专题由递推关系求数列的通项公式含答案

1、WOR格式专题由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来 考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特 殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或 等比数列。二、典例精析n 一. 1-及1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式S1 n 2法。常用的公式有a nSnSn1等差数列和等比数列的通项公式。_例 已知数列 a n 中a 11 2，snn2 +2 ，求数

2、列 an的通项公式评注在运用anSnSn 1时要注意条件n 2，对n=1要验证。利用恒等式a n+ an 1求通项公式的方法叫累加法。它是求型2、累加法：-a1a2 a 1+ a 如的递推数列的方法（其中数列f n的前n11an 中 a 1，a n 1an +，求数列2n2+3n2an 1 an +f n例2已知数列项和可求）。 a n 的通项公式此类问题关键累加可消中间项，一）可求和则易得a n评注而f ( n3、.累乘法：利用恒等式anI4 =HF ()<'an 0求通项公式的方法叫累乘法。它是求型a1a2a3如a1 a 2an1an 1g n a n的递推数列的方法数列g

3、n可求前n项积专业资料整理例3已知数列 an中s n -1nan，求数列 a n的通项公式评注此类问题关键是化ang n an 1式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消4、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式凑配、消项变换如将阶线性递推公式V" 1|+_d_ an 1=q an，或消常数项转化为q 1q 1例4、已知数列an 中，a 1 1， a2ann 1的方法称为转化法。常用的转化途径有:+d ( q,为常数，q 0,1 ）通过凑配变an 1qandq成an - an 肿冃金盘卜-)21q a n1 an* (2，求数列1 nan

4、 的通项公式点评:此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列+ = （）倒数变换一一如将一阶分式递推公式an 1+an（c,d为非零常数）取倒数 得c anc已知数列 a n 中，ai1，a n i2an 1an求数列 a n 的通项公式点评：此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。如将一阶分式递推公式a n 1对数变换canpan0,c0, p 0, p 1 取对数lg可得lg a n 1 p lg a n c-二的通项公例6 已知数列 a n 中，a i 10, an 0，且a n 110a2，求数列 a n式点评：此类问题关键是取对数使其转化为关 于

5、an的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项 变换换兀变换 -如将一阶分式递推公式an 1qand（ q,d 为非零常数，q工1 , d工1 ）an 1q a n 1an变换成 +运j()d n 1ddnd ，令bnd n，则转化为一阶线性递推公式例7在数列 a n中，a11,a n 1 3si +2 nnN，求数列 a n 的通项公式评注：此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式qan （其中p，q均为常5、待定系数法递推公式为an 2 pan 1数）。解法：先把原递推公式转化为an 2 san 1 t（ a n 1 sa n ）s -t P其中s，t满足，再应用前面 转化法（4 ）

6、类型的方法求解。st q中，a 11, a 22 ,an an o例8 .已知数列an an 21求数列an的通项公式7、叠代法例9已知数列a n /的前n项和Sn满足S2a n ( 1) n , n&归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性， 这种方法叫归纳法。例10 数列 a n 满足Sn二2n an n N *,求数列 a n的通项公式四、实战演练21、2012辽宁卷 已知等比数列 an 为递 a5 = a10,2(an + an + 2) = 5an + 1，贝擞列 增数列，且 an的通项公式为a n= .在数列 a2、3n 中，a 1

7、,a n 1 an1n(n，求通项公式a n .1)汁：-3、设数列 a n是首项22为1的正项数列，且(n 1) an1nanan 1 an 0(n=1,2,3?)，则它的通项公式是 a n = 4、已知数列 a n ，其中a节1, a 2-2，且当n > 3 时，an 2a n 1an 2亠一1，求通项公式 an5、设正数列ao , a 1 , an?, a,?满足an a n 2an 1 a n 2 = 2a n 1(n 2)且 a 0 a11,求 a n 的通项公式五、能力提升(逆推法)已知数 an 的前n 项和Sn与an满足：an列Sn ,S n( 一an 的前n项和Sn-1

8、(n 2)成等比数列，21，求数且a列点评： 本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列an的前n项和Sn的递推公式，是一种最佳解法由递推关系求数列的通项公式答案例 1 解：当 H= f(: _ ) 2 n2 由 an Sn Sn i = n +2- f 1 +2 = 2n 1由 a n 1 sn 1 s n = 1 n 1 a_ana1a2 a 3anan=1 1 2 3n 2 n 1=1a1 a 212345 _严 n n 1 in n Ja 彳一n i - n 'n 11 na n可得请 认齡：ann 2当n=1时也成立。故有 a n 1=-3,n1当n1时

9、a1S13不满足故a nl -2n1,n2+ -1 + 1丄1十1例2解:由aa +可知aay平n仁jai2n +3n 2-_) n1J 1 "Til2 -nfiU-n.1.21+jana1a2+aa ,二n 1 1 +1 11111=nn 2 22 334nn 1n 1n当n 1时也成立。故有于n =二- n 1解：当n=1 时由昇例 3a1 -i + iS1 一 1 a1 可得 a 12解法二（消项变换）+ 一2a, 11 ._an 12an1- +. +-得an是首项为2的等比an书an2 a nJ .JEan 1 n 2，故数列-tf'1ana2a12公比为数为2，公

10、比为2的等比数列，例4解法n n1* * '土s査壬n匚乜巴吕卜連芒13 iE ii凑配变换:由a n2cn 11可得a1 2 a1，又a1 2，故数列 a 1是首项曲1逼-滅左舟n-n 一 -1nan1 -2 - 2n 1，即 an 2n 1列即a n 1 aSk_2nn 2 ，再用累加法得an2n 1例解：由an +51川：a n可得112即11 2 2an1an 1anan 1是以1为首2为公差的等差数=1+2 ( n-1),即数列 1项列。1a1anan2n例6 解：由a n 0 ,且a n i10ch2 可得 Ig a n i 1 2lg a n，即'9 an 112

11、Ig a n 1数列an+ 1是以lg a+ =2为首项I 1 以2为公比的等比数列lg a=2n 即 a n 1c2nan 1解：由an3an +2可得_n 12an0 | p1n121(21)令 bnL 1bn3 bn2数列b n是以为首项以2+an3为公比的等比数列即2bn2n2瞪=一241可转化为弓iJ 巾由ananan_sa n-t (a21an2 13321sts 1R3s或(s t) an 1sta n1a1t4.+二st【+亠餐3t3-仁3an811sn_1a n 2n -即a nnn324这里不妨选用(当然也可选用-tan 1 an1(a n 1 = an-) -an3-,应

12、用类型-J的方法分别令1an首项为即 a n a1例-9anan 11 )n131 0 -)-(3+，所以an解：由a 1 S2时，有an2an 12 (2an 22一1,2,3,(Sn1)(1)1-1742a1?1) n3ai2( ana2sa )n3,大家可以试一试)，则a11，公比为的等比数列，所以_1 n()3an 11)n52.31)，代入上式得(n1)个等式累加 之，an 22n 1a1 2 n 1 ( 1) 2n 2(1)2 ( 1) n12n 1n122 2 n31)n (1)2)n 1( 2)n 2n 21( 2)n 11)n 1.(2)经验证a11也满足上式，所以an2 2

13、 n 2(1)n 1 an 1an2an 123anan2ai 12(1) n1 ,方法二、2 22()(1) n(1) n 1(1) n3(1) n 13公比为-构造数列an22首项为 1的等比数列（以下略）(1)n 3337152n 1例10解：易下面用数学归纳法证明：当求a11,a 2, a3, a 4，由此可猜想a nn 1n1248221=1,猜想成时，左边=a i 1,右边=1 1立；2假设n=k时命题成立，即k2 1ak，那么由已知 Sk 2kak2k 1Sk 12( k1) a k 1由-可得a k12ak 1aka2k12 k 1 1 2 k 1 111时命题也成ak 11k

14、 = 1k=kk 1，即当nk 立。2 22 2由，可知命题对任何n N *都成立。此类问题关键是利用归纳假设点评：的ak 证明 n=k+1时命题成立。方法二、n1时 a 1S2 a 1 a 1 11时2 (n 1 )n2anSnSn1 ( 2 n a)n ama rta1n1可构造等比数列（以下 略）四、实战演练由已知条件 an为等比数列，可 知，n+ an +2)=2(a5an+1? 2(a n +an2 q厂 2qn=5a q?2 5q + 2=0?q =1或2,又因为 an是递增数所以q =22.由 a 5 = a 10 得a 5= q5 = 32 ,所以a1= 2 ,n1a n= a

15、q=2列，2n.2、（累加法）解：原递推式可化为：an 1an11则a 2a11 1a3a211nn 11 223仁（公式解析本小题主要考查等比数列的概念与性解题的突破口为灵活应用等比数列法）2 n质.通项变形式，是解决问题关键.a /a4a311 , ?, a n n 11 11逐项相加得:ana111 .故 a n 41 .3 43、（累乘法）解：原递推式可化为:(n 1)ananf(a.£ 1an )=0a n ian > 0 ,-x=_anfla21a32 a43ann 1an 1 J?->逐项相乘得:a12 a 23 a 34（换元法与累加法的综合）ai2an11 得:(a)(anr1bn 1bnanan 1，则上式为b n 1，因此21列，b是一个等差数b1a2 a,公差1.故由于b 1 b2又b 1b2a2n(na11)a3a2+a ann 121），即 解（换元法与累乘法综合）将递推式两边同除以ananan 1 an 2整理得:an2anI b nanan 12bn 1逐项相乘得:（2，则a1aobn1)21故 a n-(2 1) 2 (2 2 1)2an1 (n 2 n 2)-2 _五、能力