数列通项公式求法(最全)

1、类型一类型一 观察法：观察法：已知前几项，写通项公式已知前几项，写通项公式一、普通数列：一、普通数列：121211 2 - - , - 32532 7 77 777 77773 ba b a（ ） ， ，（） ， ， ，（） ， ，12( 1)nnan 7(101)9nna ( 1)22nnababa 方法规律总结：方法规律总结：1.正负号用正负号用(-1)n或或(-1)n+1来调节。分式形式观察分母间关系和分子间关系的来调节。分式形式观察分母间关系和分子间关系的同时还要观察分子与分母间的关系，有时还要把约分后的分式还原后观察。同时还要观察分子与分母间的关系，有时还要把约分后的分式还原后观察。

2、2.如如0.7，0.77,0.777类的数列，要用类的数列，要用“归九法归九法”3.两个循环的数列是两个循环的数列是0,1,0,1的变形。可以拆成一个常数列的变形。可以拆成一个常数列b,b,b,b与与0,a-b,0,a-b.的和，分别写通项然后相加再化简。的和，分别写通项然后相加再化简。)101-1（97nna类型二、类型二、前前n项和项和Sn法法 已知前已知前n项和，求通项公项和，求通项公式式11 (1) (2)nnnSnaSSn 设设an的前的前n项和为项和为Sn,且满足且满足Sn=n2+2n-1,求求an n的通项公式的通项公式.例例2：设数列设数列an满足满足a1=1, an=-SnS

3、n-1(n2，nN*）求求an n的通项公式的通项公式.例例3：2 1 21 2nnann 1 1 1 2(1)nnann n 提示：把提示：把an代换成代换成Sn-Sn-1等式两边再同等式两边再同（-SnSn-1）1时，2提示：当nnnSSan1)1( 21)-(n-1)-2nn(22n2362nnnaaS分析：由题意得2366112111aaSan时，当212111111aSaaa故又或解得由由整理得整理得2361211nnnaaS且有300)3)(1111nnnnnnnnaaaaaaaa又 13) 1( 3232nnaaannn的通项为故的等差数列，公差为是首项为故11nnnaSS的关系

4、与可找出nnaa1 的通项公式求，),2)(1(6且1满足项和的前各项均正数的数列)重庆07( ：3例*1nnnnnnaNnaaSSSna例例1：在在an中，已知中，已知a1=1,an=an-1+n (n2),求通项求通项an.练：练： 111311,3 (2)2nnnnnaaaana n n已已知知中中, ,证证明明：11223343221 1 2 3 . 3 2 nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa 解解：以以上上各各式式相相加加n1 a(234)(n+2)(n-1) =1+2 an 得得二、递推数列：二、递推数列：条件：条件：f（1）+ f（2）+ f（n-1）的和要可以求出

5、才可用）的和要可以求出才可用1( )nnaaf n例例2： 12,3,.nnnnnaaaaa 1 1已已知知中中，求求通通项项练：练： 122,2,.nnnnaaaaan 1 1已已知知中中，求求通通项项123412312342322123211 3, 3, 3, 3 . 3 , 3 3 3333 2 3nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa 解解：以以上上各各式式相相乘乘得得1 2 3( -1)( -1)2( -1)2 2 3 2 3nn nn nna 条件：条件：f（1）f（2） f（n-1）的积要可以求出才可用）的积要可以求出才可用1( )nnaf n a满足与若数列

6、相邻两项一nnaa1)(则可考虑待定系数法设则可考虑待定系数法设 xapxann1为待定系数，其中x ()-满足qxpx xan是首项为是首项为 xa1qpaann1公比为公比为p的等比数列，求出的等比数列，求出 ,再进一步求通项再进一步求通项 xanna通用方法：通用方法：待定系数法待定系数法1( )nnapaf nqpaann1例例3： 111,21 .nnnnaaaaa 数数列列满满足足, 求, 求分析：构造等比分析：构造等比数列数列an+x，若可以观察，若可以观察x值更好值更好分析：构造等比分析：构造等比数列数列an+kn+b，1( )nnapaf nBAnpaann1分析：构造等比分

7、析：构造等比数列数列an+xn2+yn+z，1( )nnapaf nCBnAnpaann21分析：构造等比分析：构造等比数列数列an+xqn+y，1( )nnapaf nBAqpaannn1例例7： 1113,33,nnnnaaaaa n n数数列列满满足足: :求求通通项项公公式式. .11111 33 133 133 -11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列（） 相除法相除法 两边同除以两边同除以1nA11nnnABAaa相除法相除法11nnnCBAaa两边同除以两边同除以 或或?1nA?1nC的通项

8、公式，求数列的数列nnnnnaNnaaaa)(24,2111122211nnnnaa可化为的等比数列，公比为是首项为故数列 2 2121212aannnnnnnnaa242221211221211nnnnaa都是常数与相邻两项，是其、，新数列2 1 22211nnnnnnaaa1124nnnaa分析：分析： 的通项公式，求数列的数列nnnnnaNnaaaa)(24, 21111124nnnaa1112144nnnnnaa可化为为什么类型呢？，转化同除以14n1112144nnnnnaannnnnaaaaaa2144,2144,214411322332122nnnaa21212144321nnn

9、na21121212121432nnna24 上面各式相加可得几个式子？其他解法探究：其他解法探究：例例8：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求1111111 2 211 -211545 -1 (-2)-2222 45nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan 解解：是是以以为为首首项项，以以为为公公差差的的等等差差数数列列（）两边同除以两边同除以an+1an相除法相除法11nnnnapaqa a例例6： 111,21nnnnnaaaaaa 数数 列列满满 足足 : :求求通通 项项 公公 式式取倒法取倒法构造辅助数列构造辅助数列111n11n12111 221a11

10、2aannnnnnaaaaaa 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列1nnnpaaqap111(1)221 21nnnnnaaan 1类型六、（类型六、（1）形如）形如 的递推式的递推式1rnnapa分析：取对数分析：取对数后后构造等比构造等比数列数列分析：分析：先先转化转化后后取对数取对数再再构造等比构造等比数列数列CBaAaannn21类型七、特征根法、不动点法类型七、特征根法、不动点法（一）理论部分：（一）理论部分：21nnnapaqa类型七、特征根法、不动点法类型七、特征根法、不动点法（二）特征根法：（二）特征根法：类型七、特征根法、不动点法类型七、特征根

11、法、不动点法（一）理论部分：（一）理论部分：1nnnpaqarah试求斐波那契数列（兔子数列）：试求斐波那契数列（兔子数列）：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 的通项公式的通项公式类型七、特征根法、不动点法类型七、特征根法、不动点法（三）不动点法：（三）不动点法：类型七、特征根法、不动点法类型七、特征根法、不动点法（三）不动点法：（三）不动点法：不动点法理论纯字母推导比较难，看一个具体的例题，帮助理解不动点法理论纯字母推导比较难，看一个具体的例题，帮助理解特征根法对待定系数的妙用：特征根法对待定系数的妙用：类型八、其他方法类型八、其他方法（一）开方、平方法（一）开方、平方法 求递推数列的通项的主要思路是通过转化求递推数列的通项的主要思路是通过转化, 构造新的熟知构造新的熟知数列数列,使问题化陌生为熟悉使问题化陌生为熟悉.我们要根据不同的递推关系式我们要根据不同的递推关系式,采取采取不同的变形手段不同的变形手段,从而达到转化的目的从而达到