21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

1、 解一元二次方程第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）导入新课导入新课复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么？224(40)2bbacxbaca 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a0) b2 - 4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相

2、等的实数根.b2 - 4ac 0 时,方程无实数根.讲授新课讲授新课探索一元二次方程的根与系数的关系一 算一算 解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.-412312-1x1+x2=-3 x1 x2=-4x1+x2=5x1 x2=6231022xx1232xx 1212x x 猜一猜 （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？u重要发现如果方程x2+p

3、x+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2+px+q=0，x1+x2= -p ,x1 x2=q.猜一猜 （2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？12bxxa 12cx xa22124422bbacbbacxxaa 22442bbacbbaca 22ba.ba证一证：22124422bbacbbacxxaa 22244bbaca244aca.ca一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a

4、0)的两个根分别是x1、 x2，那么12bx + x = -a12cx xa注意满足上述关系的前提条件b2-4ac0.1. x2-2x-15=0；例例1 口答下列方程的两根之和与两根之积.2. x2-6x+4=0；3. 2x2+3x-5=0；4. 3x2-7x=0；5. 2x2=5.x1+x2= -p ,x1 x2=q.x1+x2=2,x1 x2=-15.x1+x2=6,x1 x2=4.235+-=022xx12123522xxx x ，1212703xxx x，22-50 x1212502xxx x，ax2+bx+c=0(a0)两边都除以a20bcxxaa12bxxa 12cxxa一元二次方

5、程的根与系数的关系的应用二典例精析121.3xx121x x 1222.3xx1233.2xx 124.0 xx1223x x 1213x x 120 x x 下列方程的两根和与两根积各是多少？ x23x+1=0 ； 3x22x=2； 2x2+3x=0； 3x2=1 . 在使用根与系数的关系时:(1)不是一般式的要先化成一般式；(2) 在使用x1+x2= 时，“ ”不要漏写.ba注意例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+

6、= 得：k=-7.答：方程的另一个根是 ，k=-7.,5k3.53()5356,5已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1x2=15= 得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.,3m例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.121231,.22xxxx 解：根据根与系数的关系可知： 22212112212,xxxx xx2221212122xxxxx x231132;224 12121211312

7、3.22xxxxx x 设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2= , (2)x1x2= , (3) ,(4) .411412221)(xx2221xxu 总结常见的求值:12111.xx1212;xxx x124 .(1)(1)xx1212()1;x xxx12213.xxxx221212xxx x2121212()2;xxx xx x125. xx212()xx21212()4.xxx x2221212122.()2;xxxxx x 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳当堂练习当堂练习1.如果-1是方

8、程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m =_.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .1-232-33.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.解：（1）根据根与系数的关系 所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； 12,xxk1 21.2kx x1() 1 4,2kk （2）因为k=-7,所以 则：1 24.xx 127,x x22212121 2()()474 ( 4) 65.xxxxxx 课堂小结课堂小结根与系数的关系（韦达定理）内 容如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x