九年级数学第二十八章第1节圆的认识 华东师大版

1、九年级数学第二十八章第1节圆的认识 华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容： 第二十三章 第一节 圆的认识知识与技能 1. 了解圆的基本元素，认识圆心角和圆周角。 2. 掌握同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。 3. 了解一个圆中垂直于弦的直径的性质。 4. 掌握半圆（或直径）与所对的圆周角之间的关系。 5. 理解并掌握圆周角的性质，并会运用这些性质进行推理或计算。二. 教学过程知识点回顾 1. 圆的基本元素： （1）圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径长度确定，半径相等的两个圆为等圆。 （2）连结圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦是直径，直径是弦，但弦不一定是直径。 （3）圆上任意两

2、点间的部分叫弧，直径两个端点间的弧叫做半圆，大于半圆周的圆弧叫做优弧，小于半圆周的弧叫劣弧 2. 圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆是中心对称图形，对称中心是圆心，特别地，圆具有旋转不变性，即圆无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。 （2）在同圆或等圆的弧、弦与圆心角中，只要有一组量相等，那么另外两组量也分别相等。 （3）垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧（垂径定理） 3. 圆周角 （1）顶点在圆上并且两边与圆相交的角叫圆周角。 （2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90 （3）同弧或等弧所对的圆周角相等。 （4）在同圆中，一条弧所对的圆周角等于

3、该弧所对的圆心角的一半。 （5）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 （6）90的圆周角所对的弦是直径。【典型例题】 例1. 如图1，CD是O的直径，EOD=87，AE交O于B，且AB=OC，求：A的度数。图1 解：连结OB AB=OC，OB=AB OB=AB 设A度数为x，则BOA=x OBE=BOA+A=2x OE=OB OEA=OBE=2x EOD=E+A=3x=87 x=29，A=29 例2. 已知O的直径是50cm，O的两条平行弦AB=40cm，CD=48cm，求：弦AB与CD间的距离。 分析：本题有两种情况，（1）AB、CD在圆心O的同侧，（2）AB、CD在圆心O的两侧。 解

4、：（1）AB、CD在圆心O的同侧，作OFAB于F，交CD于E（如图2）图2 ABCD，OECD 由垂径定理，知 连结OA、OC，OA=OC=25 AB与CD之间的距离EF1578cm （2）AB、CD在圆心O的两侧（如图3）图3 AB与CD之间的距离 例3. 点A、B、C在半径为2cm的O上，若，求：A的度数。 分析：此题要分类讨论，考虑A点在BC所对的优弧上或BC所对的劣弧上两种情况。 解：当点A在弦BC所对的优弧上时，如图4（1）。图4（1） 连结OB、OC，过O作ODBC于D， 则BD 在RtODB中， BOD=60，BOC=120 A=60 当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图4（2）图

5、4（2） 连结OB、OC，过O作ODBC于D，则 OB=OC，OBC=OCB=30 BOC=120 故A的度数是60或120。 例4. 如图5，已知O中，直径AB为10cm，弦AC长为6cm，ACB的平分线交O于D，求：BC、AD和BD的长。图5 分析：“直径所对的圆周角是直角”是圆中的基本图形，解题时应充分利用。 解：AB是直径， ACB=ADB=90 在RtABC中 CD平分ACB， ，AD=BD 在RtADB中， 。 例5. 如图6所示，AB为O的一固定直径，它把O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CDAB，OCD的平分线交O于P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（

6、）图6 A. 到CD的距离保持不变 B. 位置不变 C. D. 随C点的移动而移动 解：连结OP，因为OC=OP， 所以1=P 又因为CP平分OCD，所以1=2 所以2=P，所以CDOP 因为CDAB，所以OPAB 而过O点垂直于AB的直线只有一条，所以P点位置不变。 例6. 已知，如图7，O中的弦AB=10cm，P是弦AB上一点，且PA=4cm，OP=5cm，求：O的半径。图7 解：连结OA，过点O作OMAB于点M 则 P在AB上，PA=4cm cm 在RtOMP中， 在RtOMA中， OA=7cm，即O半径是7cm。 小结：由垂径定理而产生的直角三角形在计算问题中有广泛的应用。 例7. 如

7、图8，ABC是O的内接三角形，O的直径BD交AC于点E，AFBD于点F，延长AF交BC于点G，证明：图8（1） 证法1：连结AD 直径BD，BAD=90 AFBD， BAF+FAD=FAD+D=90 BAF=D D=C C=BAF ABC=ABC ABGCBA 证法2：延长AG交O于M如图8（2）图8（2） BD是直径，且BDAM BAM=C ABC=ABC ABGCBA 例8. 如图9所示，已知C为半圆上的一点，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC、CB于点D、F图9 （1）说明AD=CD （2）若求PB的长。 分析：已知条件中有三角函数值时，应将三角函数值转移到直角三角形

8、中，以便用于计算。 解：（1）连结AC， ，CEA=CAE CEA=CBA CBA=CAE， AB是直径 ACB=90 CPAB，CBA=ACP CAE=ACP， AD=CD （2）ACB=90，CAE=ACP， DCF=CFD ， 设DP=3k，PA=4k ACB=90，CPAB 例9. 如图10，已知ABC内接于O，过圆心O作BC的垂线交O于点P、Q，交AB于点D，QP、CA的延长线交于点E。图10 求证： 分析： 而在OAD和OEA中，有2=2 要证相似，只要有1=E 解此题的关键是证明1=E，要证1=E有如下方法。 解法1：连结AQ，因为直径PQBC， BAQ=CAQ BAQ=1+3，

9、CAQ=E+OQA OA=OQ， 3=OQA 1=E 解法2： 延长AO交O于K，连BK AK为直径，ABK=90 EQBC，EMC=90 K、C所对圆弧为 K=C，1=E 解法3：作OLAB交O于L，则有OGA=EMC=90， C的度数是度数的一半，即C的度数是度数， 而AOC度数也等于度数 C=AOC 1=E 小结：利用垂径定理或直径所对的圆周角是直角是解此题的关键。 例10. 如图11，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘货船能否顺利通过这座拱桥？请说明理由。图1

10、1 解：连结OA，ON，设CD交MN于H 因为AB=7.2，CD=2.4，EF=3，且D为AB、EF中点， 所以OCAB，OCMN 设OA=R，则OD=OCDC=R2.4 在RtOAD中，有 即 R=3.9 在RtONH中， 所以 所以能通过这座拱桥。【模拟试题】一. 填空题： （1）半径是10的圆中，垂直平分半径的弦长等于_。 （2）一条弦把圆周分为1：5两部分，则此弦所对的圆心角的度数是_。 （3）如图1，O是ABC的外接圆，BAC=30，BC=2cm，则OBC的面积是_。图1 （4）如图2，A、B、C、D为O上四点，BCD=130，则BOD的度数是_。图2 （5）已知等腰三角形ABC，顶角BAC=70，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，则BAE的度数为_。 （6）如图3，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，O的半径是1，则AP+BP的最小值是_。图3二. 解答题： （1）如图4，O的直径AB和弦CD相交于点E，