版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、 第九章 第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法xyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22zxy yxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz机动
2、 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 使偏导数都为 0 的点称为驻点或稳定点 . 定理定理1 (必要条件) 函数偏导数,证证:根据一元函数极值的必要条0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值,且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数00( ,)f x yx且且在在点点处处可可导导,件,有00( ,)0,df x yxdx 00(,)0 xfxy 即即00(,)0yfxy 同同理理可可证证 但驻点不一定是极值点.注注1:极值点存在于驻点或
3、不可偏导点中;例如,22yxz在点 (0,0) 有极小值; 但在(0,0)点偏导数不存在;注注2:偏导数存在的函数的极值点必是驻点 (定理1)例如,yxz 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.注注3:对于三元函数对于三元函数0000( , , )(,)uf x y zMxyz 在在点点具有偏导数,则它在M0点取极值的必要条件是000000000(,)0 ,(,)0,(,)0 xyzfxyzfxyzfxyz时, 具有极值定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的
4、在点),(),(00yxyxfz 0000(,)0 ,(,)0 xyfxyfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy02 BAC02 BAC02 BAC机动 目录 上页 下页 返回 结束 注:注:( , )zf x y 具有一阶和二阶连续偏导数,它的极值求法按如下几步:(1)求出方程组( , )0( , )0 xyfx yfx y 的所有解,即求得( , )f x y的一切驻点;(2)对每一个驻点 求出二阶偏导数的值,00(,)xy000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy(3)确定2ACB 的符号,再由定理2的结论定出极值点,求出
5、极值。例例1.1. 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66
6、),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0
7、()0 , 0(222yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyx
8、y2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(2 xD为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos24xcos22x0)sin
9、(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxf
10、z )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极
11、值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 要设计一个容量为0V则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF
12、0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省?的长方体开口水箱, 试问 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时,所用材料最省.因此 , 当高为,340Vxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知,30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20Vz
13、yxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等 .内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题在条件
14、求驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习思考与练习 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx则 ACABS2110321yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P61 3, 4, 8, 9, 10 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx设拉氏函数)2(sinsinsinzyxzyxF解方程
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 抛荒整治协议合同
- 2024年生物制药试剂定制生产合同样本2篇
- 2025年云南货运资格证题库在线练习
- 2025年黄冈货运从业资格证考试模拟
- 2025年贵港b2货运资格证全题
- 2024年度生物制药研发委托技术合同范本3篇
- 2024年环保项目实施方案保密协议
- 2024年版综合性劳动协议范本版
- 2025年北京货运资格证考试70题
- 《工程制图与CAD(轨道交通)》课件-铁路线路平面图认识
- 松果体区肿瘤护理
- 《施工现场安全防护标准化防高坠篇》测试附有答案
- 流动资金贷款管理办法培训1
- 血管瘤护理措施
- 智能穿戴行业发展趋势
- 公共场所的肺结核消毒措施
- 圆及其在生活中的应用
- 春节晚宴策划方案1
- 如何制作一个简易的动物细胞模型
- 2024年便携式X光机行业分析报告及未来发展趋势
- 腾讯公司营销策略
评论
0/150
提交评论