高考求函数解析式方法及例题

1、函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。一 【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3

2、f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。分析：所求的函数类型已定，是一次函数。设f(x)=ax+b(a0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a0)，由条件得：3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=ax+5a+b=2x+17，f(x)=2x+7【例2】求一个一次函数f(x)，使得fff(x)=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。设f(x)=ax+b(a0)则fff(x)=ffax+b=fa(ax+b)+b=?解：设f(x)=ax+b（a0)，依题意有aa(ax+b)+b+b=8x+7+b(+a+1)=8x+7，f(x)=2x+1【评注

3、：】待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。三【配凑法（整体代换法）】若已知的表达式，欲求的表达式，用换元法有困难时，（如不存在反函数）可把看成一个整体，把右边变为由组成的式子，再换元求出的式子。【例题】已知f(x-1)= -4x，解方程f(x+1)=0分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键解1：f(x-1)=-2(x-1)-3，f(x)=-2x-3f(x+1)=-2(x+1)-3=-4，-4=0，x=±2解

4、2：f(x-1)=-4x，f(x+1)=f（x+2)-1=-4(x+2)=-4，-4=0，x=±2解3：令x-1=t+1，则x=t+2，f(t+1)=-4(t+2)=-4f(x+1)=-4，-4=0，x=±2评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。解法1，采用配凑法；解法2，根据对应法则采用整体思想实现目的；解法3，采用换元法，这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。【小结：】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同-整体思想。四

5、 【消元法】【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。五【赋值法】(特殊值代入法)在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。题5若，且，求值.练习5设是定义在上的函数，且，求的解析式.六利用给定的特性求解析式.题6设是偶函数，当x0时，求当x0时，的表达式.练习6对xR，满足，且当x1，0时，求当x9，10时的表达式.七归纳递推法题7设，记，求.八相关点法题8已知函数，当点P(x，

6、y)在y=的图象上运动时，点Q()在y=g(x)的图象上，求函数g(x).九构造函数法题9若表示x的n次多项式，且当k=0，1，2，n时，求.训练例题(1)已知f（1）x2，求f(x)的解析式。(2)已知f（x）x3，求f(x)的解析式。(3)已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x1）2f（x1）2x17，求f(x)的解析式。分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用。即：求出f及其定义域.(1)解法一：【换元法】设t11，则t1，x（t1）2f（t）（t1）22（t1）t21（t1）f（x）x21（x1）解法二：【凑配法】由f(+1)=x+2

7、=-1，f(x)=-1(x1)【评注：】f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。(2)x3（x）（x21）（x）（x）23f（x）（x）（x）23f（x）x（x23）x33x当x0时，x2或x2f（x）x33x（x2或x2）(3)设f（x）axb则3f（x1）2f（x1）3ax3a2b2a2baxb5a2x17a2，b7f（x）2x7评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。（4）已知，求；（5）已知，求；（6）已知是一次函数，且满足，求；（7）已知满足，求解：（4），（或）（5）令（），则，（6）设，则，（7）， 把中的换成，得 ，得，注：第（4）题用配凑法；第（5）题用换元法；第（6）题已知一次函数，可用待定系数法；第（7）题用方程组法（11）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上