焦半径公式的证明之欧阳组创编

1、欧阳组创编2021.02.16欧阳组创编2021.02.16创作：欧阳组时间：2021.02. 16焦半径公式的证明【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的界说：到两左点Fl, F2 (IFlF2l=2c)距 离之和为左值2a (2a>2c)的动点轨迹(图形).这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a.第一个参数c,就确左了椭圆的位垃：再加上另一个参数a,就确左了椭圆的形状和 年夜小比较它们的“身份”来,c比a更“显贵”.遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到C的踪影，故有人开玩笑地说： 椭圆方程有“忘本“之嫌.为了“正本二我们回到椭圆的焦点处，寻找C,并寻找关于C的题根：一、用椭圆方程求椭

2、圆的焦点半径公式数学题的题根不同等数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的 根基是椭圆的界说可是在具体数学解题时，不一泄每次都是从界说出发，而是从由数学 界说引出来的某些已知结论(圧理或公式)出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方 程岀发.【例1】已知点P (x, y)是椭圆a21上任意一点，Fl (c,0)和 F2(c,0)cc_ x X是椭圆的两个焦点求证：IPFll=a+。： IPF2l=a。.【阐发】可用距离公式先将IPF1I和IPF2I辨别暗示出来然后利用椭圆的方程“消 y”即可.【解答】由两点间距离公式，可知IPFlJU+h + h+ -y = 1 从椭圆方程。b 解

3、出代(2)于(1)并化简，得cQ4 XIPF1I= a (a<x<a)ca- x同理有 IPF2I= a (a<x<a)【说明】通过例1,得出了椭圆的焦半径公式从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P (x.y)横坐标的一次函数.rl是x的增 函数，r2是x的减函数，它们都有最年夜值a+c,最小值ac.从焦半径公式，还可得椭 圆的对称性质(关于x,y轴，关于原点).二、用椭圆的界说求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的 成立是以椭圆方程为其依赖的为了看淸焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆界说直接 导岀公式来.椭圆的焦半径公式

4、，是椭圆“坐标化“后的产品，按椭圆界说，对焦半径直接用距离公 式即可.【例2】P(x,y)是平而上的一点，P到两定点Fl (c, 0), F2 (c, 0)的距离的和为 2a (a>c>0).试用x, y的解析式来暗示rl=IPFll和r2=IPF2L【阐发】问题是求rl=f (x)和r2=g (x).先可视x为参数列岀关于rl和r2的方程 组，然后从中得出ii和r2.【解答】依题意，有方程组得k F = 4改2cx代于并整理得rlr2= Q联立，得勺=a-xa【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的界说直接导出，对椭圆的方程有自己的自力性由于公式中含C而无b,其基础性显然.三、焦半径公

5、式与准线的关系也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P (x, y)是以Fl (c,0)为焦点，以11：a1x=T为准线的椭圆上任意一点PD丄11于D.按椭圆的第二界说，则有sPF |= e | PD |=丘（石十 ）=仪十丘入即 rl=a+ex,同理有 r2=aex.对中学生来讲,椭圆的这个第二界说有很年夜的“人为性“准线“土&缺乏界说的“客观性：因此，把椭圆的第二界说视作椭圆的一条性质左理更合适逻辑性.【例3】P (x, y)是以Fl (c, 0), F2 (c, 0)为焦点，以距离之和为2a的椭圆上匕2任意一点直线1为x=7 PD1丄1交1于D1.【解答】由椭圆的焦半径公式IP

6、FII=a+ex.对IPDllffl距离公式(-口处IPDll=x c =x+ c11 G十软*十?)P_YX+ X+ 故有cc【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到左点Fl (c,0) (F2 (c.O)与泄直线 ll:x= c(12： x= c )的距离之比为定值c (0<e<l).四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了 任务的一半.而另一半，从“方程到曲线“，却留给了学生(关于这一点，被许多学生 所忽略了可逆推导过程其实不简单，特别是逆过程中的两次求平方根).其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求"的过程显得很简明.兰+疋=1【例4】设点P (x, y)适合方程和 於.求证：点p (X, y)到两泄点Fl(c,0)和 F2 (c, 0)的距离之和为 2a (c2=a2b2).【阐发】这题目是为了完成“从方程到曲线"的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半 径公式，很快可推岀结果.【解答】P (x, y)到Fl (c,0)的距离设作rl=IPFll.由椭圆的焦点半径公式可知rl=a+ex 同理还有r2=aex +得rl+r2=2a即IPFll+IPF2l=2a 即P (x, y)到两定点Fl (c,