专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案

1、t n蚂蚁爬行的最短路径1.一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5 , -3 , +10 , -8 , -9 , +12 ,-10 .-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910*回答下列问题：(1) 蚂蚁最后是否回到出发点0 ；(2) 在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.解：(1 )否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到 0;(2) (|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+1-9|+|+12|+|-10|) X2=114 粒2.如图，边长为 1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A

2、出发沿着正方体的外表面爬到顶点最短距离是第6题解：如图将正方体展开，根据/2 + 2 _AB= 215 .“两点之间，线段最短 ”知，线段AB即为最短路线.3. ( 2006?茂名)如图，点 A、B分别是棱长为 2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 cm第3页共19页解：由题意得，从点2+2=4 4 .如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A. A? P? BB A? Q? BC A? R? BD A? S? BB解：根据两点之间线段最短可知选A .故选A .2,5.如图，点 A的正方体左侧面的中心，点B是正方体

3、的一个顶点，正方体的棱长为蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）解：如图，AB= 12110 故选C t n6.正方体盒子的棱长为2 ,BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为解：展开正方体的点M所在的面，v BC的中点为 M ,所以 MC = 1 bc =1何+ (1+2)2 皿2 ，在直角三角形中AM=7.如图，点A和点B分别是棱长为 20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由 A处向B处爬行，所走最短 cm。B解：将盒子展开，如图所示：1111AB=CD =DF +FC= EF+ GF=X20+X20=20cm .2 2 2 2故选C.第7页共19页3.

4、正方体盒子的棱长为 为2, BC的中点为 M，一只蚂蚁从A点爬行到 M点的最短距离解：将正方体展开，连接M、D1 ,根据两点之间线段最短，MD =MC +CD =1+2=3，DDMD 1 =MD9 .如图所示一棱长为假设一只蚂蚁每秒爬行3cm的正方体，把所有的面均分成3 X3个小正方形.其边长都为2 cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用1 cm,2.5的路线.(1)展开前面右面由勾股定理得(2)展开底面右面由勾股定理得AB=5cm ;秒钟解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短讥2+3尸+11 V55AB=厂二十十=cm;t n10 .

5、 （2009?恩施州）如图，长方体的长为一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点所以最短路径长为5cm，用时最少：5*2=2.5秒.15，宽为10，高为 20，点 B离点 C的距离为 5， A爬到点B，需要爬行的最短距离是。解：将长方体展开，连接根据两点之间线段最短，AB=25.C1处（三D1C解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1, ABC1是直角三角形，C二 AC1= AB4. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为第5页共19页t n12 .如图所示：有一个长、宽都是 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为2米，高为3

6、米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B米。解：由题意得，路径一：AB= HO卜2：十护=；路径二：AB= 7（2+2）2+32 =5 ；路径三：AB= V（3tl2）24-22=；二5米为最短路径.13 .如图，直四棱柱侧棱长为4 cm，底面是长为 5cm宽为3cm的长方形. 一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B .求：（1 ）蚂蚁经过的最短路程;（2 ）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程.S解：（1 ） AB的长就为最短路线.然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为(cm)；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为也4 + 3)052 二 V丙(cm),或血+ 5）032

7、二恋（cm）所以蚂蚁经过的最短路程是cm .(2)5cm+4 cm+5 cm+4 cm+3 cm+4 cm+5cm =30cm ,最长路程是 30cm .第11页共19页t n14 .如图，在一个长为 50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？解：图1图2中，图3中，二采用图E1S2中，4&二咚L十80女二4:0/5讯阳公cm.AB v902+3t)2 = 30V10*94.7 cm.AB = V502+702 = 20VI5e 775 cm.3的爬法路程最短，为址0#j5cm第17页共19页15 .如图，长方体的长、宽、高

8、分别为6cm , 8cm , 4cm . 一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点B .则蚂蚁爬行的最短路径的长是解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm ,则所走的最短线段是Vn5 + S=6cm ； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm ,所以走的最短线段是=cm ；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm，所以走的最短线段是#14咎卜恥=2cm ；三种情况比较而言，第二种情况最短.16 .如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高

9、分别为20cm、3cm、2 cm . A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm20解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为(2+3 ) X3cm ,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程为xcm ,2 2 2 2由勾股定理得：X=20 + ( 2+3) X3 =25 ,解得x=25 .故答案为 25.5cm , 3cm 和 1cm , A 和 B17 .如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到

10、B点去吃可口的食物 .请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是TTPcm。解：将台阶展开，如下图，因为 AC=3 X3+1 X3=12 , BC =5,2 2 2所以 AB+BC =169 ,=AC所以 AB=13 ( cm),所以蚂蚁爬行的最短线路为13 cm.答：蚂蚁爬行的最短线路为13 cm .2cm 和4cm，高为 5cm .若一只蚂蚁从18 .（ 2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为P点开始经过 4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm .解:v PA= 2 X ( 4+2 ) =12 , QA=5二 PQ =13 .故答案为：13.19

11、.如图，一块长方体砖宽AN =5 cm，长 ND =10 cm , CD上的点 B距地面的高 BD =8 cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接 AB ,则AB的长即为 A处到B处的最短路程.解：在Rt ABD中，t n因为 AD =AN + ND =5+10=15 , BD =8,2 2 2 2 2 2所以 AB+BD =15 +8 =289=17=AD所以 AB=17 cm .故蚂蚁爬行的最短路径为17cm .20 . （2009?佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙） 一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表

12、面爬到柜角C1处.（1 ）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2 ）当AB=4 , BC =4 , CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点B1到最短路径的距离.解：（1 ）如图，奋用图木柜的表面展开图是两个矩形ABC 1D1和ACC 1A1.故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AU 和AC1. （2 分）（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1,/i = 12,故最短路径的长是.（5分）(3)作 B1E丄 AC1 于 E,?为所求.(8 分)第19页共19页21 .有一圆柱体如图，高4cm，底面半径 5cm , A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离

13、t njfl I第2题解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离.C , D分别是 BE , AF的中点AF =2 ?5=10 n AD =5 nAC=2 CD、 2AD16cm.故答案为：16cm .22 .有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为2 2解：AB= 512第3题6若圆柱底面半径为23 .如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1,高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为第11页19页t n第12页共19页解：因为圆柱底面圆的周长为2nX=12，高为5,所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，根据勾股定理，

14、对角线长为V5a+122=13 .24 .如图，一圆柱体的底面周长为点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点故蚂蚁爬行的最短距离为24cm，高 AB为9cm , BC是上底面的直径.一只蚂蚁从C ,则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示:由于圆柱体的底面周长为24cm ,则 AD =24 X =12 cm .2又因为 CD =AB=9cm ,V122+93所以 AC=15 cm .故蚂蚁从点 A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm .故答案为：15.25 . （ 2006?荆州）有一圆柱体高为 10cm，底面圆的半径为 4cm, AA1, BB 1为相对的两条母 线.在 AA1上有一个蜘蛛

15、Q , QA =3cm ;在BB1上有一只苍蝇 P , PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P点吃苍蝇，最短的路径是cm.（结果用带n和根号的式子表示）t n第31页共19页aV JB4 n和5的直角三角形中，A处爬行到对解：QA=3 , PBi=2,即可把PQ放到一个直角边是根据勾股定理得：QP=26 .同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从面的中点 B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.A处爬行到侧棱 GF上的中点 MA、B分别位于如图所示的位置，问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.解：如

16、图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则连接AB，即是这条最短路线图.如图，将正方体中面AABCD和面 CBFG展开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所示的位置，连接AM,即是这条最短路线图.27 .如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm,假若点 B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点 P处的食物，那么它爬行的最短路程Bfp第5题解：圆锥的底面周长是4 n,贝V 4n 4180二n = 180 即圆锥侧面展开图的圆心角是180 二在圆锥侧面展开图中AP=2 , AB=4 ,/ BAP =90 ,二在圆锥侧面展开图中BP=202 5 ,二这只蚂蚁爬

17、行的最短距离是2 5 cm.故答案是：2 5 cm .28 .如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线1=5 dm, AB为底面直径，C为底面圆周上一点,/ COB =150 D 为 VB 上一点，VD= V?dm蚂蚁爬行的最短路程是（）现有一只蚂蚁， 沿圆锥表面从点 C爬到D .贝VrxIT5-2解:设弧BC所对的圆心角的度数为n,5 k 71兀冯5=解得n=90 ,:丄 CVD =90 ,CD= V52 1-7=4,29 .已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且 /AOA1=120 只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程长为 。解：连

18、接 AA，作 OC丄AA于C,.圆锥的母线长为5cm , / AOA 1=120 .AA =A2C=53 .30 .如图，底面半径为1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是解：由题意知，底面圆的直径为2,故底面周长等于2n.4 n180设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，解得n=90 ，所以展开图中圆心角为90 根据勾股定理求得到点31 . （2006?南充）如图，底面半径为1，母线长为 4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是。pA解：由题意知底面圆的直径=2 ,故底面周长等于

19、2n.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2 n= 4n ,180解得n=90 ,所以展开图中的圆心角为 90 根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为4 2.32 .（2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为蚂蚁从点 A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点2，母线 PB的长为 6, D为PB的中点.一只D，则蚂蚁爬行的最短路程为。t n第35页共19页解：由题意知，底面圆的直径AB =4,hD故底面周长等于4n.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4 n=2n 6360P解得 n=120 , 所以展开图中 / APD =120 2=60 根据勾股定理求得AD=所以蚂蚁爬行的最短距离为33 .如图，圆锥底面半径为r，母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从 A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.则蚂蚁运动