一元二次方程求根公式

1、元二次方程求根公式Company number :II豈匹:WT88 Y W8BBGB-B W YTT 19998 主讲：黄冈中学高级教师、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax：十bx十c二O(aHO)进行配方 当甘- lac ：-(|时的根为-b± xlb2 - 4aGX =2a该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根 公式法，简称公式法说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次 方程 ax" + bx + c=0 (aO)；(2) 由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定

2、的；(3) 应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一 般形式.2、一元二次方程的根的判别式-b± xjb2 - 4ac珂2 =(1) 当b2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根7玄 ；b2Q = 一 (2) 当b：-4ac=O时，方程有两个相等的实数根“；(3) 当b2-4ac<0时，方程没有实数根.二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的 关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。(1) “开平方法” 一般解形如“必"龙类型的题目，如果用“公式法”就显得多

3、余的了。(2) “因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程”2_& =也91 ;用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若 配方，则方程化为(-3)2=6400,就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑 运用。(4) “公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方-b 土 $ - 4&C程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入茲(沪-4如$0)求值，所以对某些特殊方程，解法

4、又显得复杂了。2、在运用b:-4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：(1) b: - 4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才 能确定a、b、c,求出b：-4ac ；(2) 在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c ；(3) 根的判别式是指b:-4ae,而不是晶-仏.三、典型例题讲解例1、解下列方程： 1? 10=0 .尸+ 2= 2屈；(x+l)(x-l) = 2&x分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出纸b、c的值，再代入公式计算,解:因为圧1, *-4历，c=10-(-4希)°的±2、厅羽士花所以

5、2艾1所以丙=2的+忑，勺=2击_原方程可化为X - 2Q亠2 = 0因为 a二 1, b = -2忑,c=2所以可原方程可化为? - 2屈一 1 = 0因为 a二 1, b = -2逅,c= - 1所以Q 一4他=-20尸_4xlx(-l) = 12X =所以所以罚总结：(1) 用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负 数.通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根 要化为最简形式；(2) 用求根公式法解方程按步骤进行.例2、用适当方法解下列方程：-(j + 3) 求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如，可以直接开平 方，就能马上得

6、出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是 一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是 偶数，则可使用，计算量也不大。如，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项 系数是-2。可以利用用配方法来解，经过配方之后得到 =2 x2 -2x= 224 5x2 - 2-1 = 0(3 7)2=2=9“ d - 2爲x-1 = 0 X2 + 2(1+ 7?)+2-75 = 0(4+1Xx-1)=(3a-W-D分析:要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理 好特殊方法和一般方法的

7、关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四 种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式 -b± Jb? - 4ac直接开平方法一般解符合Aax = c(a # 0)型的方程，如第小题。因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑 的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分 解时，应考虑变换方法。1 o_(x + 3)2 = 2解：2两边开平方，得兀+

8、 3 = ±2所以 ® = T=-5- 2x = 224配方得 -2 + 1 = 224+1所以 A"1 = ±15所以xl = 16- 2爲x -1 = 0配方得（=1+（所以x 5x2 - 2x- 1 = 0因为b = -2所以八仏*2)2-4x(-1)X5=4 十 20=242±2后 1士应y 所以 2x551 +来所以5，-，X2 + 2(1 + 73)23 = 0配方：X + 2(1 + 爲鼻 + (1 + 73)2 =-24 + (1 + 何所阳+(1 +厉)=±2所以可=1-語乜=-3-語 （M+宀9整理，得So 所以1

9、 （4卄 1）（兀-1）二（3兀-1）仗-1）移项，提公因式，得（DE十D®-1）二0所以A1 = t J2 = _2小结:以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。例3、已知关于x的方程ax: - 3x + 1=0有实根，求a的取值范围.1x = 7 =解：当尸0时，原方程有实根为3(-2一也0即2时，若aHO时，当°原方程有两个实根.-故、综上所述&的取值范围是4小结:此题要分方程ax: - 3x + 1二0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a二0与aHO两种情况.例4、已知一元二次

10、方程x:-4x + k二0有两个不相等的实数根.(1) 求k的取值范围；(2) 如果k是符合条件的最大整数.且一元二次方程x:-4x + k二0与X + mx - 1二0有 一个相同的根，求此时m的值.解：(1)因为方程- 4x + k二0有两个不相等的实数根，所以 bs-4ac=16-4k>0,得 k<4.(2)满足k4的最大整数，即23.此时方程为x:-4x + 3=0,解得x：二1, x;=3. 当相同的根为x=l时，则1 + 111-1=0,得m=0；8血=. 当相同的根为x=3时，则9 +3m-1=0,得 3_8所以m的值为0或亍例5、设m为自然数且3<m<40,方程只一 2帥-3> +4” -14酬+ 8二0有两个整 数根求m的值及方程的根。.x2 - 2(2m-珈+4沪-14翻+8 = 0IvT 方程有整数根，.4 (2m+1)是完全平方数。V 3<m<407<2m+l812m十1值可以为9, 25, 49m的值可以为4, 12, 24o当m二4时方程