矩阵典型习题解析

1、精品文档2矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解 是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵 所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系 的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！ 于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单！2.1知识要点解析2.1.1矩阵的概念1. 矩阵的定义由mKn个数aij (i 1,2,m; j 1,2,n)组成的m行n列的矩形数表a11a12a1 na2nam1 am2amn称为mxn矩阵，记为A (aij)mn2. 特殊矩阵(

2、1) 方阵：行数与列数相等的矩阵；(2) 上(下)三角阵：主对角线以下(上)的元素全为零的方阵称为上(下) 三角阵；(3) 对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；(4) 数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；(5) 单位矩阵：主对角线上元素全是 1的对角阵，记为E；(6) 零矩阵：元素全为零的矩阵。3. 矩阵的相等设 A (aij)mn；B (bij )mn若 aj bj(i 1,2, ,m;j 1,2, ,n)，则称 A 与 B 相等，记为 A=B2.1.2矩阵的运算1 加法(1) 定义：设 A (Aj)mn，B (bj)mn，则 CAB ® bj ) mn(2) 运算规律 A+

3、B=B+A ;匚 A+B) +C=A+ ( B+C)A+O=AA+ (-A) =0,是A的负矩阵2. 数与矩阵的乘法(1) 定义：设 A (aj)mn，k 为常数，则 kA (kaj)mn(2) 运算规律 K (A+B) =KA+KB ,(K+L )A=KA+LA,(KL) A= K (LA)3. 矩阵的乘法(1) 定义：设 A (aj)mn，B (bj)np.则nAB C (Cj)mp,其中 Cijaik bkjk 1(2) 运算规律(AB)C A(BC): A(BC)AB AC(B C)ABACA(3)方阵的幕定义：A(aij ) in，则 AkAKA运算规律:AmAnAmn .(Am)n

4、 A(4)矩阵乘法与幕运算与数的运算不同之处。 AB BAAB 0,不能推出A 0或 B 0;(AB)k Ak Bk4. 矩阵的转置(1) 定义：设矩阵A=(aij)mn，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A的转置，记为At (aji)nm，(2) 运算规律(At)t A;(A B)t At Bt ;(kA)T KAT;(AB)T BT AT。(3) 对称矩阵与反对称矩阵若A A,则称A为对称阵；AtA，则称A为反对称阵。5. 逆矩阵(1) 定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E ,则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作B A .定义：由n阶方阵A的元素构成的。(2)

5、 A可逆的元素条件：A可逆A 0(3) 可逆阵的性质 若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1 =A; 若A可逆，心0,则kA可逆，且(kA)11 A 1;k 若A可逆，则AT也可逆，且(At) 1 (A 1)T ; 若A，B均可逆，则AB也可逆，且(AB) 1 B 1A 1。(4) 伴随矩阵定义：A* (A)T，其中Aij为aj的代数余子式, 性质：i) AA* A*A |AE ;ii) A*|An 1 ;* *n 2iii) (a ) |a a ;iv) 若A可逆，则A*也可逆，且(A*) 1 (A1)*-1 AIA用伴随矩阵求逆矩阵公式:A12.1.3方阵的行列式n阶行列式(各元素的位

6、置不变)叫做方阵A的行列式，记为A或detA<2.性质：(1) AT A，(2) kA knA，(4) A(3) AB AB ,3 特殊矩阵的行列式及逆矩阵(1)单位阵 E: E 1;E 1 E ;1 数量矩阵kE: kE kn;当k 0时,(kE) 1 -E k（3）对角阵：12n-1若1 2 n 0，则丄21n4. 上（下）三角阵a11 *设 A,则 A an a22 annann若A 0，则A1仍为上（下）三角阵2.1.4矩阵的初等变换与初等矩阵1 矩阵的初等变换（1）定义：以下三种变换 交换两行（列）； 某行（列）乘一个不为零的常数 k； 某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称

7、为矩阵的初等变换。2. 初等矩阵（1）定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵; 交换i ,j两行（列），记为E（i, j）;第i行（列）乘以不为零的常数k记为E（i（k）;精品文档第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i ；(2)初等矩阵的性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而E(ij)1 E(ij) E(i(k) 1 E(i 1 )kE(j(k)i) 1 Ej( k)i(3) 方阵A可逆与初等阵的关系若方阵A可逆，则存在有限个初等阵R,P2, ,R，使A RP2 Pt，(4) 初等阵的行列式E(j(k)i) 1E(ij) 1,E(i(k) k,(5) 初等阵

8、的作用：对矩阵A进行一次初等行(列)变换，相当于用相应的初等阵左(右)乘矩阵A，且E(ij)A|A,E(i(k)A kA,E(j(k)i)| |A3 矩阵的等价(1) 定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵 B,则称A与B等价,(2) A与B等价的三种等价说法， A经过一系列初等变换变到B; 存在一些初等阵 E1, , Es,F ,Ft，使得Es E1AF1 Ft B 存在可逆阵P，Q,使得PAQ=B2.1.5分块矩阵1 分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。2分块矩阵的运算Bs1Bst(1)设A，B为同型矩阵,采用相同的分法有AI1AA21A1tA2tB11B21B1tB2

9、t精品文档A B(AjBj)(i 1,2,s; j 1,2,t)(2)kA (kAj)(i1,2,s;j 1,2,t)(3)设 A (aj)mn , B(bj ) np,分块成A11AitBiiB1rABAsiAstBtiBtr其中 Aii,Ai2,A.it的列数分别等于Bij , B2j ,Btj的行数，则AB C (cij)sr ，其中CjtAik B kj(i 1,2,3,s； j1,2,r)k 13 准对角阵(1)定义：形如AAA2Ai为ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。As(2)准对角阵的行列式及逆矩阵AA2Ai A2As ；若每个Ai可逆，则(iii) A逆，且Ai1A1A21As1(

10、3) 特殊的准对角阵AiA2若Ai, A2可逆，则A1A1(ii)AAiA2，若Ai, A2可逆，则A1A21Ai1是 B 0, C 0,则 A B C精品文档解：| B A b|3|a2g 8.B 1DC 1C 12.2.11、若(iv) A矩阵的运算2L 1L1L bL 20,C0，则2.2B1DB经典题型解析1L 22L 13L 1C1115cC22则c=解：由 4 1 a 5得a=0, 1 =4而-1+2b+6=-1 得 b=-3, C22 =-7从而c=提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心2、设A为三阶矩阵，且A 4,则（2 A）2.解：A)2丄A231 gA21 12

11、444易错提示：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错1误就是对矩阵进行行列式计算时，把（-A）2的阶数给忘记计算。23、设 A 为 3 3矩阵，B 为 4 4,且 A 1, |B 2,则| B A _.精品文档易错题示：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时| B A BA 23g2是我们常犯的错误。k4、设 A 1L 2L 3，B 1L 1L 1，J则 ATB_.k解： AtBAtB g AtBAtBAt(BAt)(BAt) (BAt)B11L 1L 1k 1k 162 1L 1L 6k 1 2L 2L 233L 3L 31易错提示：本题关键是要求我们注意到 AT B

12、是矩阵，但BAt= 1L 1L 1 2 =63却是数，k1L '1L 11L1L1倘右先计算atb2L2L2，然后再求2L2L2，贝U计算式相当繁琐的3L3L33L3L31L0L 15、设A0L1L 0，求An0L0L 1解：方法一:数学归纳法1L0L11L0L2因为A0L1L0，A2 AgA0L1L0，0L0L10L0L11L 0L 332A A gA 0L 1L 0 ，0L 0L 11L 0L n 1一般的，设 An-1 0L 1L 0，0L 0L 11L 0L n 1 1L 0L 11L 0L n则 An An 1gA 0L 1L 0 0L 1L 00L 1L 00L 0L 10

13、L 0L 10L 0L 11L 0L n所以，有归纳法知A 0L 1L 0 。0L 0L 164 7A8方法二：因为A是初等矩阵，A EgAgA A，相当于对单位矩阵1L 0L 0E= 0L 1L 0，施行了 n次初等列变换(把第一列加到第三列)，故0L 0L 11L 0L nAn0L 1L 0 。0L 0L 1方法三：利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩阵幕的特点来进行计算。1L0L11L 0L00L 0L 1令A=0L1L00L 1L00L 0L 0EB，0L0L10L 0L10L 0L 00L0L1其中B0L0L00L0L00L0L10L 0L 10L 0L 0又因为B20L0L00L

14、 0L 00L 0L 0 ，所以Bk O(k 2)0L0L00L 0L 00L 0L 01L 0L n故有 AnE,nngE,n 1B E nB0L 1L 0 .0L 0L 1提示：除上述方法外，本题还可以与后面的特征值联系起来计算， 方法也算不少, 读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。308316，求 A100 2A50 o205&设矩阵A3L 0L 8解：A的特征多项式f()2E A 3L 1L 6(1)(1)，则f()有根1，-1 (二重)2L 0L 5精品文档若设 g( )= 1002 50，那么所求 A100 2A50 g(A),而 dgL_)100100

15、49,d由代数学中的整除性质，q( ),st g( )=q( )f( ) a n n2n1 b c,-1 =1 100-2 150=g(1)=q(1) f(1) a b c a b c, -1=(-1 )100 2(-1 ) 50q(-1) f( 1) a b c a b c,0=-100+100=-(1)2a b,d解之得：a=b=0,c=-1。所以，g( )=q()f( ) 1，从而 a100 2A50g(A)=q( A) f (A) E E。点评：本题可谓是到综合性极强的一道题，对于解这种类型题时，读者除需要我们平时学习是应该养成多动脑，勤思考，常总结得好习掌握牢固扎实的基础知识外，还应

16、具备真正能够做到各知识点前后相连， 融会 贯通的能力。所以，惯。2、r07、设A00120000310093，求 An。解：由分块矩阵知，其中BAnBn00Cn而33的秩为1, 有Bn 2E(2E)nn(2E)n 1 P96m3 91 3精品文档从而Ann 2n 1002n0003 6n 19 6n 1J 1n 1063 62n0002.2.2矩阵的逆（逆矩阵）及其运用1、设A为三阶方阵,A为A的伴随矩阵，A1，计算（8A*解：因为a* AA1 !a1，所以1 -1*tA)1 8A33A 1A 1 2A 12rA64。易错提示：切记将2提出时应为2k，其中k为该矩阵的阶数。-12、 已知矩阵A

17、满足关系式A2 2A 3E O，求A 4E 。解：因为 O A2 2A 3E A+4E A-2E +8E-3E2A 4E A-2E 5E A 4E - E - A E，55-1 2 1A 4E E A.55思路提示：遇到有关此类问题时，我们首先应想到的是把所求问题的因式给分解出来，那么问题就会变得容易多了。3、设n阶可逆矩阵A 1, 2, n ， i为n维列向量（i=1,2,n）,为n维非零列向量，且与1, 2, n 1均正交，则B1, 2, n1, 可逆。解:要证明矩阵B可逆，我们这里只需要证明向量组 1, 2, n1,线性无关 即可。为此，我们令：k1 1 k2 2kn 1 n 1 kn

18、0，两边同乘以T，即k11 k22kn 1n 1 knQ T i 0 ,(i=1,2,门-1)kn T我们可以得出kn0，那么即得：k1kn 1又QA是可逆矩阵,n 1线性无关。从而我们有ki=k2 =kn=0,即证明了线性无关,是可逆矩阵。同时也就说明了矩阵思路提示：对于这某矩阵时可逆矩阵的方法也算不少，这里我们不妨预先前所 熟悉的线性方程组来建立联系。这就要求我们对与矩阵与线性方程组建的关系 要特别的熟悉与掌握，这对于今后解线性方程组也会只很有帮助的。事实上，对于m n矩阵A，我们可以把其每一列看作一列向量(记为 1, 2, n),则A=( 1, 2, n),这就很形象的转化为线性方程组问

19、题了，而A=( 1, 2, n )可逆向量组1, 2, n线性无关。4、设A为n阶实矩阵，若A+At为正定矩阵，则A为可逆矩阵。证明：用反证法假设A为不可逆矩阵，贝U n维列向量X。0 ,使得AX。0 ,T/T、TT TTT而对于 X0 (A+A ) X0 X0 AX0 X0 A X0 X0 (AX0) (AXo)Xo=X°T0 0TX。0 ,从而我们知存在X。0,使得X°T(A AT) X00 ,但这与a+at为正定矩阵相矛盾，从而假设不成立,这也就说明了 A为可逆矩阵点评：对于一些证明题，当我们感觉无处下手之时，不妨尝试一下反证法，很 多时候反证法也未尝不是条光明道路。

20、对于如何说明矩阵A是正定矩阵,我们应掌握以下几个等价定理：(1) 定义法(最基本，也较常用，本题就是利用次方法来证明出矛盾来的 的)；(2) 来说明A的所有特征值全部都大于零；(3) 来说明A的所有顺序主子式都大于零(这种方法再给出具体的矩阵表达形式时较常用)；(4) 存在可逆矩阵P，使得A=FTP;(5) 存在正交矩阵S,使得A=总；1 K0(6)存在正交矩阵Q,使得&AQc-1 AQ= M OM ，i 0(i1,2, n)0 Ln225、已知二次型 f (X1，X 2，x 3) 4X2 3X34衲2 4x1x38X2X3 ，(1)写出该二次型的矩阵表达式；用正交矩阵的方法把该二次型化为标准性，并写出对应的正交矩阵解：(1) f的矩阵表达式为0 22 xif(X"X2，X3) (Xi，X2，X3)2 4 4 x2 ；2 43 X3(2)由(1)得知该二次型的矩阵为0 22A 244，2 43A的特征方程为2 244(1)(6)(6)=0，43由此可得出A的特征值:11，26，36，对应的特征向量为对应的单位特征向量为:2"