第一章,导数及其应用（基础过关）（解析版）

1、本文格式为word版，下载可任意编辑第一章,导数及其应用（基础过关）（解析版） 第 第 1 章 导数及其应用 基础过关卷 卷 班级_ 姓名_ 学号_ 分数_ （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 一、 单项选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） ） 1.曲线 yx 3 +lnx+1 在点（1，2）处的切线方程为（ ） a3xy10 b4xy20 c4x+y60 d3x+y50 【解答】解：由 yx 3 +lnx+1，得 ， 曲线在（1，2）处的斜率 ky"| x 1 4， 曲线在点（1，2）处的

2、切线方程为 y24（x1）， 即 4xy20 故选：b 【学问点】利用导数讨论曲线上某点切线方程 2.函数 f（x）x 2 2lnx 的单调减区间是（ ） a（0，1 b1，+） c（，1（0，1 d1，0）（0，1 【解答】解：f（x）2x ，（x0）， 令 f（x）0，解得：0x1， 故选：a 【学问点】利用导数讨论函数的单调性 3.定义域为 r 的函数 f（x）满意 f（x）f（x），则不等式 e x 1 f（x）f（2x1）的解为（ ） a b c（1，+） d（2，+） 【解答】解：令 g（x） ，则 g（x） 0， 故 g（x）在 r 递增， 不等式 e x 1 f（x）f（2x1

3、）， 即 ， 故 g（x）g（2x1）， 故 x2x1，解得：x1， 故选：c 【学问点】利用导数讨论函数的单调性 4.函数 f（x）e x kx，当 x（0，+）时，f（x）0 恒成立，则 k 的取值范围是（ ） ak1 bk2 cke d 【解答】解：依题意，e x kx0 在（0，+）上恒成立，即 在（0，+）上恒成立， 令 ，则 ， 当 x（0，1）时，g（x）0，g（x）单减，当 x（1，+）时，g（x）0，g（x）单增， g（x） min g（1）e， ke 故选：c 【学问点】利用导数讨论函数的最值 5.已知函数 f（x）f"（e）+xlnx，则 f（1）+f"

4、;（1）（ ） a1+e b3 c2+e d2 【解答】解：依据题意，函数 f（x）f"（e）+xlnx， 其导数 f（x）lnx+1，则 f（e）lne+12， 故 f（x）2+xlnx，则 f（1）2，f（1）1， 故 f（1）+f"（1）3； 故选：b 【学问点】导数的运算 6.曲线 yx 2 和 y2x+3 围成的封闭面积是（ ） a b c10 d 【解答】解：依据题意， ，解可得 x 1 1，x 2 3， 则曲线 yx 2 和 y2x+3 围成的封闭面积 s （2x+3x 2 ）dx（x 2 +3x ） ； 故选：a 【学问点】定积分的应用 7.如图是函数 yf

5、（x）的导数 yf"（x）的图象，则下面推断正确的是（ ） a在（3，1）内 f（x）是增函数 b在 x1 时 f（x）取得极大值 c在（4，5）内 f（x）是增函数 d在 x2 时 f（x）取得微小值 【解答】解：依据题意，依次分析选项： 对于 a，在（3， ）上，f（x）0，f（x）为减函数，a 错误； 对于 b，在（ ，2）上，f（x）0，f（x）为增函数，x1 不是 f（x）的极大值点，b错误； 对于 c，在（4，5）上，f（x）0，f（x）为增函数，c 正确； 对于 d，在（ ，2）上，f（x）0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f（x）0，f（x）为减函数，则在 x2

6、时 f（x）取得极大值，d 错误； 故选：c 【学问点】利用导数讨论函数的单调性 8.函数 f（x）x 3 +ax 2 （3+2a）x+1 在 x1 处取得极大值，则实数 a 的取值范围为（ ） a（，3） b（3，+） c（，3） d（3，+） 【解答】解：f（x）3x 2 +2ax（3+2a），f（1）0，f（x）的一个零点为 x 1 1， 由韦达定理可知，f（x）的另一个零点为 ， 由于 f（x）在 x1 处取得极大值， 所以 f（x）在 x1 的左侧四周大于 0，右侧四周小于 0， 由于二次函数 f（x）是开口向上的抛物线， 所以 x 1 x 2 ，即 ，解得 a3 故选：a 【学问点

7、】利用导数讨论函数的极值 9.下列函数求导运算错误的个数为（ ） （3 x ）3 x log 3 e；（log 2 x） ；（ln2x） ；（ ）x；（e x ）e x a1 b2 c3 d4 【解答】解：依据题意，依次分析各式的计算： （3 x ）3 x ln3，错误； （log 2 x） ，正确； （ln2x） ，错误； （ ） ，错误； （e x ）e x ，正确；其中计算错误的有：； 故选：c 【学问点】导数的运算 10.函数 f（x）xe x +1 的单调递减区间是（ ） a（，1） b（1，+） c（，1） d（1，+） 【解答】解：f（x）（x+1）e x ， 当 x1 时，f（

8、x）0，函数单调递减， 故选：c 【学问点】利用导数讨论函数的单调性 11.在直角坐标系中，设 o 为原点，m 为任意一点定义：质点 m 的位置向量 关于时间的函数叫做质点m的运动方程已知质点m的运动方程 ，则质点m在t1时刻的瞬时速度为（ ） a10 b c10 d5 【解答】解：质点 m 的运动方程 ，即 s5t 2 ， s"s"（t）10t， 当 t1 时，s"（1）10， 故选：a 【学问点】变化的快慢与变化率 12.已知定义在（0，+）上的函数 f（x），恒为正数的 f（x）符合 f（x）f（x）2f（x），则 的取值范围为（ ） a（e，2e） b c

9、（e，e 3 ） d 【解答】解：令 g（x） ，x（0，+）， x（0，+），f（x）f（x）， g（x） 0， g（x） 在区间（0，+）上单调递增， g（1） g（2）， ； 再令 h（x） ，x（0，+）， x（0，+），f（x）2f（x）恒成立， h（x） 0， 函数 h（x）在 x（0，+）上单调递减， h（1） h（2）， ， 综上可得： 故选：d 【学问点】利用导数讨论函数的单调性 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13.若函数 f（x）e x x 2 ax 在区间（0，+）单调递增，则 a 的取值范围是 【解答】解：函数 f（x）e x x 2

10、 ax 在区间（0，+）单调递增， f（x）e x 2xa0 在区间（0，+）上恒成立， 即 ae x 2x 在区间（0，+）上恒成立， 令 ye x 2x 其在（0，+）上单调递增， ye x 2，当 y0 时 xln2， 0xlm2 时，y0 函数递减， xln2 时，y0；函数递增 y min e ln2 2ln222ln2， a22ln2； 故答案为：（，22ln2 【学问点】利用导数讨论函数的单调性 14.已知函数 f（x）xe x 1 ，则曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 【解答】解：f（x）xe x 1 +e x 1 f（1）2，f（1）1， 故切线方程是：y12（x1）

11、， 即 y2x1； 故答案为：y2x1 【学问点】利用导数讨论曲线上某点切线方程 15.已知函数 f（x）log a x（a0 且 a1），f（x）为 f（x）的导函数，且满意 f（1）1，则 a 【解答】解：f（x）log a x（a0 且 a1），则 f（x） ， f（1） 1， ae， 故答案为：e 【学问点】导数的运算 16.已知函数 f（x）2x+ +1，函数 g（x）（ ） x m，若对任意的 x 1 1，2，存在 x 2 1，1，使得 f（x 1 ）g（x 2 ），则实数 m 的取值范围为 【解答】解：对任意的 x 1 1，2，存在 x 2 1，1， 使得 f（x 1 ）g（x

12、2 ），等价于 f（x） min g（x） min ， 令 f（x）2 0，解得 x1，且当 x1 时，f（x）0， 则 f（x）在1，2上单调递增，所以 f（x） min f（1）2+1+14， 又 g（x）在1，1上单调递减，所以 g（x） max g（1） m， 则 4 m，解得 m ， 故答案为 ，+） 【学问点】利用导数讨论函数的最值 三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.求下列函数的导数 （1）y3x 2 +xcosx； （2）f（x） 【解答】（1）f（x）6x+cos xxsin x； （2） 【学问点】导数的运算 1

13、8.已知 f（x）2xlnx+x 2 +ax+3 （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程； （2）若存在 ，使得 f（x 0 ）0 成立，求 a 的取值范围 【解答】解：f"（x）2（lnx+1）+2x+a （1）当 a1 时，f（x）2xlnx+x 2 +x+3，f"（x）2（lnx+1）+2x+1， 所以 f（1）5，f"（1）5， 所以曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 y55（x1），即 y5x （2）存在 ，使得 f（x 0 ）0 成立， 等价于不等式 在 有解 设 ，则 ， 当 时，h"（x）0，h（x）为增函数；

14、当 1xe 时，h"（x）0，h（x）为减函数 又 ， ，故 ， 所以当 时， ， 所以 ，即 a 的取值范围为 【学问点】利用导数讨论函数的最值、利用导数讨论曲线上某点切线方程 19.已知函数 f（x）|2xa| （1）当 a2，求不等式 f（x）+|x|6 的解集； （2）设 f（x）+|x1|+3x0 对 x2，1恒成立，求 a 的取值范围 【解答】解：（1）当 a2 时，f（x）+|x|6，即|2x2|+|x|6， 当 x0 时，原不等式化为 22xx6，得 ，即 ； 当 0x1 时，原不等式化为 22x+x6，即 x4，即 0x1； 当 x1 时，原不等式化为 2x2+x6

15、，得 ，即 综上，原不等式的解集为 （2）由于 x2，1，所以 f（x）+|x1|+3x0，可化为|2xa|2x1， 所以 2x+12xa2x1，即 4x+1a1 对 x2，1恒成立， 则3a1，所以 a 的取值范围是3，1 【学问点】利用导数讨论函数的最值、肯定值不等式的解法 20.已知函数 f（x）（x+1）e x +（a1）x，其中 ar （1）当 a1 时，求 f（x）的最小值； （2）若 g（x）f（x）e x 在 r 上单调递增，则当 x0 时，求证： 【解答】解：（1）当 a1 时，f（x）（x+1）e x f"（x）（x+2）e x ， 当 x2 时 f"（

16、x）0，f（x）在（，2）上单调递减； 当 x2 时 f"（x）0，f（x）在（2，+）上单调递增 （2）证明：g（x）f（x）e x xe x +（a1）x， g"（x）（x+1）e x +a10 恒成立， a1（x+1）e x 恒成立 则由（1）可得： 又x0， f（x）（x+1）e x +（a1）x 【学问点】利用导数讨论函数的最值 21.已知函数 f（x） 4x+1 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）当 x2，5时，求函数 f（x）的最大值和最小值 【解答】解：（1）f"（x）（x4）（x+1）， 函数 f（x）单调递增区间是（，1）和（4，+），

17、 函数 f（x）单调递减区间是（1，4）； （2）当 x2，1时，f"（x）0，当 x1，4时，f"（x）0，当 x4，5时，f"（x）0， 所以 ， ， ， ， 当 x1 时，函数 f（x）为 ，当 x4 时，函数 f（x）的最小值为 【学问点】利用导数讨论函数的最值、利用导数讨论函数的单调性 22.已知函数 f（x）lnxae x +1（ar） （1）当 a1 时，争论 f（x）极值点的个数； （2）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围 【解答】解：（1）当 a1 时，f（x）lnxe x +1（x0），则 f（x） e x ， 明显 f（x）在（0，+）上单调递减，又 f（ ）2 0，f（1）1e0， 所以 f（x）在（ ，1）上存在唯一零点 x 0 ， 当 x（0，x 0 ）时，f（x）0，当 x（x 0 ，+）时，f（x）0， 所以 x 0 是 f（x）的极大值点，且是唯一极值点； （2）令 f（x）0，a ，令 ya，