工科数学分析：chap1-2数列极限

1、第1节 预备知识第第1章章 一元函数的一元函数的 极限与连续极限与连续- - - - - - - 自学自学例1.圆的面积割圆术2.1 数列的极限第2节 极限的概念和性质1.几个实例 , , , , , 321nAAAA: 得到一列数 . 圆的面积 , 26 , 1边形便无限地接近于圆正无限增大时当nnL,的数无限地接近于某一确定同时nA 26 1边形的面积正nnA L121262sin21 26 nnR例 2. 求抛物线 y= x2、x 轴、直线 x = 2 所围成的曲边三角形的面积 A .2xy2x采用采用“以直代曲以直代曲”的方法的方法：把把0，2三等分三等分把把0，2九等分九等分把把0，

2、2二十七等分二十七等分把把0，2三十九等分三十九等分ABCDE)12)(11 (346) 12)(1(882)2(31023102nnnnnninnniAninin38)12)(11 (34nnAAn则所得阶梯形的面积等分后，将 20 - nAn , , , , , 321nAAAA得到一列数. 2, , 2所围面积的差别就越小轴，阶梯形面积与由越大xxxyn. , 求的面积面积便无限地接近于所阶梯形无限增大时当n .A 近于某一确定的数也无限地接nA. 是所求的面积便这个确定的数 A 例: 一尺之棰,日取其半,万事不竭. , 21n21 即即. 2数列极限的概念 , 212 , 213, ,

3、 21n*一般地, 按照确定的次序排列起来的无穷多个数 , , , , , 321naaaa例：称为一个. )( 一般项称为通项项第nan . na简记为; ,1 , , 43 , 32 , 21nn 1 nn即, 数列; ,)1(, ,43 ,34 ,21 ,21nnnn)(n n11 即; ,2, ,8 ,4 2,nn2 即; ,)1( , , 1 , 1 , 1 1,1n1)1(n即1a2a3ana在研究数列时,常常以下面两种观点之一看待数列.几何观点:函数观点: , , , , ,321naaaa 它依次取数轴上的点点可看作数轴上的一个动数列 , na . )( : Nnnfanann

4、的函数可看作自变量为数列; ,1, ,45 ,34 ,23 ,2nn 考虑数列nnnan111nan1|1|. 1lim nna这个事实记为这个事实记为 . |1| , 会无限地减小会无限地减小无限地增大时无限地增大时当当nan)( naan或N总总存存在在正正整整数数对对任任给给的的 , 0 总总满满足足不不等等式式使使得得对对naNn , , |aan的的极极限限是是数数列列则则称称naa limnnaa记为 或称数列 收敛于 , naa的的几几何何解解释释”的的极极限限为为“数数列列 aanaa1a2a3aNa1Na2Naa() , , , 0aaNnNn有时当正整数对 0) 1() 1

5、( lim . 1 2nnn试证例. 0) 1() 1(lim 2nnn 1)1(1|0| 2nnxn只要 )1(1 0)1()1(|0|22nnxnn , , 1 , 0有时当对NnN :证明 :分析要使对任意的 , 0 111) 1(1 0) 1() 1(22nnnnn0lim . 1| . 2 nnqq试证设例 0lim nnq , |lnln , 1 , 0 qN不妨设对 |0| , nnqqNn有时当 :证明等比数列时，时，自然成立。00qqnq ) 0(1 lim . 3 naan试证例 :证明11 nnaa1 lim nna , , )1ln(ln , 01) 1 (有时当对时当

6、NnaNa显然成立时当，a1)2(.,1)3(请同学自己证明时当 a ) 1(0lim . 4 2naan n试证例 :证明 0, h1 ha设3326) 2)(1( 6) 2)(1(2) 1(1)h1 ( hnnnhhnnnhnnnhannn则332322) 3(6) 23(66) 2)(1( hnhnnnhnnnnann , , 63 , 03有时当对NnhN )3(60 32hnann ) 1(0lim 2naan n例 5证明常数列Cxn存在极限， 且CCnlim。 CCnlim。 CCn lim证明证明：0，对Nn，都有 0CCCxn， 例 6证明： 01lim nn (0 ) 如如

7、: : , 01lim nn, 01lim2 nn. 01lim nn+:) 1|(| 0lim qqnn ) 0( 1 limnaanCCnlim 1 limnnn例 7 证证 明明 数数 列列nnx)1( 发发 散散 。 +例 8试证：若axnnlim，则axnnlim；反之是否成立。 证证明明：axnnlim，0，NN，Nn时，恒有axn。axaxaxnnn，axaxnn， axnnlim。反之不能成立。 反例反例：) 1(n。11lim) 1(limnnn，但nn) 1(lim 不存在。 结结 论论 1 1. . 0lim nnx0lim nnx。 2 2. .若若axnn lim，则

8、则 Nk，有有axknn lim。 3 3. limlim lim212axxaxnnnnnn 。 以以上上结结论论可可直直接接引引用用。 3.数列极限的性质 | ,n,111axNNn有时)(lim,lim 2121aaaxaxnnnn假设同时有 , 02 21aa对证明. ,lim 则极限值必唯一存在若nnx性质1（唯一性） | ,n,222axNNn有时有时则当取 , , ,max 21NnNNN212121212 | aaaxaxaxxaaannnn!矛盾. ) , 3 , 2 , 1 ( ) 1 ( 是发散的数列nxnn性质2（有界性）证明. 1 , ,N , 1axNnNn有时当对

9、 . ,lim 必有界则存在若nnnxxaxnnlim 设1 , axNnn有时当. ,1, , max1MxNnaxxMnN有则对取性质3（保序性）. ,N , ,lim ,lim nnnnnnyxNnNbabyax时时，有有当当则则若若证证明明见见书书1推论. , ,lim ,limbayxbyaxnnnnnn则则若若2推论. , ,limbxNnNbaxnnn时时，有有当当则则若若. ),0:(称称为为保保号号性性时时当当注注b. ) 0 (limlim lim (3) nnnbbayxyxnnnn见见书书证证明明 4.极限运算法则1 定理)(四则运算法则则则设设,lim ,limbya

10、xnnnn， lim lim lim(1) bayxyxnnnnnnn， lim lim )(lim(2) abyxyxnnnnnnn，caxcxnnnnlimc lim 0 (3) ., ) (2 ;.(1) 分分母母极极限限不不能能为为否否则则不不可可使使用用各各自自极极限限必必须须存存在在但但对对无无限限不不适适用用个个上上述述公公式式可可推推广广到到有有限限注注3234319.51n例 求 limnnnn解.1151134lim15134lim323n323nnnnnnnnn.54005004)115(lim)1134(lim32n3nnnnn有一般性结论11110.1 22 3(1)

11、n例 求 limn n解1)111 (lim)111()3121()211(lim) 1(1321211limnnnnnnnn2 定理)( 夹夹逼逼定定理理axnn lim 则必有azyzxynnnnnnnlim lim (2) ,(1)设121211.,n例 设为个给定的正数求 limknnnnka aakaaa ，则设解),max(21kaaaannnnnknnnnkaakaaaaa21aaaannknn21nlim13 定理. 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限)( 单调有界原理 2121MaaaMaaann单单减减且且有有下下界界单单增增且且有有上上界界例 12 收敛。证明数列设

12、nnana, 131211222 证明 212) 1(13212111131211222n-nnnan0) 1(121naann又单调增加 na且有上界 3定理 收敛。数列na1110,0,()2lim,lim.例 13. 设 , 证明存在 并求nnnnnnnaaxxxxxxaaxaxxaxxnnnnn21)(21)(21 证明, 021)(2121nnnnnnnxxaxxaxxx又 单减且有下界nxnnxx1 即3定理.lim存在nnx11lim,()2,设在等式两边令取极限得nnnnnaxLxxxn )()(21aaLLaLL应舍去解得axnnlim112,2)lim,lim.例 14 设

13、 ,( n1,2,证明存在 并求nnnnnnxxxxx001101,1,1)11lim,lim .例 15 设 ,( n1,2,证明 存在 并求 nnnnnnnxxxxxxxxx ;有界性用归纳法单调性可用可不用单单调调性性用用归归纳纳法法有有界界性性显显然然 ;.11 lim 存在证明nnn16例 证明nnnnnnnn1! )1()2)(1( nnxn11321! 3)2)(1(1! 2) 1(1! 11nnnnnnnnn, 112111! 1 nnnnnnnn2111! 3111! 2111, 112111! 1 nnnnnnnn2111! 3111! 2111. 11121111! ) 1(1 nnnnn, 类似地121111! 31111! 2111 1nnnxn111121111! 1 nnnnn 1nnxx单调增加 nx, 11 lim 存在极限nnn 3213211211121212111! 1! 31! 2111112nnnnnx又且有上界 3定理4592.71828128e 11 lim nnn收敛准则）（定理Cauchy4nmaaNnNmN ,N, 0有时当收敛数列na 为一常数列，显然收敛则若naaa,2117例 收敛。证明数列满足：设数列nnnnnnanqaaqaaa, 2 , 1, 10(112 证明npnaapNnN ,N,