勾股定理的教学设计

1、勾股定理的教学设计（第一课时）一、教案背景（一）教材分析这节课是九年制义务教育初级中学教材华师大版八年级上册第十四章第一 节勾股定理第一课时：直角三角形三边的关系。勾股定理是反映自然界基本 规律的一条重要结论，它是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形 三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间 的“数”的关系，它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问 题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有 着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。学生通过对勾股定理的学习，可 以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

2、 也可了解我国古代在勾 股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。（二）学情分析1 通过初一一年的数学学习，初二学生能积极参与数学学习活动，对数 学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规 律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。2. 考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正仔细研究过三角尺的同学 并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。3. 以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对勾股定理的认识，能激发学生的学习兴趣。（三

3、）教学设想1 课型：新授课2设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定 理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终， 让学生对勾股定理的发展过程有所 了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程， 激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运 用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的 民族自豪感和探究创新的精神。3 教学思路：探索结论-得出结论-历史介绍-初步应用结论-应用结论解决 简单的实际问题。二、教学目标（一）知识目标1 理解回顾直角三角形中三角之间的关系，掌握新知即三边之间关系。2理解勾股定

4、理的内涵，并能用勾股定理进行简单的计算3.通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力， 体会数形结合的思想。（二）能力目标1. 掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关计算，即已知两边，运用勾 股定理列式求第三边。2. 应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。3. 经历探索勾股定理内容的过程，学会简单的合情推理与数学说理。4 通过勾股定理的简单应用，能用数学的眼光观察现实世界和有条理思考 与表达的能力，感受勾股定理的价值，也能写出简单的推理格式，以培养学生的 逻辑思维能力。（三）情感与价值观培养学生参与的积极性，及合作交流的意识。学生通过适当训练，养成数学 说理的

5、习惯，逐步体验数学说理的重要性。在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气。 引导学生积极探索，注意观察生活，体验生活中的数学。通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就， 激发热爱祖国，热爱祖国悠 久文化的思想感情。三、重点难点剖析（一）重点1 体验勾股定理的发现过程，勾股定理的内涵。2勾股定理的简单应用，即在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。（二）难点1 勾股定理的发现过程。2.应用勾股定理时斜边或直角的确定，推理格式的正确书写。3 灵活运用勾股定理。（三）难点成因在勾股定理的探索和验证过程中，体现了数形结合的思想，而学生已有的知 识能力水平很难从代数表示联想到有

6、关的几何图形，由几何图形联想到有关的代 数表示，这对学生具有一定的挑战性。（四）难点突破为了突出重点，突破难点，在探索勾股定理的过程中，按特殊到一般的思想， 引导学生先由特殊的直角三角形开始研究， 然后从正方形的面积联想a2、b2、c2； 得出结论后，不把重点放在勾股定理的验证过程中，而只是简单介绍勾股历史， 简单提到古今中外对勾股定理有很多证明方法，而对于怎样证明则作为课后阅读 留给学生自己探索。然后直接进入勾股定理的应用。 在教学中，给学生提供充分 实践、探索和交流的时间，鼓励他们积极思考解决问题的办法， 并与他人进行合 作与交流。另外对练习的精选，也选择学生易错的题型，让他们养成先确定斜

7、边 或直角再利用定理的习惯。四、教学策略及教法设计（一）教学策略课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，以熟悉的学习工 具一三角板为导入，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极 思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中， 从整体上把握勾股定理探索的方 法。学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、 点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地 理解和掌握勾股定理。辅助策略：借助多媒体课件，使学生直观形象地观察、动手操作。（二）教法设计探索法：让学生在探索直角三角形三边关系的活动中，积累数学活动经验。讨论法：在学生进行

8、了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促 进、共同学习。练习法：教学中通过对形的计算，使学生了解数对形的意义，使数形结合在 勾股定理教学中得到充分的展示。并精心设计随堂变式练习，巩固和提高学生的 认知水平。五、教学过程师生双边教学活动教学手记教学过程学生活动新知 介绍这是新课，要掌握的哦。1、情景 创设由身边熟悉的工具-三角板开 始新课根据三角板拓展思维回答相 关冋题(1) 情景 导入同学们，当你每天手握三角 尺绘制自己的宏伟蓝图时，你是 否仔细研究过三角尺，它作为工 具在数学学习中作用非凡，同 时，它又可以作为直角三角形家 族的典型代表。那么，从数学的 角度来看，你对这两位老朋友了

9、解多少呢？角：(1)有一个角是直角/ C=(2)两个锐角互余；/ A+Z B=边：(1) 三角形两边的和大 于第三边；a+b>c(2) 在直角三角形中，斜 边大于任意一条直角边； c>a, c> b(3) 对于比较特殊的直角 三角形，如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等 于斜边的一半.这不是 本课重 占学八、? J 生回答 时教师 也简略 而过， 不必板 书和过 多延 伸。(2) 设置 问题一般的直角三角形，三边之 间究竟具有怎样的等量关系 呢？今天我们就来探索这一小 秘密。(板书课题：直角三角形三边关 系)学生渴求直角三角形的新知， 积极期待。2、合作探

10、究探索讨论交流(1) 尝试画直角 ABC使两直角边的长 分别是3cm 4cm用直尺量出斜同学们幸喜地发现正好斜边 正好是5作图边的长度（2） 发现 猜想找出这三条边有什么等量关 系？学生基于这个特殊的直角三 角形，发现了很多特殊的关 系。如（3+5） -2=4 3+4十 2=5 不能否 定，因 此再要 求画一 个直角 三角形（如果再画一个直角三角形，使 两直角边的长分别是5cm 12cm 用直尺量出斜边的长度。再找出这三条边有什么等量关 系。）两个直 角三角 形比 较，同 学自然明白上 面的式 子仅符 合第一 个直角 三角 形，而 它们共 有的规 律就是“两直 角边的 平方 和，等 于斜边 的

11、平 方。” 在学生 画图的 前提 下，再 展示几 何画板 课件， 动画演 示直角 三角形gt - aC. Ut It三边关 系。巩 固（3） 提示 帮助如图，以这个直角三角形三条边 的长度为边长，作三个正方形， 计算这三个正方形的面积，并观 察这三个正方形的面积有何等 量关系。3、师生互动（1） 总结 特殊 规律我们可以得到下面的结论：（1）以这个直角三角形两直角 边为边长的两个正方形的面积 之和等于以斜边为边长的正方 形的面积。S+S=S3（2）这个直角三角形的两直角 边的平方和等于斜边的平方。如 32+42=52学生总 结出 来，教 师板书（2） 提出 一般 规律是不是所有直角三角形都有这

12、 个性质呢？世界上许多数学家，先后用不同 方法证明了这个结论.我国把 它称为“勾股定理”4、定理展示勾股定理（gou-gu theorem）: 文字语言：在一个直角三角形 中：两直角边的平方和等于斜边 的平方。也就是说：如果直角三角形的两 直角边为，斜边为那么几何语言： ABC是直角三角 形（已知）（勾股定理）板书“勾股 定理”ABC是直角三 角形（已知）（勾股 定理）5、勾股史话人们对勾股定理的认识经历了 从特殊到一般的过程，这在世界 许多地区的数学原始文献中都 有反映.（1） 三边 古称同学们知道勾股定理这个名称 的由来吗？这是源于直角三角形的三边古弦称.股曲成直角，上半部分称为"

13、;勾",下半部分称为"股".我国古代学者又把直角三角形看作一把弓箭，所以，在直角三角形中，我们一般把较短的直角边叫做 勾,较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.早在几千年前西周时期,商高就当时学(2)商咼发现了这个结论,商高定理生很激IIII勾在古汉语里，人们将手臂弯定理即为勾股定理.勾股定理在我国古代数学中占有十分重要的地位，千百年来逐渐形成了一门以勾股定理及其应用为核心的中国式的几何学.动，为祖国的历史感到骄傲(3)II勾股定理"在国外，尤其在西学生很专心的听着老师的讲学生听百牛方被称为"毕达哥拉斯定理II完这个定理或"百牛定理他发现勾

14、股定介绍理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做"百牛定理".1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成.这张邮票也是为了纪念勾股定理这个伟大的发现.可毕达哥拉斯要比商高晚500多年，就因为我国那时没能流传出去，所以国外只承认"毕达哥拉斯定理II后，叹声一片，纷纷为祖国道不平，我顺势做起了思想工作，“现在科学如此发达，我们的学习条件又如此的好,我们更应努力学习,继续去完成前人未完成的事业，把-ic祖国的r". -Ph / 丫、贡献发扬光大，为 祖国争 光！”学生都 会意地 笑了。6、达标反馈(1) 新知

15、应用例 1、在 Rt ABC中, A吐 c,BC =a, AO b, / B=90 .(1) 已知 a=6,b=10,求c ；(2) 已知 a=24,c=25,求 b。寻找已知条件列式求解强调先 确定直 角或斜 边的重 要性练习1、 在Rt ABC中, AB=c,BC= a, AO b, / B=90 已知a=3,b=4,求c(2) 在 Rt ABC中, A吐c,BC = a, AO b,/ C=90已知a=3,b=4,求c(3) 如果一个直角三角形 的两条边长分别是3厘米和4厘 米，那么这个三角形的周长是多 少厘米？在前两 个练习 的铺垫 下，学 生很容 易理解 练习3 的用意、。例2、将长

16、为5.41米的梯子AC勾股定(2)斜靠在墙上，BC长为2.16米,理简单拓展引申求梯子上端A到墙的底端B的距的实际应用,离AB.(精确到0.01米)体会数 学源于 生活、 用于生 活的意 义。强 调要画 图，以 转化到 直角三 角形中 解题是例2练习2、将长为5米的梯子AC斜靠在墙上，梯脚与墙的距离BC长为2米，若将梯脚与墙的距离 拉到3米，求梯子的垂直咼度下 降多少米？(精确到0.01米)的变式 练习， 体会数 学的乐 趣。(3) 巩固 练习(1) 直角三角形一条直角边与斜边分别长为3cm 5cm则第三 边长为cm(2) 在厶 ABC中,/ C= Rt/ .若 a = 2、b= 3,则 c=

17、可根据 时间随 机而 定。若 a= 5、c = 13,则 b=;若 c = 61、b= 11,则 a=(3)如果等边三角形的周长为12cm则它的面积为cm(4)如图，隔湖有 两点A B,从与BA方向成直角 的BC方向上的点C,测得CA=50m,CB=40i求 AB.课外延伸这个部 分供学 生课后 探索，感受数 学情趣7、定理 证明世界上很多数学家用多种方法 证明了勾股定理，据说至今已经 找到的证明方法有五百多种，且 每年还会有所增加。下面我们就借助拼图的方法，探 究证明的思路.(1) 赵爽 弦图上图称为“弦图”，或“勾股圆 方图”，最早是由三国时期的数 学家赵爽在为周髀算经作注 时给出的下图是

18、在北京召开的 2002年国际数学家大会(TCW 2002)的会标，其图案正是“弦 图”，它标志着中国古代的数学 成就.设问：你能用不同方法表示大正 方形的面积吗？用四个准备好的完全相同的直角三角形，如图所示的图 形大正方形的面积可以表示 为又可以表示为对比两种表示方法，看看能 不能得到勾股定理的结论（2）用四个准备好的完全相同的直 辛卜角三角形，如图所示的图形 松图设问：你能用不同方法表示大正 方形的面积吗？大正方形的面积可以表 示为又可以表示为对比两种表示方法，看看能 不能得到勾股定理的结论（3）勾股定理是数学史上的一颗璀 总统璨明珠，它的证明在数学史上屡 证法 创奇迹，从毕达哥拉斯到现在，吸引着世界上无数的数学家、物 理学家、数学爱好者对它的探 究，甚至政界要人一一美国第20 任总统加菲尔德，也加入到对它 的探索证明中，如图是他当年设 计的证明方法。设问：你能用不同方法表示大正 方形的面积吗？大梯形的面积可以表示为又可以表示为 对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论8、 这个不起眼的图形有什么作用让学生勾股 呢？不要小看它哦！古希腊的数感受数之树学家 毕达哥拉斯就是利用这个 图形也证明了勾股定理.你能利用勾股定理的图形设计 出一棵勾股树吗？用这美丽的 数学图形来装饰我们的教室吧！学的 美。9、勾股名题九章算术中的勾股问