第五章,5.2.1,三角函数概念

1、本文格式为word版，下载可任意编辑第五章,5.2.1,三角函数概念 5.2 三角函数的概念 5 2.1 三角函数的概念 学习目标 1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.2.把握任意角三角函数在各象限的符号.3.把握三角函数诱导公式一并会应用 学问点一 任意角的三角函数的定义 条件 如图，设 是一个任意角，r，它的终边 op 与单位圆交于点 p(x，y) 定义 正弦 点 p 的纵坐标 y 叫做 的正弦函数，记作 sin ，即 ysin 余弦 点 p 的横坐标 x 叫做 的余弦函数，记作 cos ，即 xcos 正切 点 p 的纵坐标与横坐标的比值 yx 叫做 的正切，记作 tan ，

2、即 yx tan (x0) 三角函数 正弦函数 ysin x，xr 余弦函数 ycos x，xr 正切函数 ytan x，x 2 k，kz 思索 三角函数值的大小与点 p 在角 终边上位置是否有关？ 答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点 p 在终边上的位置无关，只与角 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关 学问点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1图示： 2口诀："一全正，二正弦，三正切，四余弦' 学问点三 公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等 即 (sin(2k)sin ， cos(2k)cos ， tan(2k)tan ， 其中 kz.

3、 1sin 表示 sin 与 的乘积( ) 2设角 终边上的点 p(x，y)，r|op|0，则 sin yr ，且 y 越大，sin 的值越大( ) 3终边相同的角的同一三角函数值相等( ) 4终边落在 y 轴上的角的正切函数值为 0.( ) 一、三角函数的定义及应用 例 1 (1)已知角 的终边与单位圆的交点为 p èæøö35 ，y (y0)，则 tan . 答案 43 解析 由于点 p èæøö35 ，y (y0)在单位圆上， 则925 y2 1， 所以 y 45 ，所以 tan 43 . (2)(多选)若角

4、 的终边经过点 p(x，3)且 sin 31010，则 x 的值为( ) a 3 b1 c1 d. 3 答案 bc 解析 |op| x 2 9， sin 3|op| 3x 2 9 31010， 解得 x 2 1，x1. 延长探究 在本例(2)中，将"sin 31010'改为"cos 1010'求 x 的值 解 |op| x 2 9， cos x|op| xx 2 9 1010， 解得 x 2 1，又 x0，x1. (同学) 反思感悟 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种状况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角

5、函数值 (2)若已知角 终边上一点 p(x，y)(x0)是单位圆上一点，则 sin y，cos x，tan yx . (3)若已知角 终边上一点 p(x，y)不是单位圆上一点，则先求 r x 2 y 2 ，再求 sin yr ， cos xr . (4)若已知角 终边上的点的坐标含参数，则需进行分类争论 跟踪训练 1 角 的终边落在直线 y2x 上，求 sin ， cos 的值 解 方法一 设角 的终边与单位圆交于点 p(x，y)， 联立î ïíïì y2x，x 2 y 2 1，解得îíì x55，y 2 55或&

6、#238;íì x55，y 2 55， 即点 p 坐标为 èæøö55， 2 55或 èæøö55， 2 55， 当点 p 坐标为 èæøö55， 2 55时，sin 2 55，cos 55， 当点 p 坐标为 èæøö55， 2 55时，sin 2 55， cos 55. 方法二 若 的终边在第一象限内， 设点 p(a,2a)(a0)是其终边上任意一点， 由于 r|op| a 2 4a 2 5a， 所以 sin y

7、r 2a5a 2 55，cos xr a5a 55. 若 的终边在第三象限内， 设点 p(a,2a)(a0)是其终边上任意一点， 由于 r|op| a 2 4a 2 5a(a0)， 所以 sin yr 2a 5a 2 55， cos xr a 5a 55. 二、三角函数值符号的应用 例 2 (1)若 sin tan 0，且 cos tan 0，则角 是( ) a第一象限角 b其次象限角 c第三象限角 d第四象限角 答案 c 解析 由 sin tan 0 可知 sin ，tan 异号，从而 是其次或第三象限角 由 cos tan 0 可知 cos ，tan 异号，从而 是第三或第四象限角 综上可

8、知， 是第三象限角 (2)(多选)下列选项中，符号为负的是( ) asin(100) bcos(220) ctan 10 dcos 答案 abd 解析 100在第三象限，故 sin(100)0；220在其次象限，故 cos(220)0；10 èæøö3， 72在第三象限，故 tan 100，cos 10. 反思感悟 推断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角 所在的象限 (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即"一全正，二正弦，三正切，四余弦'来推断 跟踪训练 2 已知点 p(sin ，cos )在第三象限，则角 的终边在(

9、) a第一象限 b其次象限 c第三象限 d第四象限 答案 c 解析 点 p(sin ，cos )在第三象限， î ïíïì sin 0，cos 0， 为第三象限角 三、公式一的简洁应用 例 3 计算下列各式的值： (1)sin(1 395)cos 1 110cos(1 020)sin 750； (2)sin èæøö 116cos 125tan 4. 解 (1)原式sin(436045)cos(336030)cos(336060)sin(236030) sin 45cos 30cos 60sin 30 2

10、232 12 12 64 14 1 64. (2)原式sin èæøö2 6cos èæøö2 25tan(40)sin 6 cos 250 12 . 反思感悟 利用诱导公式一进行化简求值的步骤 (1)定形：将已知的任意角写成 2k 的形式，其中 0,2)，kz. (2)转化：依据诱导公式一，转化为求角 的某个三角函数值 (3)求值：若角为特别角，可直接求出该角的三角函数值 跟踪训练 3 计算下列各式的值： (1)tan 405sin 450cos 750； (2)sin 253tan èæ&#

11、248;ö 154. 解 (1)原式tan(36045)sin(36090)cos(236030) tan 45sin 90cos 30 113232. (2)sin 253tan èæøö 154 sin èæøö3 8 tan èæøö4 4 sin 3 tan 4 321. 1已知 sin 513 ，cos 1213 ，则角 的终边与单位圆的交点坐标是( ) a. èæøö513 ，1213 b. èæ

12、;øö513 ，1213 c. èæøö1213 ，513 d. èæøö 1213 ，513 答案 d 解析 设交点坐标为 p(x，y)， 则 ysin 513 ，xcos 1213 ， 点 p èæøö 1213 ，513. 2已知角 的终边经过点(4,3)，则 cos 等于( ) a. 45 b.35 c35 d45 答案 d 解析 设点 p(4,3)，则|op| (4) 2 3 2 5， cos 4|op| 45 . 3(多选)若 sin cos

13、0，则 在( ) a第一象限 b其次象限 c第三象限 d第四象限 答案 ac 解析 由于 sin cos 0， 所以 sin 0，cos 0 或 sin 0，cos 0， 所以 在第一象限或第三象限 4计算：sin 256cos èæøö 173tan 94 . 答案 2 解析 原式sin èæøö4 6cos èæøö6 3 tan èæøö2 4 sin 6 cos 3 tan 4 12 12 1 2. 5已知角 的终边过点 p(3

14、a,4a)(a0)，则 2sin cos . 答案 1 或1 解析 由于 r (3a) 2 (4a) 2 5|a|， 若 a0，则 r5a，角 在其次象限 sin yr 4a5a 45 ，cos xr 3a5a 35 ， 所以 2sin cos 85 35 1. 若 a0，则 r5a，角 在第四象限， sin 4a5a 45 ，cos 3a5a 35 . 所以 2sin cos 85 35 1. 1学问清单： (1)三角函数的定义及求法 (2)三角函数在各象限内的符号 (3)公式一 2方法归纳：转化与化归、分类争论 3常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义

15、域为 î íìþýüx ïï x 2 k，kz. 1点 a(x，y)是 60角的终边与单位圆的交点，则 yx 的值为( ) a. 3 b 3 c.33 d33 答案 a 解析 由三角函数定义知 yx tan 60 3. 2代数式 sin(330)cos 390的值为( ) a 34 b.34 c 32 d.14 答案 b 解析 由诱导公式可得， sin(330)cos 390sin 30cos 30 12 3234. 3若 cos 32，且角 的终边经过点 p(x,2)，则 p 点的横坐标 x 是( ) a2 3

16、b2 3 c2 2 d2 3 答案 d 解析 由于 cos 320，所以 x0， 又 r x 2 2 2 ，由题意得xx 2 2 2 32， 所以 x2 3. 4(多选)下列三角函数值的符号推断正确的是( ) acos(280)0 bsin 5000 ctan èæøö 780 dtan 53120 答案 bcd 解析 cos(280)cos(36080)cos 800； sin 500sin(360140)sin 140，90140180， sin 1400； tan èæøö 78tan èæ

17、;øö2 98tan 98， 98 èæøö， 32， tan 98 0； tan 5312 tan èæøö4 512tan 512 ，512 èæøö0， 2， tan 512 0. 5已知 sin cos 0，且|cos |cos ，则角 是( ) a第一象限角 b其次象限角 c第三象限角 d第四象限角 答案 d 解析 sin cos 0，sin ，cos 是一正一负， 又|cos |cos ，cos 0， 综上有 sin 0，cos 0， 即 为第

18、四象限角 6已知角 终边与单位圆交于点 p èæøö32，y ，则 cos ，sin . 答案 32 12 解析 点 p èæøö32，y 满意单位圆 x 2 y 2 1， 则 34 y2 1，y 12 ， cos 32，sin 12 . 7点 p(tan 2 020，cos 2 020)位于第 象限 答案 四 解析 由于 2 0205360220， 所以 2 020的终边与 220的终边相同， 又 220是第三象限角， 所以 tan 2 0200，cos 2 0200， 即点 p 位于第四象限 8已知角的终边经过

19、点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是 答案 (2,3 解析 由 cos 0，sin 0 可知，î ïíïì 3a90，a20， 解得2a3. 9化简下列各式： (1)sin 72cos 52cos(5)tan 4 ； (2)a 2 sin 810b 2 cos 9002abtan 1 125. 解 (1)原式sin 32cos 2 cos 1 10111. (2)原式a 2 sin 90b 2 cos 1802abtan 45 a 2 b 2 2ab(ab) 2 . 10已知 终边上一点 p(x,3)(x0)，且

20、cos 1010x，求 sin ，tan . 解 由题意知 r|op| x 2 9， 由三角函数定义得 cos xr xx 2 9 ， 又由于 cos 1010x， 所以xx 2 9 1010x. 由于 x0，所以 x1. 当 x1 时，p(1,3)， 此时 sin 31 2 3 2 3 1010，tan 31 3. 当 x1 时，p(1,3)， 此时 sin 3(1) 2 3 2 3 1010，tan 31 3. 11函数 y sin x cos x的定义域是( ) ax|2kx2k，kz b. î íìþýüx ï

21、39; 2k 2 x2k，kz c. î íìþýüx ïï k 2 xk，kz dx|2kx2k，kz 答案 b 解析 由 sin x0，cos x0， 得 x 为其次象限角或 y 轴正半轴上的角或 x 轴负半轴上的角， 所以 2k 2 x2k，kz. 12在abc 中，若 sin acos btan c0，则abc 是( ) a锐角三角形 b直角三角形 c钝角三角形 d锐角三角形或钝角三角形 答案 c 解析 在abc 中，a，b，c(0，)， sin a0，cos btan c0， b，c 一个为锐角，另一个为钝角， abc 为钝角三角形 13函数 ysin x|sin x| |cos x|cos xtan x|tan x| 的值域是( ) a1,0,1,3 b1,0,3 c1,3 d1,1 答案 c 解析