数列综合问题一

1、【知识概述】数列既是高中数学的主干知识也是许多知识的交汇点，符合新课程理念下的数学思想，数列的知识有非常强的辐射性，除了数列本身的知识和方法的综合之外，的知识产还可以同许多其他生综合，也可以使用许多的数学思想和方法，包括一些重要的推理方法合情推理是一种重要的推理形式，是人们发明创造的重要思维方法，是构建知识体系的一种重要手段.数列是培养和考查合情推理的优秀载体，近儿年的高考中，有些试卷数列为背景直接命题考查类比、归纳、猜想与证明，很多都是以新概念的形式考查，有些则在综合问题中作为一种思考和解决问题的途径和方法进行考查.学习中要注意掌握合情推理的基本特征和方法规律，特别要重视在给出数列递推公式求

2、通项公式时，可以作为一种解决问题的思想方法，并在一定练习的基础上总结解题规律1 .类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另类对象也具有某些特征的推理称为类比推理(简称类比)类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理有以下几个特点(1)类比是从人们己经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果.(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性(3)类比的结果是猜测性的不一定可靠，但它却有发现的功能.2 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推

3、理，称为归纳推理(简称归纳).归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，一般步骤为：3 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；4 提出带有规律性的结论，即猜想；检验猜想.3.数学归纳法:(1)证明当n取第一个值n0时命题成立；(2)假设当nk(kN,kn。)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.由(1)、(2)知，对于一切nn。的自然数n命题都成立.【学前诊断】1. 难度易设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8s4,S2Sg,S6$2成等差数歹1J.类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn,则成等比数列.2. 难度易已知数列aj的前三项分别为：ai1'+23=(1+2)1

4、13+23+33=(1+2+3)二，«31423+33+43=(1+2+3+4)；-则,%3. 难度易根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有【经典例题】例1.列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且q 2,公和为5,那么的值为的计算公式为，这个数列的前n项和Sn示位于第 每一列的数成等比数列，且例2.在等差数列 an中，若31。0，则有等式*1*2 L1n& 32 L3-9 n (1019, n N )成立，类比上述性质,相应的：在等比数列bn中，若b91，则有等式例3.设函数f (x)f (0) L f(5) f (6)的值为例4.2如图，n

5、 (n 4)个正数排成n行n列方阵，i行第j列的数，已知每一行的数成等差数列，1 1符号 aj (1 i n, 1 J n, i, j N )表定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数各列数的公比都等于q,若an-,a241,a32-，求q和色“il力Z'13,"In'21,"22'a23L-a2nLLLLLLLanlan2'an3JLftnn【本课总结】1 .涉及数列的概念定义是类比的重要内容之一，通过概念定义的类比可以定义新概念，这是创新型问题的重要命题方法，解决问题的关键是准确掌握

6、原命题的本质含义，比的思维正确并利用类理解新定义下的数学本质“三角形点阵”和“正方形点“细胞分裂模型”等，都可以通解答数表（阵）题的一般n 1项的内在联系，可通过观2 .涉及数列的许多问题是以图形或数表形式给出信息，如阵”、“谢宾斯基三角形”、“圆点图”、“正方形数阵”、过归纳并猜想出数列的通项公式，解题关键则是寻找其变化规律,步骤是：（1）根据数表（阵）寻求递推关系.重点研究第n项与第察数表（阵），用特值探路来归纳、猜想、证明出一般规律.（2）根据数表（阵）综合运用等差、等比数列知识求解.以数表（阵）形式给出已知条件,旨在考查等差、等比数列的题目，解答时需沟通数表（阵）中各数的纵横联系，分清每行、每阵数的结构特征.（3）根据新定义作答.根据数表（阵）给出的数据，按新定义去运算或构思解题途径，这类数表（阵）题是一类常见的信息迁移题，它能真正考查学生阅读理解、运用和掌握数学概念的能力.【活学活用】1 *难度易若数列an（nN）是等差数列，则有数列bn户一次-（nN*）也是n等差数列；类比上述性质，相应地：若数列GJ（nN）是等比数列，且Cn0,则有数列dn（n）也是等比数列.2 .滩度易已知数列金中，alb0,an22 0 s t?,即12,.将数列a.各项按照上小下大，3 .难