导数知识点总结

1、导数知识要点1. 导数(导函数的简称)的定义：设X0是函数y=f(x)定义域的一点，如果自变量X在X0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量:y = f(X。*x) - f(X。);比值y(x°X)-f(X0)称为函数y = f(x)在点X0到X。f之间的平均变化率；如果极LXLX限lim旦二lim f(X0旳f(X0)存在，则称函数y =f(x)在点x。处可导，并把这个0 X . J。X极限叫做y =f(x)在x。处的导数，记作f'(x。)或y'lx尹，即f'(x、_ y . f (x。：x)-f(x。)f(X。)叭 Pm。- X .注：&是增量，我

2、们也称为 改变量”因为&可正，可负，但不为零.已知函数y = f (x)定义域为A， y = f ' (x)的定义域为B，则A与B关系为A二B .2. 函数y=f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：函数y=f(x)在点x。处连续是y二f(x)在点x。处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y=f(x)在点X0处可导，那么y = f(x)点X0处连续.事实上，令X =X。*X，则X； X。相当于汶一；。.于是 lim f (x) = lim f (x° 亠；x) = lim f (x 亠x0) _ f (x0)亠 f (x0)X_of (x0 +&) -f

3、(乞)f (x0 +ix) 一 f (x0)'=lim 一一 x 亠 f (x0) = lim 一一 lim 亠 lim f (x0) = f (x0) 0 亠 f(x0) = f (x0).J0x. J0x. J0 . J0如果y=f(x )点xo处连续，那么y二f(x)在点x。处可导，是不成立的.例：f(x)=|x|在点X。=0处连续，但在点X。=0处不可导，因为 卫二山1，当厶x >0时，卫=1 ；当x V 0时，主=1，故lim y不存在.ixZAx注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数3. 导数的几何意义：函数y = f (x)在点X0处

4、的导数的几何意义就是曲线y = f (x)在点(x°, f (x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y"(x)在点P(x°,f(x)处的切线的斜率是f'(x°)，切线方程为 yy0 二 f (x)(xX0).4、几种常见的函数导数: c' =0 ( C为常数)I(s ixn = c o x(ln x) =1xX 'X(e )= e(xn)'二 nxn，( n r)I(cosx) =sin x1(l Oagx)二 l o geX(ax) = ax ln a35. 求导数的四则运算法则：(u v) =u V = y “1(X) f

5、2(x) - . - fn(x)= y=f1 (x) f?(X) . fn (x)V'(uv)二 VU V U= (cv) =C V CV 二 CV ( C 为常数)(v = 0)VU - V u2V注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它 们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设f(x) =2sin x -， g(x)=cosx-2，则f (x), g(x)在x = 0处均不可导，但它们XX和 f (x) g (x) = sin X cosx 在 x = 0处均可导.6.复合函数的求导法则：fx ( ：(x) = f (u) &#

6、39; (x)或y x = y u u x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.7. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数y二f(x)在某个区间内可导，如果f'(x) >0,则y二f(x)为增函数；如果f '(x) V 0,则y二f(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y=f(x)在区间I内恒有f'(x)=0,则y=f(x)为常数.注：f (x) '0是f (x)递增的充分条件，但不是必要条件，如y =2x3在(-：, ；)上并不是都有f(x)A0，有一个点例外即x=0时f ( x) = 0,同样f(x)Yo是f ( x) 递减的充分非必要条

7、件.一般地，如果f(X)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)， 那么f (X)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.8. 极值的判别方法：(极值是在X。附近所有的点，都有f(x) V f(x。)，贝u f(x。)是 函数f (x)的极大值，极小值同理)当函数f(x)在点X0处连续时， 如果在X0附近的左侧f '(x) > 0，右侧f'(x) V 0，那么f(x°)是极大值； 如果在X0附近的左侧f '(X) V 0，右侧f '(X) > 0，那么f(X0)是极小值.也就是说X0是极值点的充分条件是X0点两侧导数异号，而不是

8、f ' (X) =0.此外， 函数不可导的点也可能是函数的极值点 .当然，极值是一个局部概念，极值点的 大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不 同).注：若点X0是可导函数f(x)的极值点，则f '(X) =0.但反过来不一定成立.对 于可导函数，其一点X。是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数y=f(x)=x3， x =0使f '(x) =0，但x =0不是极值点.例如：函数y=f(x)=|x|，在点x=0处不可导，但点x=0是函数的极小值点.9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上

9、 对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.#导数练习8、选择题1.设函数f(x)在R上可导,其导函数f (x),且函数f(x)在x = _2处取得极小值,则函数y =xfX)的图象可能是2.3.f IM设a>O,b>O,e是自然对数的底数A. 若 ea+2a=eb+3b,则 a>bB. 若 ea+2a=eb+3b,则 a<bC. 若 ea-2a=eb-3b,则 a>bD. 若 ea-2a=eb-3b,则 a<b2设函数f(x)= 一+1 nx贝Ux1A. x=2为f(x)的极大值点C. x=2为f(x)的极大值点( )1B. x= 为f(x)的极小值点

10、2D. x=2为f(x)的极小值点4.A.B.CD.7.已知函数f(x)二1ln( x 1) - x;则y二f (x)的图像大致为8 .设 a>0,b>0.A.若 2a 22b3b,则 a>bB.若 2a 2a=2b 3b ,则 a<bC.若 2a-2a =2b-3b,则 a>bD.若 2a-2a= 2b_3b ,则 a<b* 49.设函数f (x)在R上可导，其导函数为f(X),且函数y = (1 -x) f (x)的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是()”A.函数f (x)有极大值f(2)和极小值f (1)/'b.函数f(x)有极大值

11、f(-2)和极小值f(1)VyC. 函数f (x)有极大值f (2)和极小值f(-2)花、D. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)10 .设函数f(x)=xex,则A. x =1为f (x)的极大值点B . x =1为f (x)的极小值点C. x - -1为f (x)的极大值点D . x - -1为f (x)的极小值点11 .设a 0且a =1 ,则“函数f(x) =ax在R上是减函数”,是“函数g(x) =(2 a)x3在R上是增函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12已知函数y=x3-3x，c的图像与x轴恰有两个公共点,则c-()

12、A. 2 或 2B. -9 或 3C. -1 或 1D. -3 或 1二、填空题13. 曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 14. 曲线y =x3 -x+3在点(1,3 )处的切线方程为 .三、解答题15. 已知函数f(x)二ax3 bx c在x=2处取得极值为c-16(1) 求a、b的值;(2)若f (x)有极大值28,求f (x)在-3,3上的最大值.16. 已知 a R,函数 f (x) =4x3-2ax a(1) 求f(x)的单调区间(2) 证明：当 OW x< 1 时,f(x)+2-a >0.17. 已知函数 f(x)x3x设n为偶数，f(-1)兰1,

13、 | f(1)兰1,求b+3c的最小值和最大值;-ax-a(a 0)32 求函数f (x)的单调区间；(II) 若函数f (x)在区间(-2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；(III) 当a =1时，设函数f (x)在区间t,t 3上的最大值为 M (t),最小值为 m(t),记g(t)二M(t) -m(t),求函数g(t)在区间-3,-1上的最小值.18. 设函数 fn(x)二 xn bx c (n N .,b, c R)(1) 设n 2,b=1, c = -1,证明：fn(x)在区间-,1内存在唯一的零点；12丿1 设函数f (x) = , g(x) - -x1 2 bx .若y = f (x)的图象与y = g(x)的图象有且仅有两 x个不同的公共点人(为,yj B(X2, y2),则下列判断正确的是()A.xx20, %y20B.石x20, %y2： 0C.xx2: 0, y1y20D.X1x2: 0