线性代数复习题答案

1、Jason Testarossa第7页2020-4-14线性代数复习题答案WOR使用不熟练因此有些东西写不出来（打的我快吐了.）。答案仅供参考，错误在所难免，会数学的同学帮忙校验一下吧。祝大家门门考试全通过。一、计算排列76843521的逆序数。解：在排列76843521中7排在首位，逆序数为0；6 的前面比6大的数有一个7,故逆序数为1 ；8 是最大数，逆序数为0；故逆序数为3；4，故逆序数为4;故逆序数为3；4、3、5，故逆序数为6；4、3、5、2,故逆序数为7；4 的前面比4大的数有7、6、8,3 的前面比3大的数有7、6、&5 的前面比5大的数有7、6、8,2 的前面比2大的数

2、有7、6、&1 的前面比2大的数有7、6、&于是这个排列的逆序数为t=0+1+0+3+4+3+6+7=24第1页共7页二、计算下列n阶行列式的值:D=解:a (n 1)b b (a b)=(an 1b) - a+(n-1)bDabb.a.b.br1 r 2 r3.r na (n 1)b a (n 1)b a (n 1)b a (n 1)br1/a (n 1)bba.bbb . .abb.a1 b1.a.1 b.-a(n 1)bbbb.a.bbr2 r1r3 r1(n 1)br1* b bbb .abb .arnr1ab b . b00. (a b)Jason Testaross

3、a第7页2020-4-14221第3页共7页三、设A1 1 0011 , AX 2X E , E为三阶单位矩阵，求矩阵X1 0 1解： AX=2X+E( A-2E) =E1 1 0又 A-2E= 0111 0 1由于(A-2E|E)=110初等行变换1212121 1 1 1 1 1 1 21 1 1（类题：已知A3 213 1 5 ,用初等变换法求A的逆矩阵A 1。）3 23| A|A|= (3*1*3 ) + (2*5*3 ) =9+30+6-30-18-3+ (1*3*2 ) - (3*5*2 ) - (2*3*3 ) - (3*1*1 )=-6749A= 6 6123 037491 1

4、A=66 126203四、当为何值时非齐次线性方程组(1)X1X2X32X1(1)X2X32X1X2(1)X3有唯一解、无解、无穷多组解？并在有无穷多解时求其通解解：因系数矩阵A为方阵,故方程有唯-一解的充分必要条件是系数行列式|A| 丰 0111r1 r2 r1 r3 r2 r11 11|A|=111r3 r1(1) 0 20 = ( +1)(-2 ) 21110 02因此，当：古-1且工2时，方程组有唯一解。当=-1时,2 112r3 r12 112B= 1212 12121121 0003知 R(A)=2，R(B)=3,故方程组无解。当=2时，1 1121112B= 1112 10 0

5、0 01 1120 0 0 0知 R(A)=R(B)=1，故方程组有无限多个解,且通解为：X1X2X32X1112X2X2C1 X2C11C2 20(C R)X3X3C2X3010类题：当为何值时非齐次线性方程组XiX2X1X2X1X2X31X3(本人表示打公式真费劲，所以照搬原始课件版，另一种解法见上题2X3解：对增广矩阵11有唯一解、无解、无穷多解？并在有无穷多解时求其通解(A,b)作初等行变换,11112112 01 1201 1100 2212300 1 21 121当1时，1111B00000 0 0 0R A R B 3,方程组有无穷多解其通解为X-I1x2x3x2x2x3x3x2

6、, x3为任意实数2 当i1时，1 12B0 110 02 1 2这时又分两种情形：1)2时，R A RB 3,方程组有唯一解:X12)2时，1124B03360003R AR B，故方程组无解X2X3131012，求衣atb1314022五、设A 0 , B10解：At = 2 0 10AT B= 2*1 1*12*3 3 2132 2六、(10 分)设 A 021 32015(1)求A的秩(2)求A的一个最高阶非零子式Jason Testarossa第7页2020-4-1413221322132 2解：A 021r3 2r130 21亠r3 3r23021 32 0 150639000 0

7、因为行阶梯形矩阵有2个非0行，所以R(A)=213A的行阶梯形矩阵记A= (a1,a2,a3,a4 ),则矩阵Ao= (a1,a2)的行阶梯形矩阵为0 20 0 知R( A) =2,故A中必有2阶非零子式，计算A的前二行构成的子式因此这个子式便是A的一个最高阶非零子式。13/、2+1131302= (-1 )*2=-2工 02 0 2 02 0七、求下列非齐次线性方程组的通解。X1 X2 X3 X4X1 X2 X33X41,X1 X22X33X412解：对增广矩阵B进行初等变换1 1110r2 r111110B= 11131r3 r100241111 12000 1 1221101丄1r222

8、r3 r2 0012 -20000 0由于 R(A)=R(B)=1 ,故方程组有解,且有x1x2X41/2x1x2x41/2x2 x2 0x4X32X41/2x3 0x2 2x41/2x4 0x2X4第11页共7页X1101/2方程组的通解为：X21X2c0X4C0X304 21/2x4010其中X2, X4任意。(类题：求下列非齐次线性方程组的通解。3X| x2 3x3 4x44)x-i 5x2 9x3 8X4011311r3 r1113r2 3r1B= 31344r3 r204613980000由于 R(A)=R(B)=2，故方程组有解，且有x1x2 3x3 x41x23/2*x37/4*

9、X41/4X3X3x4x4X113方程组的通解为：X2X20X33/2X301X400其中X2, X3，X4任意。10八、已知向量组11，22，315该向量组一个极大线性无关组。1 0 2r2 r1 r3 r1102解：A=124r3 5/2*r2。2215 7000解：对增广矩阵B进行初等变换1 17 10 0017/41/4X4 c001024，( 1)求该向量组的秩。(2)求7可见R(a1,a2,a3)=2，向量组a1,a2,a3线性相关，同时可见 R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2 线性无关，因此a1,a2是向量组a1,a2,a3的一个最大无关组。此外由R(a1,a3)=2及R(a2,a3)=2可知a1,a3和a2,a3都是向量组a1,a2 ,a3的最大无关组。(类题：已知向量组1(1,1,2,3)2(1, 1,1,1)3(1,3,3,5)4 (4, 2,5,6)a)求该向量组的秩。(2)求该向量组一个极大线性无关组。)1123r2 r1 r3 r11 123解：A=111