，同时也是一种比较简便的方法。思路 先对类型如y = /W的复合函数两边同时取对数，然后对两边同时关于x求导数，最后移项， 移成)/ = y'(x)的形式，最终整理得出答案。例4求复合函数)，=/上萼二,(工4)的导函数。(x-3)(x-4)解 (分析过程).W.第一步，先对函数式两边取对数，得：l(x - l)(x - 2)lny = In V(x-3)(x-4)=In(x -1) + In(x -2)- In(x-3)- In(x - 4) 2第二步，对上式两边同时对求

12、导数，得：1,11 1 1 1 y = -(+)尸 2 x-1 x2 x-3 工一4(切记不可写成(/y)' =-)y移项，得：，1 1 1 1 、y =-(+-)2 x-1 x-2 x3 x-4第三步，将分析求导后的数据整理得结果：，1 l(x-l)(x-2) 1111 .v =-J(+)2帕-3)(工-4) x-1 x-2 x-3 x-4例5求复合函数)/"，。，(的导函数。解(分析过程)第一步，先对函数式两边取对数，得：Iny = Inx3'nx=sin xlux第二步，对上式两边同时对求导数，得：1 ， ； 1y = cos xlnx +sin x-yx移项，

13、得：yr = y(cos xlnx + x第三步，将分析求导后的数据整理得结果：*yf =(cos xlnx + Sin -)xi例6求复合函数("二")；,(x>4)的导函数。(x +2)5*+ 4户解(分析过程)第一步，先对函数式两边取对数，得：£z 7 * + 5尸。-4户Iny = In(x+2)s(x+4-=2/z/(a+ 5) + - Inx - 4) -5In(x + 2)-In(x + 4)32第二步，对上式两边同时对求导数，得：1,2151y =j)x + 5 3(x-4) x + 2 2(x + 4)移项，得：，2151、y = y(+-

14、),6 x + 5 3。-4) x + 2 2(x + 4)第三步，将分析求导后的数据整理得结果：I(工 + 5)2(工一4户2151y =7-(+)(x + 2)2 + 4)! "53(-4) x + 22(x + 4)注：对数求导法对一些幕指数函数，乘积形式函数这类复杂的复合函数的求导是很便捷的。在求 解时先对函数式两边取对数，然后对此对数式两边同时对x求导，但要注意在解题时，/(x)WO时， Infx) = fXx),而不是他(幻二-；由于此类复合函数求导计算比较繁琐，所以在求导过 于(x)f(x)程中要及时对所求导后的函数式进行化简，最后通过移项，整理得出结果，确保得到最简洁

15、、准确的 答案。4.3 反序求导法求复合函数的导数反序求导法是一种对复合函数从里到外依次求导的方法，它和链式求导法在求导时具有相似性， 但本质又不同。反序求导法具有以下三个方面的优点：第一，求导次序和求复合函数值的次序一样， 合乎习惯，有助于对此方法的堂提和运用；第二，从里到外的求导，避免了求导不彻底的错误；第三, 形式上便于书写。思路 通常求由函数,，= /()， =夕。)构成的复合函数y = /奴工)的导数时，是应用复合函数 求导法则：乂 = /：()夕(外，从外到里求导；而反序求导法则是：乂从里到外进行求导。例7求复合函数y = "-2"的导函数。第一步，设 丁 =

16、e'1 u = -2x(采用反序求导法则求导复合函数依然先要设置中间变量，将复合函数分解成初等函数)第二步，根据反序求导法则：/：()从里到外进行求导/ = -2/ = e"第三步，将分析求导后的数据整理得结果：=-2产例8求复合函数y = sin 3/的导函数。解 (分析过程)第一步，设)' =$11 u = 3x2(设置中间变量，将复合函数分解为初等函数后采用反序求导法则从里到外进行求导)第二步，根据反序求导法则：)；=?'")£()从里到外进行求导u =6x(sin )' = cos u第三步，将分析求导后的数据整理得结果：)

17、/ = ' (sin )= 6xcos 3x2例9求复合函数y = (sin/r的导函数。解 (分析过程)第一步，设丁 = 、 u = sinvv = x2(先恰当的设置中间变量，然后将原复合函数分解成基本初等函数，最后采用反序求导法从 里到外进行求导)第二步，根据反序求导法则：4进行求导M = 2x u = cos v y： = 3ir第三步，将分析求导后的数据整理得结果：=2x-cos v-3/r=2x cosx2 - 3(sin x2 )2= 6xcosx2 -(sinx2)2注：在对复合函数进行求导时，反序求导法与链式求导法的区别在于链式求导法对复合函数的求 .W.导是从外到依

18、次进行求导，而反序求导法对复合函数的求导则是从到外依次进行求导，因此反序求导 法相比较于链式法则的优点在于链式法则对复合函数从外到进行求导时容易忽略对部函数的求导，从 而导致求导不彻底，而反序求导法在对复合函数进行求导时首先就对函数部进行求导，因此出现求导 不彻底的可能性非常小，甚至直接可以避免这种情况的发生，所以反序求导法则是复合函数求导中的 一种非常重要的方法。4.4 多元复合函数的一元求导法多元复合函数的一元求导法是根据多元复合函数偏导数的概念，对自变量4求偏导数，把其余自 变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x的一元函数，从而就可以利用一元函数求导法进行复合函 数的求导，对一些复合函数

19、求偏导可以起到既方便又准确的作用。思路 将复合函数中除过要求导的自变里外其余自变量均看成常量，然后利用一元函数求导法依 次进行求导。例 10 已知复合函数Z = e"(一口)，其中 = asinx + y, y = cosx-y求，。 dx解(分析过程)第一步，先将其余自变量暂时看成常数： = aeax(u-v) + eax(uf-vf) dx第二步，然后利用一元函数求导法依次进行求导：=aeax(a sin x + y) (cos x - y) + eax (a cos x + sin x)=aeaa sin x -cos x + 2y) + aeax cos x + Din x=

20、creax sin x - aeax cos x + laye + aeax cos x + eax sin x第三步，将分析求导后的数据整理得结果：=ecx (a2 + l)sin x + lay*(v_z)du例11已知复合函数=；,其中y = asinx, z = cosx求丁。cr + dx解(分析过程)第一步，先将其余自变量暂时看成常数：dx cr +1第二步，然后利用一元函数求导法进行求导：=一aeay - z) + * (a cos x + sin x) cr +1=(creax sin x - aeax cos x + aeax cos x + eax sin x) cr=/一

21、(a2 +1)* sin xcr +第三步，将分析求导后的数据整理得结果：=eax sin x例 12 已知复合函数 Z = e" sin v, = xy, y = x + y,求二，二。dx dy解（分析过程）第一步，先将其余自变量暂时看成常数：dz dz du dz dvdx du dx dy dx第二步，然后利用一元函数求导法进行求导：=elt sin v-y + eu cosv 第三步，将分析求导后的数据整理得结果：=exry -sin（x + y） + cos（x + y）第一步，先将其余自变量暂时看成常数：dz. dz du dz. dvdy du dy dv dy第二步

22、，然后利用一元函数求导法进行求导：=e" sin v-x+e" cos v 1第三步，将分析求导后的数据整理得结果：=eXY x - sin（x + y） + cos（x + y）注：利用多元复合函数的一元求导法求导函数时对自变量求偏导，把其余自变量都暂时看成常量, 从而要求导的函数就变成了一元函数，此时，便可以使用一元函数的所有求导公式和法则进行求导了, 使用这种方法可以既快速又准确的对复合函数进行求导，但一定要看清要求导的自变量和把其余自变 里要看成常数。4.5 反函数求导法。'（为）定理5设y = /（x）为x = 9（y）的反函数，若奴丁）在点儿的某邻域连续

23、，严格单调且。'（用）工。，则/（X）在点发0（%=奴为）可导，且/"（/） =.W.思路设可导函数y = /(a)的反函数x =(p(y)也可导，然后由x =奴y) = °(/'(x)两边对x求导,从而得出所要求复合函数的导数。例13求函数y = arcsina的导函数。解(分析过程)第一步，由于y = arcsinx, xw(-1,1)是x = sin y , y e (-，,g)的反函数，故由公式x = sin(arcsin x)第二步，两边同时对x求导后变形得:(arcsin x)f =!(sin ycos y 5/l-sin2 y第三步，将分析求导

24、后的数据整理得结果:-=2=,xe(-lJ) Jl-r例14求函数丁 = arctanx的导函数。解 (分析过程)的反函数，因此由公式 2 2第一步，由于 y = arctanx , xe R 是 x = tany , y e(:(与)=下可以得出: (%)x = tan(arctaii x)第二步，两边同时对x求导后变形得:(arctan 打=!(tan ysec2 y1 +tan2 y第三步，将分析求导后的数据整理得结果：= （-CO,+O0）1 +厂注：反函数求导方法是复合函数求导中一种重要的方法，熟练的写出原函数的反函数是求导的关 键，此外，在求导过程中要记得是同时对两边进行求导，不可

25、以一边求导而另外一边照写。在解题时 熟练堂提各种公式的变形也是正确解题的一个关键点。5小结在对复合函数进行求导时，首先必须熟练堂提函数的运算顺序，其次在于弄清楚复合函数的结构。 在用链式法则求导复合函数时，首先应将其分解成若干简单函数，复合函数分解的彻底与否是复合函 数求导正确与否的关键所在，所以在分解复合函数时，要做到不漏不重，明确复合次数，应注意分清 哪个是外层函数，哪个是里层函数，如果这一步发生错误，那么后一步求导肯定是错误的。求导时应 先对外层函数进行求导，再对里层函数进行求导，按法则详细写出求导过程，并应注意及时化简计算 结果，不能遗漏求导环节。做题时，要会引进中间变量，将复合函数正

26、确分解是复合函数求导的关键, 这需要通过一定数量的练习才可堂握。当熟练堂提复合函数的分解后，可以不必把中间变量写出来， 按照复合函数的求导法则，由外向里，逐层求导即可。在用对数求导法求导复合函数时，首先要对函 数两边同时取对数，以此来方便求导。在用反序求导法进行复合函数求导时，首先也要对复合函数进 行分解，但是注意是从到外进行求导，该方法避免了求导不彻底的错误，而且方便于书写。多元复合 函数的一元求导法主要是对复合函数求偏导，注意要把要求自变里之外的其余自变it都暂时看成常数, 使用这种方法对一些复合函数求偏导可以起到既方便又准确的作用。在实际求导过程中，有时将复合1 1 -函数进行变形也可以

27、起到方便求导的作用，如：复合函数丁= /、可以变形为:>'=（-一r）2 ,Vl + x21 + 厂（ = ）;复合函数 y = 1sin3xcosx-4sin3xsinx 变形为 y = Isin（4x + ） + sin（2x-）, 22233再进行求导就方便很多了。所以在求导时要根据具体情况对复合函数进行具体分析，要有明确的思路, 灵活选用恰当的求导方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，进行准 确无误的求导。参考文献m华东师大学数学系,数学分析M.（第三版）,：高等教育出社.2001.87-114.清华，昊.数学分析容、方法与技巧（上）,华中科技大

28、学,2003周建莹，正元.高等数学解题指南一大学,2002.4月华.复合函数求导探析职业技术学院学报,2011, 10 （2）: 123-124.5筑生.数学分析新讲M.:大学,1990.6马俊卓合函数的几种简便求号法5.现代企业教育，2006, 8 （下）：83-85.7罗洪艳，闫运和复合函数求导法则教学浅析JL才智，2011,第二十八期.w.建玲.亘合函数导数的新方法J.北方学院学报，2008, 24 (4) : 81-84.9玉琏,数学分析讲义(上册)M.：高等教育.1997.10德兴.数学分析中的典型问题与方法M.:高等教育.199311吴炯圻.数学专业英语M.第二版.:高等教育,200912红英.突破求其合函数导数的重点、难点J.师高等专科学校学报，2004, 20 (3): 69-7013贺建平宦合函数求导数教学法探讨J.职业技术，2007,第五期.14奎奇，方钢.关于复合函数的求导方法5.高等函授学报，2008 , 21 (5) J3-14.15农建诚.巨合函数求导方法教学教法探讨J.课程教育册究，2012,第十九期.161梁树春.亘合函数求导法教学探讨叫.广西财政高等专科学校学报，2002, 15 (4): 61-63.17倪焕敏.关于复合函数求导有效教学的探究JL工业职业技术学院学报，2012, 12 (3): 116-11