题型09,求数列通项（解析版）

1、本文格式为word版，下载可任意编辑题型09,求数列通项（解析版） 秒杀高考题型之求数列通项 【秒杀题型一】：已知ns ，求na 。 秒杀策略：分段表示：11( 1)( 2)nn ns nas s n-= ì= í- ³î，然后验证第一项是否在其次项以后的通项中，假如在则统一写，假如不在则分段写。 特别地： c bn an s n + + =2，当 0 = c 时，na 是等差数列，统一写；当 0 ¹ c 时，na 从其次项起是等差数列，分段写。 t kq snn+ = ，当 k 、 t 互为相反数时，na 是等比数列，统一写；当 k 、 t

2、不互为相反数时，na 从其次项起是等比数列，分段写。 【秒杀题型二】：由ns 与na 、nt (数列前 n 项乘积。)与na 的关系求通项。 秒杀策略：ns 与na 采纳作差法：ns 与na 的关系 ，当取 n-1(或 n+1)时，得 ； - 后求通项。 nt 与na 采纳作商法：nt 与na 的关系 ，当取 n-1(或 n+1)时，得 ； / 后求通项。 1.(2021 年新课标全国卷 i17)已知数列 na 的前 n 项和为ns ， 1 , 0 , 11 1- = ¹ =+ n n n ns a a a a l ，其中 l 为常数。 （1）证明： l = -+ n na a2；

3、（2）是否存在 l ，使得 na 为等差数列？并说明理由。 【解析】：（1） 11- =+ n n ns a a l ， 11 2 1- =+ + + n n ns a a l ，得：1 2 1) (+ + += -n n n na a a a l ， 0 ¹na q ， l = -+ n na a2。 （2） na 是隔项等差数列， 1 2 - na 、 na 2 是公差为 l 的等差数列，要使 na 成等差数列，需21 2l= -a a ， 12- = l a ，得 4 = l ，即存在 l 使得 na 为等差数列。 b aa sn n+ = ，当 0 ¹ b 时，na

4、 是等比数列，统一写；当 0 = b 时，na 从其次项起是等比数列，分段写。 ns 是关于na 的二次函数，作差后分解因式，得等差数列。 【秒杀题型三】：由ns 与na 的关系求ns 的通项。 秒杀策略：由1 - =n n ns s a ，转化为ns 的关系。 1.(2021 年新课标全国卷 ii6)设ns 是数列 na 的前 n 项和，且 11- = a ，1 1 + +=n n ns s a ，则ns = 。 【解析】：1 1 1 + + += - =n n n n ns s s s a ，得 11 11- = -+ n ns s，ns1为等差数列，ns n1- = 。 2.(高考题)已

5、知数列 na 的前 n 项和为ns ，11 a = ，ns =12+ na ，则ns = ( ) a.12 n- b.132n-æ öç ÷è ø c.123n-æ öç ÷è ø d.112 n- 【解析】：ns =12+ nan ns s 2 21 -=+，得 1 ,2311= =+sssnn，选 b。 【秒杀题型四】：累加法求通项。 秒杀策略：当数列相邻两项之差是一个确定的数列时，利用累加法求通项。 设n n nb a a = -1，且nb 是已知数列，则求na 步骤为

6、： 2 1 2b a a = - 3 2 3b a a = - n n nb a a = -1 累加得：n nb b b a a × + + = -3 2 1，可求出na 。 1.(2021 年新课标全国卷 17)设数列 na 满意2 11 12, 3 2nn na a a-+= - = × 。 （1）求数列 na 的通项公式； （2）令n nb na = ，求数列的前 n 项和ns 。 【解析】：（1） q2 11 12, 3 2nn na a a-+= - = × ，利用累加法可求出2 12nna-= ， na 是等比数列。 （2）符合错位相减法求和的特点，设

7、1 3 5 2 11 2 2 2 3 2 . 2nns n-= ´ + ´ + ´ + + ´ ，两边同乘以公比22 可得3 5 7 2 1 2 14 1 2 2 2 3 2 . ( 1) 2 2n nns n n- += ´ + ´ + ´ + + - ´ + ´ ，得2 11 (31)2 29nns n+= - + 。 【秒杀题型五】：构造数列求通项。 秒杀策略：主要有两类，一是显性构造(即题目中已知构造思路，按给定的思路构造。)，二是隐性构造(按已知特点构造数列。)。 必需把握的1( ,n na c

8、a d c d-= + 为常数，0, 1, 0) c c d ¹ ¹ ¹ 型线性递推关系。 解题策略：一般形式：1( ,n na ca d c d-= + 为常数， 0, 1, 0) c c d ¹ ¹ ¹ ，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数1dxc=-，1( )n na x c a x-+ = + ，令n nb a x = + ，则nb 为等比数列，求出nb ，再还原到na ，11( ).1 1nnd da a cc c-+ = +- -11( ).1 1nnd da a cc c-Þ = +

9、- -。 此类问题常常以应用题的形式消失，且其构造试题选材背景主要有以下几种： 拆建房屋（住房面积）构造的应用题:如每年新增住房面积的比例是一个定值,同时每年要拆除肯定面 积的旧房。 汽车保有量问题:如每年汽车量按肯定增长率增长,而每年同时要报废肯定量的汽车。 垃圾堆存量问题:如每年垃圾量按肯定增长率增长,而每年同时要处理肯定量的垃圾。 森林掩盖面积问题:如新种植面积按肯定比例增长,而每年同时要砍伐肯定量的树木。 1.(2021 年新课标全国卷 i17)已知数列 na满意：n na n na a ) 1 ( 2 , 11 1+ = =+，设nabnn= 。 （1）求3 2 1, , b b b

10、 ； （2）推断数列 nb是否为等比数列，并说明理由； （3）求 na的通项公式。 【解析】：（1）由条件可得1 + na =2( 1)nnan+，将 1 = n 代入得1 24a a = ，而 11 =a ，所以 42= a ，将 2 = n 代入得2 33a a = ，所以 123= a ，从而 4 , 2 , 13 2 1= = = b b b 。 （2）显性构造：由条件得121n na an n+=+，即n nb b 21 = +，b 1 =1，所以 nb 是首项为 1，公比为 2 的等比数列。 （3）由（2）可得12 nnan-= ，所以12-× =nnn a 。 2.(2

11、021 年新课标全国卷 ii17)已知数列 na 满意 1 3 , 11 1+ = =+ n na a a 。 （1）证明þýüîíì+21na 是等比数列，并求 na 的通项公式； （2）证明：23 1.1 12 1< + + +na a a。 【解析】：（1）显性构造： 1 3 , 11 1+ = =+ n na a a ， )21( 3211+ = + n na a ， ) 1 3 (21- =nna 。 （2）放缩法：由11)31(3 221 32 1-=´£-=nn nna， 233112331.3

12、13111.1 11 2 12 1<÷÷øöççèæ÷øöçèæ- = ÷øöçèæ+ + ÷øöçèæ+ ÷øöçèæ+ £ + + +- n nna a a。 3.(高考题)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a (单位：m 2 )，其中有部分旧住房需要拆

13、除，当地有关部门打算每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同事也拆除面积为 b （单位：m 2 ）的旧住房。 （1）分别写出第一年末和其次年末的实际住房面积的表达式； （2）假如第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 b 是多少？（计算时取 6 . 1 1 . 15= ） 【解析】：设每年年底住房面积为na ，有 a a =0，11.1n na a b-= - ；（1）1 21.1 , 1.21 2.1 a a b a a b = - = - 。 （2）隐性构造：可构造等比数列：110 1.1( 10 )n na b a b- = - ，令

14、10n na b b - = ，得nnb a b 1 . 1 ) 10 ( - = ，还原后可得 b b a ann10 1 . 1 ) 10 ( + - = ， q a a 3 . 15= ，得20ab = 。 4.(高考题)数列 na 中，11, a = 且12 1,n na a+= + 又设 1n nb a = + 。 （1）求证：数列 nb 是等比数列； （2）求数列 na 的通项公式； （3）设1,1nnnca+=+求数列 nc 的前 n 项和ns 。 【解析】：（1）显性构造：11 2( 1),n na a+ = + 即12n nb b+= ，所以nb 是等比数列，且 2 nnb

15、= 。 （2） 2 1nna = - 。 （3）1 1 1( 1) ( )1 2 2nnnnn nc na+ += = = + ×+，利用错位相减法可求得nnns233+- = 。 5.(高考题)某公司一下属企业从事某种高科技产品生产，该企业第一年年初有资金 2021 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50，估计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开头每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为na万元。 （1）用 d 表示1 2, a a ，并写出1 na+与na 的关系式； （2）若公司盼望经过 ) 3 ( ³ n n 年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值（用 n 表示）。 【解析】：（1）由题意得12021(1 50%) 3000 a d d = + - = - ，2 1 13(1 50%)2a a d a d = + - = - 25 . 1 4500 d d + - = ，13(1 50%)2n n na a d a d+= + - = - ; （2）显性构造：1 13 3( ) (3000 ) 2 ( ) 12 2n