工科数学分析：chap1-2函数极限

1、) ( )( )(lim , )(xAxfAxfAxxfx或记为为极限时以当则称定义21.( ):时的极限xf x |)(| , | , 0 , 0 . | )( AxfXxXxxf有时当如果对大于某一正数时有定义当设函数82.2 函数的极限 )(lim Axfx:类似地可定义 )(lim Axfx以及 )(lim :AxfThx)(lim xfx. )(lim Axfx2111lim0lim0,lim0lim0,lim,lim arctan,lim arctan,22lim arccot,lim arccot知道结论： , , xxxxxxxxxxxxxxeexxxx 0,221lim)0(

2、0).例 证明（xxaxa |0)( | , , 0 , 0 2222222xaxaxaxaxXxaX就有时当对).0(0)lim22axaxx（证明:lim arctan?例2 问是否存在xx ,2arctanlimxx解,2arctanlimxx.arctanlim不存在xxlim例3 证明：=0 xxe limlim强 注 ： =+（ 极 限 不 存 在 ） 不 存 在 （ 也 不 是）xxxxee 记作为极限时以当则称 , )( , |)(|0AxxxfAxf定义102.( ):时的极限xxf x的去心邻域0 x. ),( )( 0内有定义在某设函数xNxf有时使得当如果对, |0 ,

3、 0 , 0 0 xx) ( )( 0 xxAxf或 )(lim0Axfxx”的几何解释“Axfxx)(lim0AAAyxo0 x0 x0 x)(xfy 00000|:,( )( ) 定义中的 表明 !故 当 时 有无极限以及极限值为多少均与 在 有无定义无关 .xxxxxxf xf xx: 1注. 之间的接近程度定数定量地刻划了变量与某和定义中的.,: 0而定一般随的接近程度与xx.)(: 的接近程度与 Axf :2. 2) 13(lim 1xx1.lim(31)2例 3 证 明 .xx. 3|1| , 13|)(| , xxAxfo只只需需要要使使对对任任意意的的 | 1|3|2) 13(

4、 |)(| :xxAxf分分析析 , :o对对证证明明|(31) 2| 有 .x , | 1| 0 , 3时时当当x00:lim.注 易证 xxxx2111.lim12例 4 证明 .xxx.)(lim, 1 :1存存在在但但处处没没有有定定义义该该函函数数在在注注意意xfxx. 2111lim 21xxx , 0 2111111122(1)22xxxxx有时当 , |1| 0 , 2, 1min x :证明01sin05( ),10lim ( )0.例设证明xxxf xxxf x0,对0 |0|,当时 有x1|( )0 | |sin0 | |fxxxx01sinlim)(lim00 xxxf

5、xx:证明).0(0)(lim, 1)0(:0fxffx但注意000.lim例 6 证明 当 0 时 , .xxxxx lim 00 xxxx00| 对任意的 , 要使 , xx. |1| 00000 xxxxxxxxx000|.只需 . 取 xxxx | 0 xx有 :证明 :分析00, , x 00 | 当 时 , xx |)(| , 0 , 0 , 0 0Axfxx有有时时当当 :2定义3.()左极限 与右极限 单侧极限记记作作右右极极限限时时的的趋趋近近于于当当为为就就称称那那么么趋趋近近于于充充分分时时的的方方向向充充分分趋趋近近于于从从大大于于当当 , )( .)( , 000 x

6、xxfAAxfxxx右极限A)(lim 0 xfxxAxf )0( 0或0 xxyA)(xfy x 左极限 :A )(lim) 0(00 xfxfxx |)(| , 0 , 0 , 0 0Axfxx有有时时当当.10( )sgn( )0010例 7 符号 函数 xf xxxx, 1)(lim0 xfx1)(lim0 xfxxyo110 xxyAx)(xfy 8( ) 例取整函数 f xx,0)(lim ,1)(lim11xfxfxx则为整数若一般地,k1)(lim,)(limkxfkxfkxkx,2)(lim ,1)(lim11xfxfxxyox12121122000( )( )( )xxxx

7、xxf xAf xf x() lim limlimA 定理 极限存在的充要条件:证明“”：显然0101:( )0,0,0,|( )| lim A, xxf xxxf xA“”则对 当时有00( )0,0,0,|( )|22 lim A, xxf xxxf xA又则对 当时有|)(| , 0 , 0)(min , 0 02, 1Axfxx有时则当取0( )lim xxf xA )0( )0( 00至少有一不存在和xfxf. )(lim0不存在xfxx :注 ) 0( ) 0( 00 xfxf或2119( )51例 xxf xxxxyo, 2)1(lim)(lim11xxfxx, 4) 5(lim

8、)(lim211xxfxx.)(lim1不存在xfx5) 5(lim)(lim200 xxfxx而12.3 .函数极限的性质 |)(| , 0, 01101Lxfx-x有时)()(lim,)(lim 212100LLLxfLxfxxxx假设同时有 , 02 21LL对证明. ,)(lim 0则极限值必唯一存在若xfxx性质1（唯一性） |)(| , 0, 02202Lxfx-x有时有时则当取 , 0 , ,min 021xx212121212)( )(|)()(| LLLxfLxfLxfxfLLL!矛盾性质2（局部有界性）. )(,)(,)(lim 000有界内的某去心邻域则在存在若xfxNx

9、xfxx:证证明明,)(lim 0Axfxx设1 |)(| , 0,0 , 10Axfx-x有有时时对对1)(1,),(),(0000AxfAxxxxx时时即即)(0 xN).()( , )( 0 xgxfxNx有时使当)(3 局部保序性性质),( ,)(lim, )(lim 000 xNBABxgAxfxxxx则存在若)0( 0)( , )( 0 xfxNx有时使当)(1 局部保号性推论 , )0(0)(lim 0Axfxx若),( 0 xN则存在).0(0),0(0)(,)(lim00AAxfxAxfxx则域内的某个去心邻如果在设2推论1 定理Axfxx)(lim 0 Axfnxxxxnn

10、nn)(lim), 2, 1,(00均有为极限的数列对任何以)Heine(定理xy)(xfy 1x2x3xnxA0 x)(1xf)(2xf)(nxf1()定理 对于数列lim nnaalim.对于数列的任何子列, 都有 kknnnkaaaa:注0lim( ):Heine定理反映了数列极限与函数极限的关系， 常用于证明不存在xxf x 00,nnnnxxxxxx若有二个数列00,lim()lim(),nnnnnnxxxxf xf x但不存在则)(lim0 xfxx10例 .1sinlim0不存在证明xx 证明11,222nnxxnn取0,0,0,0,()0,()1,nnnnnnxxnxxf xf

11、 x 时但0lim()lim(),1lim sinnnnnxfxfxx 不存在yx-11o极限运算法则. 5 , )(lim , )(lim 则如果BxgAxf2 定理)(四则运算法则， )(lim )(lim )()(lim(1) BAxgxfxgxf， )(lim )(lim )()(lim (2) ABxgxfxgxfcAxfcxcf)(lim)(lim. ) 0 ()(lim)(lim )()(lim(3) BBAxgxfxgxf222)(lim)(limAxfxf可 以 推 广4. 37312321(23)例 11. (1)求 lim ,xxx. 351lim (2)232xxxx求

12、351lim (2)232xxxx) 35(lim) 1(lim2232xxxxx解 ) 32(lim (1)21xxx3lim 2lim 121xxxxnnnxxnnxxnxxnxxnxxnxxaxaxaaxaxaaxaxa101001101101lim)lim()lim( limlimlim000000,0 )()(lim 00时当xQxQmmxxmmmmnnnnbxbxbxQaxaxaxP110110)( )( 设有多项式函数)()()()(lim 000 xQxPxQxPmnmnxx)(lim 0 xPnxx 则)(0 xPn12?例下列做法是否正确)9(lim)3(lim93lim)

13、 1 (23323xxxxxxx. 1000000111(2) limsinlimlimsin0 limsin0.xxxxxxxxx解正确的为错.) 1 (.6131lim )3)(3(3lim93lim333xxxxxxxxx.,1sinlim.)2(0不能用乘法法则不存在错xx. 733lim 5lim 7lim 2lim 4lim 3lim 33xxxxxxxxxx323234213.753例 求 lim .xxxxx 解357243lim2323xxxxx33357243lim xxxxxmmmnnnxbxbxbaxaxa110110lim )()()(lim mnxQxPmnx101001110lim,lim, nnxmmnmnmnmxmmaaaxxnmbbbxxaaaxxxnmbbbxx 00,0,an mbn m21114.31例 求 lim .xxxx 解)1 (2)13)(1(lim 21xxxxx 131lim 21xxxx2-2 2)13)(1(lim1xxxx215.(31)例 求 limxxxx 解2(31)