圆锥曲线常见题型及答案

1、圆锥曲线常见题型归纳、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几a,b,c,e, p何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形 面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在 x轴和y轴的两种（或四种）情况；（3）注意a,2a,a2， b,2b,b2， c,2c,c2， 2p, p, p 2的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中c2 = a2 -b2，双曲线中c2二a2 b2，离心率e = c

2、a，准线方程x = a2 c ；例题：（1）已知定点Fi（；,0）,F2（3,0），在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 （）2 2A PFt| + PF2 =4 B PFt| + PF2 =6 C.+ PF? =10D PF +|PF 2 =12 （答：C）；（2）方程J（x_6）2 +y2 _ J（x*6）2 +y2 =8表示的曲线是 （答：双曲线的左支）2（3）已知点Q（2j2,0）及抛物线y=L上一动点P （x,y）,则y+|PQ|的最小值是 （答：2）1 1（答：心-护辽,2）；42 2（4）已知方程 仝 y1表示椭圆，则k的取值范围为3+k 2k（5）双曲线的离心率等于&

3、#39;5，且与椭圆22 2x 上=1有公共焦点，则该双曲线的方程942（答：亍八1 ）；（6）设中心在坐标原点 O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率 e2 的双曲线c过点P（4,710），贝y c的方程为 （答：x2_y2 =6）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离 有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用 平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定 义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定 理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由

4、向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；圆锥曲线的几何性质：2 2（1）椭圆（以务=1 （ a b 0）为例）：a2 b2范围：-a乞x a, -b y b ；焦点：两个焦点（-c,0）；对称性：两条对称轴x=0,y=0，个对称中心（0,0 ），四个顶点（：a,0）,（0, b），其中长轴长为22a，短轴长为2b ；准线：两条准线 -；cc离心率：e二，椭圆二0：e”：1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。a22x例：(i)若椭圆二i的离心率 1025,则m的值是_ (答：3或三)；3(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的

5、最小值为_(答2、2)(2)双曲线(以£a2y2b2-1 ( a 0,b 0 )为例)：范围：xz；-a或x_a,* R ;焦点：两个焦点(_c,0)；对称性：两条对称轴= 0,y=0，个对称中心(0,0)，两个顶点(_a,0)，其中实轴长为2a,虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 - y2 = k,k = 0 ；准线：两条准线a2；两条渐近线:y 二一离心率:C，双曲线等轴双曲线二巳二、2，e越小，开口越小,e越大，开口越大;例:(3)双曲线的渐近线方程为y=± 3x/4,则双曲线的离心率为(4)双曲线农-by2 "的

6、离心率为，5(答: 4 或 4 );(5)设双曲线笃-=1 (a>0,b>0)中，离心率 、2 ,2,则两条渐近线夹角9的取值范围是(答：冷)；(3)抛物线(以y2 =2px(p 0)为例)：范围:-0,r R :焦点:个焦点(p,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离;2对称性：一条对称轴y =0，没有对称中心，只有一个顶点(0,0)；准线：一条准线x 二一f ；离心率:，抛物线二e=1(4)点P(x°,y°)和椭圆=1( a b 0)的关系：(1)点P(x°,y°)在椭圆外X。yo2b22)点P(x°,y°)在椭圆

7、上X°y。b21；(3)点P(x°,y°)在椭圆内Xq y2b2:1例:(6)x y 1设a=0,aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为2516(答:(0,16a)；(7)已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为(答：詈)；(8)已知抛物线方程为y2=8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等(9)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为(答:7,(2, _4)；(10)点P在椭圆25=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为(答:22x25)712、直线与圆锥曲线的关系题(1) 写直线

8、方程时，先考虑斜率k存在，把直线方程设为y=kxb的形式，但随后应对斜率k不存 在的情况作出相应说明，因为k不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立；(2) 联立直线方程和圆锥曲线方程，消去x或消去y，得到方程ax2 bx 0或ay2 by 0 ，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。(3) 当方程或的二次项系数a=0时，方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况 是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行；(过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，过双曲线含中心的区域内一点(不在渐近线上)作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；)(4) 当方程或的二

9、次项系数a=0时，判别式厶:：:0、二0、 0，与之相对应的是，直线与圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用_0来求斜率k的范围；例题：(1) 过点(2,4)作直线与抛物线y2 =8x只有一个公共点，这样的直线有 (答：2)；2 2(2) 过点(0,2)与双曲线x y =1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 (答：9162 2(3) 直线ykx 仁0与椭圆乙+厶=1恒有公共点，则m的取值范围是(答：1，5) U (5,5 m +x);2 2(4) 过双曲线 亠_厶=1的右焦点直线交双曲线于 A、B两点，若丨AB|= 4,则这样的直线有 1 2条(答：3)；(5)

10、直线与圆锥曲线相交成弦(前提 0， 0)，记为AB，其中A(X1，yJ，B(X22)，AB的 坐标可由方程或求得，一般是由方程求出,x2，再代入直线方程求y1, y2，或由方程求出 y1,y2，再代入直线方程求xx2。(6) 涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程ax2 bx 0 求出x1 x2,x1x2，守 A(X1,yJ， B(X2,y2)在直线 y=kx+b 上，二 y kx1 + b， y kx b，y1 y2 =k(X1 X2)，二 |AB = J(X1 X2)2 +(y1 y2)2 =J(1 +k2)(X1 X2)2=.(1 k2)(XiX2)2 -4隠=(1 k2)二lal请注意，如

11、果联立直线和圆锥曲线方程，消去x，得到ay2 by 0，继而用韦达定理，求出=(Xi _ X2 )2 (y y2)2(1 +£)( yi y2)21 yiy2，y1y2， X1 _X2 =Q(y1 _y2)，- AB）一a，(1- k12 )( y1- y2 )2 _4y1 y2】=(1 - J ' 厶；（6） 若抛物线 y =2px（p 0）的焦点弦为 AB, A（“ yJ,B（X2, y?），则 |AB|=x X2 p ；2P2X1X2 =,yiy24（7） 若OA OB是过抛物线y2=2px（p>0）顶点O的两条互相垂直的弦，则直线 AB恒经过定点（2p,0）（7

12、）涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程ax2 bX 0 求出x1 x2，设弦A（x-, , y1） B（x2, y2） 的中点为M（Xo ,y°），则Xo 12，: M点也在直线y = kx b上，二y kxo b。如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率k有关，而不涉及弦长，则可把弦AB的坐标 侥，），（X2,y2）直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有（ -x2）、（x1 x2）、（y1 -y2）、（y< y2），这些都与弦中点坐标和弦的斜率k有关。（点差法）（8）弦AB满足有关的向量的条件，如OAOB=0（ O为原点），则xrmO，y kx1 b，y2 = kx2

13、b， x1x2 亠（3、b）（kx2 亠b） =（1 亠k2）XtX2 亠kb（N、x2）亠b2 = 0.又如过椭圆x2 +2y2 =2的右焦点F1的直线I与该椭圆交于M , N两点，且FM +FM =2坛/3，求直 线I的方程。特别提醒：因为厶0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时， 务必别忘了检验厶-0 !例：（1）抛物线y2 =2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为（答：2）;2 2（2） 如果椭圆=1弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：369x 2y -8 =0 ）;2 2（3）已知直线y= x+1与椭

14、圆占=1（a b 0）相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L:a bx 2y=0上，贝吐匕椭圆的离心率为 （答： 匝）；2（1）双曲线12二1的渐近线方程为12数,4x2(5)(6)(7)（2）以 _bx为渐近线（即与双曲线如（4）与双曲线经过双曲线(1)求 |AB|（2）求三角形.已知抛物线=1共渐近线）的双曲线方程为为参16=1有共同的渐近线,=1的右焦点F2作倾斜角为F1 AB的周长，（F1是左焦点）y2 = -x与直线y=k（x+1）相交于A、(1)求证：OA _ OB（2）当 S.oab=10，求k的值。已知动直线yx二k(x -1)与椭圆 C :5y2求证：MA MB为定值.且

15、过点（-323）的双曲线方程为30°的弦AB ,B两点二1相交于A、B两点，已知点(答:解：将y =k(x +1)代入+5y_=1 中得(1 3k2)x2 6k2x 3k2 _5=04222= 36k -4(3k1)(3k -5)=48k20 0,6k23k2 - 5X2 二23k 1x-ix2 y23k 1所以 MA MB =(x1y1)(x233,小扣2为”)(X22)k (X11)(X21)7=(1 k )X1X2 (3 k )(X1 X2)=(1k2)3k217 2(7 k)(6k23k2 1492933k2 -593k416疋一 54924=2+ + k =。3k +199

16、22（8）过椭圆X y =1内一点M （2,1）引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线的方程。164四、关于圆锥曲线的最值（1）圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标M（x0,y0），用两点间的距离公式表示距离d，利用点M的坐标（X。，y。）满足圆锥曲线方程，消去yo （或消去X。），把d2表示成X。（或y）的二次函数，因为xo （或y。）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题转化为：求二 次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。（2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所 求的点，

17、切线与定直线的距离即为所求最值。例：（1）椭圆xA2/3+yA2=1上的点到直线x-y+4=0的最短距离;五、求动点的轨迹方程（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；注意：不重合的两条直线1 : Ax B y G = 0与2: A2X B?y C2 = 0， 1的法向量为：n1 = （A1, BJ，方向向量为e1珂也“人）=（1,kJ， 1 _ 2二AA2 B1B2 =0A| B2 B1 A?且 A CG A2 ;（2）求轨迹方程的常用方法： 直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F（x,y）=。;（1）已知动点P到定点F（1,。）和直线x = 3的距离之和等于4,求P

18、的轨迹方程（答： y2 二12（x -4）（3 乞 x 乞 4）或 y2 二 4x（。乞 x : 3）; 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条 件确定其待定系数。（2）线段AB过x轴正半轴上一点M （m,。）（m 7），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴 为对称轴，过A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：y2 =2x ）; 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 由动点P向圆x2 y2 =1作两条切线PA PB切点分别为A、B，Z APB=6。，则动点P的轨迹方程 为 （答：x2 y2 =

19、4）;（4）点M与点F（4,。）的距离比它到直线I： x=。的距离小于1,则点M的轨迹方程是 （答：y216x）; 一动圆与两圆O M x2 y2 =1和O N: x2 y2-8x12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为 (答：双曲线的一支)； 代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(xo,yo)的变化而变化，并且Q(x°,y°)又在某已知曲 线上，则可先用x,y的代数式表示xo,yo，再将xo,y。代入已知曲线得要求的轨迹方程； 动点P是抛物线y =2x2上任一点，定点为A(O,_1)，点M分 PA '所成的比为2，则M的轨迹方程 为(答：y=6x2)；3(7)

20、AB是圆O的直径，且|AB|=2a, M为圆上一动点，作 MNL AB,垂足为N,在OM上取点P，使|OP|=|MN |，求点 P 的轨迹。(答：x2 y2 =a|y|);(8) 若点P(x1,y1)在圆x2 +y2 =1上运动，则点Q(Xi %, Xi + %)的轨迹方程是 (答：2 1y =2x 1(|x|=)；2(9) 过抛物线x2 =4y的焦点F作直线丨交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是(答:x2 =2y-2 )；(14全国卷)20.(本小题满分12分)已知点 A (0，-2)，椭圆E := 1(a-b.O)的离心率为仝2，F是椭圆的焦点,直线AF的斜率为乙3，O为坐标

21、原点.4(I)求E的方程;(n)设过点 A的直线l与E相交于P,Q两点，当 OPQ的面积最大时，求丨的方程.20.(本小题满分12分)解:(I)设F(c,O)，由条件知,3，得c-3，又£-23，所以和冇2=a- C2 =1故E的方程为y14x 2(n)当 I _x 轴时不合题意，故设 l:y=kx-2，P(x1,y1),Q(x2, y2)，将 y=kx_2 代入 y =1 得(1 4k2)x2 -16kx 12=0当厶-g -3)o，即八.扌时，x18k:3从而円|厂区，2|=4卞TYk234k2 1k2 1SM=1d |PQ |=4.4/ 一 34k21设 > 4k - 3

22、 = t，则 t 0 , S opq4t_t2 44J7因为t 4，当且仅当“2，即k2时等号成立，且满足.：0所以当.OPQ的面积最大时，丨的方程为77x -2 或 yx -2212分答案一：1.C 2.双曲线的左支3vy=xA2/4即 xA2=4y a焦点 F为(0,1 )准线：y=-1过点 P作 PMLy=-1 于 M/.| PM| = | PF| a y+|PQ|= | PM| +|PQ|-1= | PF| +|PQ|-1当F,P,Q三点共线时| PF| +|PQ|最小PF | +|PQ|) min=V (2V2)八2+1=3a( y+|PQ|) min= ( | PF | +|PQ|

23、-1 ) min=3-1=22x 2 A22 c5.y 1 ；6.x - y 644. (-3,-2山(-1,2)二: 1.3 或2532. 设焦点在x轴上，则椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形，底边长为2c,面积最大时，底边上的 高最大，即该动点必须位于椭圆与y轴的交点上，即此时高为b,即2c*b/2=1,bc=1,c=1/b而 cA2= aA2-bA2 =(1巾)八2即 aA2=匕八2 +(1巾)八2> 2a>V2 长轴 2a>2V23. (1)焦点在 x 轴上,渐近线 y=±(b/a)x a b/a=3/42又点0到直线PQ的距离d =，所以 OPQ的面积-

24、b=3t, a=4t 二 c=5t 二 e=c/a=5/4(2)焦点在y轴上,渐近线y= ± (a/b)x二a/b=3/4-a=3t, b=4t c=5t 二 e=c/a=5/314.4 或 45. e=c/a V2,2, cos( n - 9 )/2=a/c 1/2,1/ V2, n - 9 n /2,216. (0,)16a1、2n /3,353_4,一辽3 37.2.8. ( n - 9 )/2 n /4, n /3, 9的取值范围是n /3, n /2.2579.( 7,(2, 一4)10.12显然该抛物线焦点是(2,0 )这个点在x=5上.解方程组x=5,y 2=8x ,

25、则 x=5,y=2 V10. 该点坐标为(5,2 V10).用公式算得该点至抛物线距离为7.2.设直线为y=kx+a, 过(0,2 )点，可得a=2y=kx+2与x2/9-y2/16=1有且只有一个公共点也就是方程组x2/9-y2/16=1 ; y=kx+2只有一组解将 y=kx+2 代入 x2/9-y2/16=1 得到：(16-9k2)x2-18kx-180=0就此讨论：当16-9k2=0时，方程只有一组解,也就是k=± (4/3)时，方程只有一组解当16-9k2不等于0时，一元二次方程有且只有唯一解的条件 也就是b2-4ac=0,可以得到另一组k的值-rX*铲.+ = 13：v椭

26、圆5 m ,ll. II1，欲使其与椭圆、汹 恒.测>0：且啣，直线】j z i= °恒过定点(Qi)有公共点，只需让 -落在椭圆内或者椭圆上，即：， =；,选C.4. XA2 - YA2/2 =1 c 2=1+2=3 F( V3,0)过F且垂直x轴的直线是x=V 3 代入则y2=4 y= ± 2所以此时AB=2-(-2)=4所以这里有一条且AB都在右支时其他的直线则 AB都大于4所以AB都在右支只有1条顶点是(-1,0),(1,0)所以共有3条直线L交双曲线于A,B两点,A、B分别在两支时, 顶点距离是2<4 所以也有两条，关于x轴对称1. 2 2.x 2y

27、_8 =03.4.4x2 y294177330）方程为/32>13273/3由寫1.4Fj IL4lk(x+1)代入 yA2=-x设 A (X1,y1)B(X2,y2)易得 X1+X2=-(2kA2+1)/kA2,X1*X2=1yiy2=kA2(X1+1)(X2+1)=-10A斜率Ki 为 y1/X1,0B斜率K2为y2/X2所以K1*K2=-1得证(2)1/2(根 x1A2+y1A2* 根下x2A2+yxA2)根10(xM2+y1A2)(x2A2+yxA2)=40x1A2x2A2+(x1A2+y2A2+x2A2yM2)=402-(x1A2x2+x2A2x1)=40x1x2(x1+x2)

28、=-38(2kA2+1)/-kA2=-38kA2=1/36k=-1/6k(x 1)代入y_=1 中得(1 3k2)x26k2x 3k2= 36k4-4(3k21)(3k2-5)48k220 0X16k23k23k2X1X23k所以MAMByd%y2)3)(x2y“22492(X1 3)(x2 7) k2(x11)(x2 1)33497(1 k )x-|X2 - ( k )(x.| x2)3(1k2)3k2 -53k2172(3 k)(-6k23k2 1-3k4-16k2 -5 49 , 242k ：3k 1998.设直线与椭圆的交点为A(x1,yj、B(X2,y2)M(2,1)为 AB 的中点 .& X2=4y1 y 2. 2 2 2 2又A、B两点在椭圆上，则X1 4y