22.3三角形的中位线

1、八年级数学八年级数学下下 新课标新课标冀教冀教第第二十二二十二章章 四边形四边形 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考A,B两地被一建筑物隔开不能直接到达,A,B两地的距离应如何测量?通过本节课的学习我们将有一种新的方法来测量A,B两地的距离.方法:先选定能直接到达A,B两地的点C,再分别取AC,BC的中点D,E,量出DE的长,就可以求出A,B两地的距离,你知道其中的道理吗?活动活动1三角形的中位线三角形的中位线在三角形ABC中,若D是BC的中点,则AD是三角形ABC的中线.若E,F分别是AB,AC的中点,则EF是三角形的中位线.1.如何用语言表述三角形的中位

2、线?2.一个三角形有几条中位线?请指出来.三角形的中线与三角形的中位线的区别:三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段.三角形的中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.【观察猜想】三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段,那么它与第三边具有怎样的数量关系和位置关系呢?如图所示,DE为ABC的中位线,DE与BC具有怎样的数量关系和位置关系呢?方法一方法一(测量法测量法):1.任意画一个三角形并画出它的一条中位线.2.分别量出中位线和第三边的长度.3.量出所画图形中一组同位角的度数.4.你发现了什么?方法二方法二(裁剪拼接法裁剪拼接法):1.剪一个三角形,记作ABC.2.分别找到边AB和AC的中点

3、D,E,连接DE.3.沿DE把ABC剪成两部分.4.把剪成的两部分图形重新拼接.5.新拼接的四边形是什么特殊的四边形?拼接的过程如图所示,将ADE绕点E旋转180后得到CFE,于是拼接成四边形BCFD,那么四边形BCFD是什么特殊的四边形呢?试着说明理由.思考:DE与BC之间的位置关系和数量关系是怎样的?三角形的中位线定理三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半并且等于第三边的一半.图所示,在ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,AC=12,BC=16.求四边形DECF的周长.分析:可由三角形的中位线定理得到DFEC,DEFC,

4、从而证出四边形DECF是平行四边形,然后根据平行四边形的性质求解.解:D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,DFEC,DEFC,四边形DECF是平行四边形,1212CE=DF= BC=8,CF=DE= AC=6,所求四边形DECF的周长为28.(教材第131页例题)已知:如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,P为对角线BD的中点,M为DC的中点,N为AB的中点.求证PMN是等腰三角形.分析分析:要证PMN是等腰三角形就是要证三条边中有两条边相等,可借助三角形的中位线定理进行证明.1212证明:在ABD中,N,P分别为AB,BD的中点,PN= AD.同理PM= BC.又AD=BC,PN=P

5、M.PMN是等腰三角形.分析:因为四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以连接AC或BD,构造利用“三角形的中位线定理”的基本图形后,此题便可得证.已知:如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证四边形EFGH是平行四边形.证明:连接AC(如图所示),12G,H分别是CD,DA的中点,HGAC,HG= AC(三角形的中位线定理).12同理EFAC,EF= AC.HGEF,且HG=EF.四边形EFGH是平行四边形.【结论】顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.检测反馈检测反馈1.(2016厦门中考)如图所示,DE是ABC的中位线,过

6、点C作CFBD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是()A.EF=CFB.EF=DEC.CFDE,AEDFAEDCEFAECE 解析解析:DE是ABC的中位线,E为AC的中点,AE=EC.CFBD,ADE=F.在ADE和CFE中, ADE CFE(AAS),DE=FE.故选B.B2.(2016河南中考)如图所示,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为()解析解析:在RtACB中,ACB=90,AC=8,AB=10,BC=6.又DE垂直平分AC交AB于点E,DE是ACB的中位线,DE= BC=3.故选D.12D3.(2016陕西中考陕西中考)

7、如图所示,在ABC中,ABC=90,AB=8,BC=6.若DE是ABC的中位线,延长DE交ABC的外角ACM的平分线于点F,则线段DF的长为 ()222286ABBC1212解析:在RtABC中,ABC=90,AB=8,BC=6,AC= =10,DE是ABC的中位线,DEBM,DE= BC=3,EFC=FCM.FCE=FCM,EFC=ECF,EC=EF= AC=5,DF=DE+EF=3+5=8.故选B.B4.如图所示,平行四边形ABCD中,AD=10,点P为BC上任意一点,分别连接AP,DP,E,F,G,H分别为AB,AP,DP,DC的中点,则EF+GH的值为()A.10B.5 C.2.5D.

8、无法确定121212解析解析:在平行四边形ABCD中,BC=AD=10.E,F,G,H分别为AB,AP,DP,DC的中点,EF是ABP的中位线,GH是DPC的中位线,EF+GH= BP+ PC= BC=5.故选B.B5.如图所示,等边三角形ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF= BC,连接CD和EF.(1)求证DE=CF;(2)求EF的长.12121212解析:(1)直接利用三角形的中位线定理得出DE= BC,进而得出DE=FC;(2)利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF,进而利用等边三角形的性质以及勾股定理求出EF的长.证明:(1)D,E分别为AB,AC

9、的中点,DEBC,且DE= BC.延长BC至点F,使CF= BC,DEFC,即DE=CF.解:(2)DEFC,四边形DEFC是平行四边形,DC=EF.D为AB的中点,AB=2,AD=BD=1,CDAB.在RtCBD中,BC=2,222213.BCBD DC=EF= 6.在ABC中,AD平分BAC,BDAD,垂足为D,过点D作DEAC,交AB于E. (1)求证AE=DE; (2)若AB=8,求线段DE的长.解析:(1)欲证明AE=DE,只需证明EAD=EDA;(2)证明DE为直角三角形ABD斜边的中线,即可解决问题.证明:(1)AD平分BAC,EAD=CAD.DEAC,EDA=CAD,EAD=E

10、DA,AE=DE.解:(2)由(1)知,EAD=EDA.BDAD,EBD+EAD=BDE+EDA=90,EBD=BDE,DE=BE.1212又由(1)知AE=DE,DE= AB= 8=4.7.如图所示,在ABC中,AB=4,AC=3,AD,AE分别是ABC的角平分线和中线,过点C作CGAD于F,交AB于G,连接EF,求线段EF的长.解析:首先证明AGF ACF,则AG=AC=3,GF=CF,证得EF是BCG的中位线,由三角形的中位线定理即可求解.解:AD是ABC的角平分线,GAF=CAF.在AGF和ACF中,GAFCAFAFAFAFGAFC AGF ACF,AG=AC=3,GF=CF.BG=A

11、B-AG=4-3=1.1212又AE是ABC的中线,BE=CE,EF是BCG的中位线,EF= BG= .8.已知直角三角形ABC中,B=90,AB=8,BC=6,BM为中线,BMN为等腰三角形(点N在AB边或AC边上,且不与顶点重合),求SBMN.121212解析解析:先根据勾股定理求得AC的长,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得BM= AC=5,通过作辅助线利用三角形的面积公式求解.222286ABBC解:在直角三角形ABC中,AC= =10.BM为中线,BM=CM=AM= AC=5.当N在AB边上时,且BM=BN=5,过点M作MGAB于点G.M是AC的中点,且MGBC,MG是ABC的中位线,MG= BC= 6=3,12BMNS121212152= BNMG= 53= .6 810AB BCAC当N在AC边上时,过点B作BDAC于点D,则BD= =4.8.222254.8BMBD在直角三角形BMD中,DM= =1.4.BMDS则 = BDDM= 4.81.4=3.36.12BMN是等腰三角形,26.72.BMNBMDSS9.如图所示,在ABC中,AB,BC,CA的中点分别是E,F,G,AD是