一阶动态电路分析

1、第3章电路的暂态分析【教学提示】暂态过程是电路的一种特殊过程，持续时间一般极为短暂，但在实际工作中却极为重要。本章介绍了电路暂态过程分析的有关概念和定律，重点分析了RC 和 RL 一阶线性电路的暂态过程，由RC 电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析的三要素法。最后讨论了RC 的实际应用电路一一积分和微分电路。【教学要求】了解一阶电路的暂态、稳态、激励、响应等的基本概念理解电路的换路定律和时间常数的物理意义了解用经典法分析 RC 电路、RL 电路的方法掌握一阶电路暂态分析的三要素法了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件3.1暂态分析的基本概念暂态分析的有关概念是分析暂态过程的基础，理解

2、这些概念能更好地理解电路的暂态过程。1稳态在前面几章的讨论中，电路中的电压或电流，都是某一稳定值或某一稳定的时间函数，这种状态称为电路的稳定状态，简称稳态(steady state)。2换路当电路中的工作条件发生变化时，如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时，都会 引起电路工作状态的改变，就有可能过渡到另一种稳定状态。把上述引起电路工作状态发生变化的情况称为电路的换路(switching circuit )。3暂态换路后，电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。这种转换不是瞬间完成的，而是有一个过渡过程，电路在过渡过程中所处的状态称为暂态(tran sie nt state)。4激励

3、激励(excitation )又称输入，是指从电源输入的信号。激励按类型不同可以分为直流激励、阶 跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。5响应电路在在内部储能或者外部激励的作用下，产生的电压和电流统称为响应。按照产生响应原因的不同，响应又可以分为：(1) 零输入响应(zero in put respo nse):零输入响应就是电路在无外部激励时，只是由内部储 能元件中初始储能而引起的响应。(2) 零状态响应(zero state respo ns:零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零 的情况下，由外部激励所引起的响应。(3) 全响应(complete respo nse)：在换路时储

4、能元件初始储能不为零的情况下，再加上外部 激励所引起的响应。3一阶电路电路中只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路，其 KVL 方程为一阶微分方程，这类电路称为一阶电路，它包括RC 电路和 RL 电路。尽管暂态过程时间短暂，但它是客观存在的物理现象，在实际应用中极为重要。一方面可以利用暂态过程有利的一面，如在电子技术中利用它来产生波形(锯齿波、三角波等)。另一方面，也要避免它有害的一面，如在暂态过程中可能会出现过电压或过电流，会损坏元器件和电气设备。因此研究暂态过程可以掌握它的规律，以便利用它有利的一面，避免不利的一面，意义重大。3.2换路定律换路定律是电路暂态分析中的主要定律，它是

5、求解电容的电压和电感的电流初始值的主要依 据。3.2.1换路定律电路的换路是产生暂态过程的外因，而要产生暂态过程，必须有储能元件一电感或电容。当换路时，含有储能元件的电路的稳定状态发生了变化，电感和电容中的储能也要发生变化，但能量不 能突变。因为若能量突变，由p =理可得功率为无穷大，而功率是有限的。因此，能量不能突dt11变。而电感的磁场能为 WL= LiL2，电容中的电场能 WC=CuC2，能量不能突变，这就意味着电22感中的电流和电容上的电压不能突变。所以换路前的终了值应等于换路后的初始值，这一规律称为电路的换路定律(switching law )。若 t=0_表示换路前终了瞬间，t=0

6、+表示换路后初始瞬间，则换路定律可以用公式表示为：Uc(0=Uc(0 )i(0 )i(0 )322初始值的确定1初始值的求解步骤换路定律适用于换路瞬间，由它可以确定换路后Uc或 iL的初始值，再由这两个初始值来确定换路后电路的其他电压或电流的初始值。以下为求初始值的求解步骤：由t=o_的等效电路求出 Uc(O 丿或 iL(0_)。由换路定律确定 uC(0 )或 iL(0 .)。由 t =0 .的等效电路，利用 u(0 .)或 L(0 )求出换路瞬间电路中的其他电量的初始值。2等效电路的画法在 t =0 _和 t =0 .时，等效电路的画法应根据以下几点：换路前电容或电感上没有储能：5606a-

7、Numbered_fbe79152-e6ad-49a3-8353-861de81aecfe-Numbered_e2f3755a-138e-4927-9b7b-2d2d65e0bfb3(t=0_的等效电路中，所有电量的值为0, f(0_)=0。5606a-Numbered_fbe79152-e6ad-49a3-8353-861de81aecfe-Numbered_e2f3755a-138e-4927-9b7b-2d2d65e0bfb3(t=0 .的等效电路中，电容视为短路，电感视为开路。这是因为 t =0 .时，由换路定律知 Uc(0 )Uc(0 .)=0，而此时电容中有电流，所以电容视为短路；

8、L(0 )i)=0，而此时电感两端有电压，所以电感视为开路。2)换路前电容或电感上有储能且已达稳态，+65536t =0 _的等效电路中，电容视为开路，其电压为 uc( 0 J ;电感视为短路，其电流为 iL(0J；这是因为电容与电感的伏安关系分别为 ic C CdUCdUC，uL，换路前达稳态时，ic( 0 )0，dtdtuL(0)0o所以电容视为开路，其电压为Uc( 0；电感视为短路，其电流为iL(0。+65537t=0 .的等效电路中，电容视为一个恒压源，电压为 Uc( 0 );电感视为一个恒流源，电流为iL(0) o这是因为换路时电容的电压和电感的电流不能突变，所以电容视为一个恒压源，

9、电压为Uc( 0 );电感视为一个恒流源，电流为iL(0 )o323稳态值的确定换路后的电路达到新的稳态后，电压和电流的数值称为稳态值，当t_. 时，电路又达新的稳态。若 tr -时电感或电容无储能，则Uc(：) = 0 , iL(m) = 0，其它电量的稳态值也为零。若 t_. -时电感或电容有储能，因已达稳态，则 ic(8)= 0 , uL( g)= 0 而 Uc(8)0 , iL( 8)0o所以在 t：的等效电路中，电容视为开路，其电压为uc(：)；电感视为短路，其电流为iL(8) o再利用电容开路和电感短路求其它电量的稳态值。【例 3.1】电路如图 3.2.1 所示，已知 E=12V

10、,RI=4Q,R2=2Q,开关 S 断开前电路已达稳态。 求 S 断开后，(1 1) u uc(O*、i ic( 0 0*、U UR1(0-poUc( )、ic()、UR1(O)o由换路定律得：uc(0 J - uc(0 ) =4V画出 t =0 .时的等效电路如图 3.2.2 (b)所示，此时电容视为一个电压为4V 的恒压源，则4ic（ ）2 A2uR2（0J= 4 VicD = 0AUR2（ ：）= 0 V3.3RC电路的暂态分析RC 电路来分析其响应，也就是研究 RC 电路的充放电规律。3.3.1 RC电路的零输入响应图3.3.1 RC电路的零输入响应在图 3.3.1 所示(a) RC

11、一阶电路中，换路前开关 S 合在“ 1”处，RC 电路与直流电源连接， 电源通过电阻 R 对电容器充电至 U。，t=0 时换路，即将开关 S 转换到“ 2”处，试分析换路后 ic的变化规律。因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电容换路前有初始储能，所以该电路的响应为零输入响应。分析 RC 电路的零输入响应也就是分析其放电规律。解：(1)求初始值画出 t =0由题意知：换路前电路已处于稳态，电容由等效电路得:u(0 丿2 212=4V42(2)求稳态值 由题意知：达稳态时,电容没有储能，则Uc(：) =0本节将通过最简单的Uc、C 视为开路,+UR2（0+）+UC+ UR-ic+UC(b)

12、换路后等效电路如图 3.3.1 ( b)，由 KVL 可得：图3.3.2 RC电路的响应曲线由 iC- -C Cducduc可求出ic的变化规律:dtiC乂如Cdt其随时间变化的曲线如图3.3.2 （b）所示。由图可见，它的初始值为U0,按指数规律衰减至零。通过分析 uc、ic的变化规律可见，电路中各处的电压和电流均按指数规律变化。当上面的暂 态过程结束时，电路处于稳定状态，这时电容端电压uc和电流 ic的稳态值均为零。暂态过程进行uCuR=0由于UR=Ri，将i i罟代入上式得微分方程:ducducucRCuc=0 或0dtdtRC这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为：UC= Ae

13、pt式中 A 和 p 是待定系数，A 为常数，p 为该微分方程特征方程的根。将通解代入微分方程式得：RCpAeptAept=0整理后得到如下的特征方程:RCp 1=0特征根为:再来求常数 A，可由初始条件确定,p =RC由题意知换路前电容电压uC（0 _）= U0根据换路定律得:uC(0 ) = uC(0_) = U0令 t=0 将其代入微分方程的通解得:A二uC(0)= U0将 p 和 A 的结果代入方程的通解得:其随时间变化的曲线如图tUC=Ue3.3.2( a)所示。tRC或UC二 u（0 ）eRC由图可见，它的初始值为 U，按指数规律衰减至零。UoReRC的快慢，取决于电路参数R 和

14、C 的乘积。令.=RC，其中 R 的单位是欧姆（，C 的单位是法拉（F）,.的单位为秒（s）。因为它 具有时间的量纲，所以称为电路的时间常数，它仅仅是由电路的结构和元件参数的大小决定，而与换路情况和外加电压无关。当t = 0时，Uc=Uo当t =T时，uc=U0e=0.368U0可见时间常数.等于电压uc衰减到初始值的 33.8%所需要的时间，如图 3.3.3 所示。表 3.3.13.3.1T与uc的关系t0T2T3T4T5TucU00.368U00.135U00.05U00.018U00.0067U0从理论上讲，电容电压从 uc=U0过渡到新的稳态（uc=0 ）需要的时间为无穷大，但由上表

15、可以看出，一般经过 3.5.的时间就可以认为零输入响应衰减到零，暂态过程结束。【例 3.2】电路如图 3.3.4 所示，已知RI=6Q,R2=3Q,C=0.0 仆，ls=3A , S 闭合前电路处于直 流稳态，在 t=0 时 S 闭合，求 t 0 时ic、i1、i2。图3.3.4（a）解：（1）在t =0_时的等效电路中，电容视为开路，如图（ b）所示。由图可得：uc（0lSR2=3 3=9（V） 由换路定律得：uc（0 ） =uc（0 J -9 （V）（2）换路后的电路如图（c）所示。同样也可列出其它时刻ucii“RC2 0.01=0.02sRi+ R2则由 RC 电路的零输入响应的通解得：

16、uc=9e“0tv则：UcR23.3.2 RC电路的零状态响应在图 3.3.5 所示 Rc 一阶电路中，换路前开关 S 断开，电容无储能。t=0 时换路，换路后 S 闭合, RC 电路与直流电源连接，试分析换路后Uc、ic的变化规律。因为换路前电容无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产生的，所以该电路的响应为零状态响应。分析RC电路的零状态响应也就是分析其充电规律。换路后，电压源通过电阻 R 向电容 c 充电，电容上的电压uc将从初始值逐渐过渡到某一个稳 态值。由图中所示参考方向，根据 KVL 得：由于心 Ric，将 ic竽代入上式得微分方程:这是一个一阶常系数线

17、性非齐次微分方程，它通解得一般形式为:通解=齐次微分方程通解+特解其中齐次微分方程通解即为上面所讨论的Aept，特解是非齐次微分方程的一个特殊解，可以电路的时间常数T为iiicdt_50t-4.5eucRi-1.5e-50tRc-dUdUcUc =E 或dtdUc .UcEdt RC 一 Rcii+uc取换路后的稳态值。由题意可以得出，换路后的稳态值为E,故非齐次微分方程的通解为：uc=AeptE其中 p 为该齐次微分方程的特征根。1p RC积分常数 A 仍由初始值确定，将初始条件t=0时，Uc=0 代入非齐次微分方程的通解，得:A = E于是求得零状态响应为：ttuc=-EeRcE = E(

18、1 - e_Rc)其中，E 为 t_. -时电容两端电压 UcCJ，零状态响应又可写为ttuc=E(1 _e 氓)=uc(8)(1 _e 応) 则tE RcRUc(0：= uc(0 0UcUR=ERC 詈 Uc=E求得:3.3.3 RC电路的全响应在图 3.3.7 所示 RO 一阶电路中，换路前开关S 合在“1”处，RO 电路与直流电源 E1连接，而【例 3.3】在图 3.3.5 中，已知 R=2Q,uc、ic的变化规律。故c=4 卩 F, E=10V，当 t=0 时，开关 S 闭合，换路前电容初始储能为零，试求开关闭合后解：换路前c 无初始储能,换路后根据KVL 得:i icUct=E (1

19、 -eRc)二 10(1 etRc =5訂25 103t-425 103t)且电路已稳定，t=0 时换路，即将开关 S 转换到“ 2”处，RC 电路与直流电源 E2连接，设电容的电 压和电流方向为关联参考方向，试分析换路后uc、ic的变化规律。1 S +UR-2?uc图3.3.7由于换路前电路已稳定， 电容已有储能。 换路后电路由电压源 全响应。在 t 0 时，由 KVL 得：Uc+UR= E2由于 URC，将 S “罟代入上式得微分方程:tuc= AeRcE2将初始条件t = 0+时，uC(0+) = E1代入微分方程的通解，得:AEj- E2于是求得全响应为:整理得:tuc=E1eRcE2

20、(1 _eRc)tt分析uc式可知，式中第一项 EieRc是电路的零输入响应， 第二项 E2(Rc)是零状态响应。 因此，电路的全状态响应可分解为零输入响应和零状态响应两部分之和。全响应=零输入响应+零状态响应由Uc可以求出ic的响应。ducic=c 一 dt它们的变化曲线如图 338 所示。icE2激励，所以该电路的响应为RC 哑 dt求解的步骤和零状态响应是一样的,程的通解为：ducucuc= E2或dt Rc但电路的初始条件不同，E2RC会影响常数 A 的数值。该微分方它们随时间变化的曲线如图3.4.2 所示。(b)Ei: E2图3.3.8 RC电路的全响应3.4RL电路的暂态分析本节将

21、通过最简单的 RL 电路来分析其响应，也就是研究RL 电路的充放电规律。3.4.1 RL电路的零输入响应在图 3.4.1 所示（a） RL 一阶电路中，t=0 时换路，将开关 S 闭合，试分析换路后iL、uL的变 化规律。图3.4.1 RL电路的零输入响应因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电感换路前有初始储能，所以该电路的响应为零输入响应。分析 RL 电路的零输入响应也就是分析其放电规律。设电感的电压和电流关联参考，换路后，由KVLULUREret=L匹一dt式中LT =(a)EiE2可得:= =0 0由于UR= RiL，将UL= L 代入上式得微分方程: dtL diLiL=0 或R

22、 dt此方程与电容放电的微分方程形式相同,diLR.门 iL=0 dtL参照其解法可求得结果tE -iLeRii_，进而求得UL。其中，E为 tis时通过电感的电流R，零状态响应又可写为U ULiL+UL它们随时间变化的曲线如图3.4.2 所示。R它也具有时间的量纲，是RL 电路的时间常数。越大，iL和uL衰减的越慢。图342 RL电路的响应曲线可见，电感电流与电容电压的衰减规律是一样的， 都是按指数规律由初始值逐渐衰减而趋于零。 而电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到RIs，然后再按指数规律逐渐衰减到零。过渡过程的快慢，取决于电路的时间常数。RRL 串联电路实际上是线圈的电路模型，如电动

23、机的绕组、仪表的线圈等。在使用的时候常会 遇到线圈从电源断开的问题，如图 3.4.3 所示电路，S 断开前电路已处于稳态。 如果突然断开开关 S，这时电感中电流的变化率diL很大，将使线圈两端产生很大的自感电动势eL- -L。由于开关dtdt两触头间的间隙很小，高电动势能使开关触点被击穿而产生电弧或火花，触头被烧坏。为防止开断线圈电路时所产生的高压，常在电感线圈两端并联一个二极管。开关 S 断开前，二极管反向截止；开关 S 断开时，二极管导通，电感线圈中的电流通过二极管按指数规律放电，这样 就避免了产生高压。3.4.2 RL电路的零状态响应在图 3.4.4 所示 RL 一阶电路中，换路前电感无

24、储能。t=0 时换路，S 闭合，RL 电路与直流电源连接，试分析换路后iL、uL的变化规律。图3.4.4 RL电路的零状态响应因为换路前电感无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产生的，所以该电路的响应为零状态响应。分析RL 电路的零状态响应也就是分析其充电规律。设电感的电压和电流方向关联参考，换路后，由KVL 可得：图3.4.3iL+ULULUR=EtE E -iLeI IL -e ) *：) -e )tdIL=LL=Eedt图3.4.5 RL电路的零状态响应曲线可见，电感电流与电容电压的增长规律是一样的，都是按指数规律由初始值增加到稳定值的。电感电压在换路瞬间会

25、发生突变，由零突变到E,然后再按指数规律逐渐衰减到零。过渡过程的快慢，也取决于电路的时间常数。R3.4.3 RL电路的全响应在图 3.4.6 所示 IL 一阶电路中，换路前开关 S 合在 a 处，IL 电路与直流电压源 Ei连接，而且 电路已稳定，t=0 时换路，即将开关 S 转换到“ b”处，IL 电路与直流电压源 E2连接，试分析换路 后 uL、IL的变化规律。图3.4.6 IL电路的全响应由于换路前电路已稳定，电感已有储能。换路后电路由电流源IS2激励，所以该电路的响应为全响应。与求 IC 电路的全响应类似，IL 电路的全响应也等于零输入响应于零状态响应的叠加。由 IL 电路的零输入响应

26、和零状态响应求得全响应为：由于UR= IIL，将UL二 L 毁代入上式得微分方程:dtL dbILI dt此方程与电容充电的微分方程形式相同，=E 或 咚I-Edt LL参照电容充电的解法可求得结果iL，进而求得 uL。其中，为tr-时通过电感的电流RhCJ，因此零状态响应又可写为UL它们随时间变化的曲线如图345 所示。E E2E2EiE2一iL -eT2(1 _eT)- - (- )eTRRR R RttdiLUL二 L 二 E-eTE-eTdt它们的变化曲线如图图347 所示。3.5一阶线性电路暂态分析的三要素法上述 RC 和 RL 电路中，应用 KVL 列写待求量的微分方程式进行求解的

27、方法，称为经典法。对于一个简单的一阶电路，可以应用经典的方法来求解，但对于结构复杂的一阶电路如果用经典法则 显得比较麻烦，下面我们介绍一阶线性电路暂态分析常用的方法一一三要素法。总结 RC、RL 电路微分方程的求解过程，可以得出一阶电路暂态过程电压和电流解的形式是相同的，它们都由两部分组成。u =u ui二i i其中，u和i为非齐次微分方程的特解，它可以在电路处于稳定状态时求出，称为稳态分量。tu和i是对应齐次微分方程的通解，它具有确定的函数形式称为Ae_，随着暂态过程的结束它将趋于零，称为暂态分量。如果将待求的电压或电流用f （t）表示，其初始值和稳态值分别为f（OJ和f（：），则其响应表示

28、为：tf （t） = f （：） Ae在t = 0.时有f（0 J =f（：） A得：A = f（0 ） - f（：）因此tf（t）= f（oo）+f（0* f（oo）e式中 f（：）、f （0 ）和称为一阶电路的三要素，求解时只要求出三个要素，就能直接求出电 路的响应。【例 3.5.1】在图 3.5.1 所示电路中，已知 E=10V , Rr=R2=5kQ,C=1 nF，开关 S 闭合前电容无 储能。求开关 S 闭合后的电容电压 uC和电流 iC。图3.5.1图3.5.1解：本题是求零状态响应，用三要素法求电容电压uC和电流iC的变化规律。先求 u(0 丿、i(0由题意开关 S 闭合前电容无

29、储能得：Uc (0 _)= 0由换路定律得：uC(0.) =uC(0J= 0在t =0.时，电容视为短路 /、 E 10.ic(0):2m mARi5再求uCC：)、iCC：)t *时，电容视为开路，则：R25Uc(：)-E1010= =5VR1+ R25+5LC：) A然后求时间常数R1R25539_6.=RC C101 10=2.5 10 S尺 +R25+5求UC、ic把上面的结果代入三要素公式tu(t)Uc(：) Uc(0.)-Uc(：)etic(t)icL) ic(0 ) -icC:)e_：得：uc(t)5 0-5e“0%=5-5e05tV(a)(b)3.6微分电路与积分电路在 RC

30、电路中，电路的时间常数 .决定了暂态过程进行的快慢，如果对RC 电路选择适当的时间常数和输出端，便会得到输出电压uO和输入电压ui之间微分和积分的关系，本节所介绍的就是由 RC 电路构成的微分电路与积分电路。3.3.1微分电路如图 3.3.1 所示 RC 电路中，输入电压ui为一个矩形脉冲电压，脉冲幅度为 U，脉冲宽度为 tp。 输出电压UO取自 R 两端，且满足Ttp，设电容初始储能为零， 试分析输出电压UO和输入电压Ui之间的关系。为便于分析，我们分别取几个特殊时刻，t=0 时，输入矩形脉冲Ui由零突变为则u(0 .) = U。0 t ti时，由于.：:t，所以电容迅速充电，电容电压Uc按指数规律很快充电到U，相应地输出端电压Uo即UR由初始值衰减到 0,形成一个幅