高等数学第十三周讲义（商学院）

1、1第六章第六章定积分的应用定积分的应用2一、定积分的几何应用一、定积分的几何应用应用应用1:平面图形的面积平面图形的面积依据依据:定积分的几何意义定积分的几何意义求函数求函数)(xf与与)(,abbxax及及x轴围成图形的面积轴围成图形的面积 badxxfs| )(|3abcxbaoy)(xfy dxxfab)(sdxf(x)dxf(x)sbcca badxxfs| )(|4例求椭圆例求椭圆12222 byaxxdxbsaax 02)1(422a所围成的图形的面积所围成的图形的面积ab 例例:求半径为求半径为r的圆面积。的圆面积。5求函数求函数)(xf围成图形的面积围成图形的面积)(xg)(,

2、abbxax与与dxxgxfba| )()(|s6yobxa)(xgy )(xfy f(x)g(x)abdxxgxfab)()(sdxxfxgdxxgxfbcca)()()()(scdxxgxfba| )()(|s7例例:求由求由xyxyxxcos,sin, 0 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。 4/ xysin xycos dxxxdxxxs 44)cos(sin)sin(cos08yxy=f (x)cddyysdc)(另一种曲边梯形：另一种曲边梯形：y=f(x)与与y=c,y=d和和y轴围成的图形的面积轴围成的图形的面积)(yx 1 iyiyi ),(ii 9求椭圆求椭圆12222

3、 byaxxydyasbby 02)1(422b所围成的图形的面积所围成的图形的面积10cd)(1yx)(2yxdyyysdc)()(21)(1xfy )(2xfy 求函数求函数)(1xf围成图形的面积围成图形的面积)(2xf)(,cddycy与与11cd)(1y )(2y dyyydyyysdccc*12*21)()()()(C*dyyysdc| )()(|2112 求平面图形的面积：求平面图形的面积：作出图形很重要！作出图形很重要！13所所围围成成的的图图形形的的面面积积和和求求由由 422 xyxy4-2dyyys 42221)4(14体体积积。轴轴旋旋转转所所成成的的旋旋转转体体的的的

4、的曲曲边边梯梯形形绕绕所所围围成成与与直直线线xbxaxxfxfy,)0)()(应用应用2 2：旋转体的体积：旋转体的体积dxxfVba 2)( ix1ixixi)(if15求半径为求半径为r的球的体积。的球的体积。16体体积积。轴轴旋旋转转所所成成的的旋旋转转体体的的的的曲曲边边梯梯形形绕绕所所围围成成与与直直线线ydycyxfy,)0)(dyyVdc 2)( )()(yxxfy17例：底面半径例：底面半径r，高为，高为h的圆锥的圆锥的体积。的体积。18例：求由曲线例：求由曲线22xy 和和xy2 所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕x和和y轴旋转轴旋转所得到的旋转体的体积。所得到的旋转体的

5、体积。19)()(bxaxfy所求弧长所求弧长xysbad12xxfbad)(12应用应用3：平面曲线的弧长：平面曲线的弧长20例：计算曲线例：计算曲线2332xy 上上x从从0到到1的一段弧的长度。的一段弧的长度。xy xxsd110 21定积分几何应用的方法总结：微元法定积分几何应用的方法总结：微元法xbaoy)(xfy 面积微元：用于近似小曲边梯面积微元：用于近似小曲边梯形的长方形的面积形的长方形的面积x dxxfab)(sds22dxxfVba 2)( 体积微元：用于近似不规则立体积微元：用于近似不规则立体的圆柱体的体积。体的圆柱体的体积。dV)(xfx 23xysbad12弧长微元：

6、用于近似小弧长度的线段的长度。弧长微元：用于近似小弧长度的线段的长度。ds24微微 元元 法法1、选取积分变量，确定其变化区间。、选取积分变量，确定其变化区间。2、计算所求微元（如面积微元、体积微元）、计算所求微元（如面积微元、体积微元）3、将所求化为定积分。、将所求化为定积分。25微微 元元 法法 应应 用用求如图示的极坐标下的图形的面积求如图示的极坐标下的图形的面积 。 )( rr drs )(221ds面积微元：小扇形的面积面积微元：小扇形的面积26a2sin2a例例. 求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积 . 2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0解解

7、: 利用对称性利用对称性 ,则所求面积为则所求面积为42ayox4427xxAVbad)(xabxxxd)(xA求用垂直于坐标轴的截面去截立体求用垂直于坐标轴的截面去截立体,当截面面当截面面积已知时的立体体积。积已知时的立体体积。所求体积为所求体积为: :注意体积微元注意体积微元dVdV28例例. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成与底面交成 角角,222Ryx解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRRxxRVdtan)(2122tan323R计算该平面截圆柱体所得立体的体积计算该平面截圆柱体

8、所得立体的体积 .Rxoyx),(yx29Rxoy思考思考: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面是什么？面积函此时截面是什么？面积函 数又是什么数又是什么 ?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积 ?),(yx)(yAtan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd2230参数方程下曲线的弧长参数方程下曲线的弧长xysbad12)()(tytx, tdtttdtttt 222)()()( )()(131例、求摆线的一拱与例、求摆线的一拱与x轴围成轴围成的拱的长度。的拱的长度。)cos1()sin(tayttax 20 txyoa2 2022)cos1()sin(dt

9、tattaL32题型题型填空填空20%、选择、选择20% 、计算、计算20% 、解答题解答题20% 、应用题、应用题18%、证明、证明4% 期末复习期末复习33第五、六章：定积分及其应用第五、六章：定积分及其应用 复习复习一、了解（知道并能简单地应用）一、了解（知道并能简单地应用）1、定积分的基本性质和积分中值定理。、定积分的基本性质和积分中值定理。 34二：理解二：理解1、定积分的概念和几何意义、定积分的概念和几何意义2、理解限可变的定积分函数的概念及其求导法则理解限可变的定积分函数的概念及其求导法则 三、掌握及会求三、掌握及会求3、会求定积分（牛顿一莱布尼茨公式、会求定积分（牛顿一莱布尼茨

10、公式 、分项积分法、分项积分法、换元积分法、分部积分法、利用偶倍奇零。）换元积分法、分部积分法、利用偶倍奇零。）4、会求平面图形的面积，会求旋转体的、会求平面图形的面积，会求旋转体的体积，能进行简单的经济学的应用。体积，能进行简单的经济学的应用。1、会用变限定积分求导公式求导。、会用变限定积分求导公式求导。2、会用积分中值定理。、会用积分中值定理。35第四章第四章 不定积分不定积分1、理解原函数与不定积分的概念，掌握不、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。定积分的性质，了解原函数存在定理。 2、掌握不定积分的基本公式，、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的分项

11、积分法、掌握不定积分的分项积分法、换元积分法和分部积分法。换元积分法和分部积分法。3、会求不定积分（含有理函数的不定积分）、会求不定积分（含有理函数的不定积分）36第三章第三章 微分定理和导数的应用微分定理和导数的应用1、熟记中值定理的条件与结论（罗尔、拉、熟记中值定理的条件与结论（罗尔、拉格朗日和柯西中值定理），能利用中值定理格朗日和柯西中值定理），能利用中值定理进行简单的证明和判断方程根的个数。进行简单的证明和判断方程根的个数。3、理解导数与函数性质的关系；会利用导、理解导数与函数性质的关系；会利用导数研究函数的单调性、拐点、凹凸区间、数研究函数的单调性、拐点、凹凸区间、极值（驻点）与最值

12、。会求渐近线。极值（驻点）与最值。会求渐近线。2、会利用导数求各种类型不定式的极限，、会利用导数求各种类型不定式的极限，掌握幂指函数极限的求法。掌握幂指函数极限的求法。37第二章第二章 导数与微分导数与微分1、会用导数的定义判断导数的存在性（左导、会用导数的定义判断导数的存在性（左导数与右导数。知道可导、可微、连续的关系。数与右导数。知道可导、可微、连续的关系。2、会用求导法则（四则运算法则、复合函、会用求导法则（四则运算法则、复合函数求导法则、反函求导法则）求初等函数数求导法则、反函求导法则）求初等函数的导数，会求隐函数的导数、会求参变量的导数，会求隐函数的导数、会求参变量函数的导数、会求二

13、阶导数，会求常见函函数的导数、会求二阶导数，会求常见函数的数的n阶导数，掌握取对数求导法。阶导数，掌握取对数求导法。3、能进行简单的导数的应用。（求切线方、能进行简单的导数的应用。（求切线方程、瞬时速度等，会用微分进行近似计算）程、瞬时速度等，会用微分进行近似计算）38第一章第一章 函数与极限函数与极限1、熟记函数与数列极限的性质、熟记函数与数列极限的性质2、熟记常见的极限（含两类特殊极限）、熟记常见的极限（含两类特殊极限）3、掌握无究小的性质、无穷小与无穷大的、掌握无究小的性质、无穷小与无穷大的关系，熟记常见的等价无穷小。关系，熟记常见的等价无穷小。4、会求极限（换元法、无穷小替换法以及与洛比达法会求极限（换元法、无穷小替