一类轨迹问题的探求阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线

1、一类轨迹问题的探求(阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线)专题：一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于PA + PB = 2a，我们可以进一步研究： DAPA PB = 2仏PA.PB = 2么=2"，各自的轨迹方程如何？ PB引例：已知点M(x,y)与两泄点O(0.0),A(3,0)的距离之比为*,那么点M的坐标应满足什 么关系？(必修2 P103探究拓展)探处 已知动点M与两泄点A、3的距离之比为2(2>0),那么点M的轨迹是什么？背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米徳被称为亚历山大时期 数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要

2、研究成果集中在他的代表作圆锥 曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一类题X (1994,全国卷)已知直角坐标平而上点0(2, 0)和圆Cd+yM, 动点M到圆C的切线长与IM0I的比等于常数4(久>0).求动点M的轨 迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考査曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设切圆于N,则动点M组成的集合是P=MILWM= X MQ,式中常数 X >0.因为圆的半径IONU 所以IMNTMOI2-IONIJIMO卩一 1.设点 A/的坐标为(x, y),则 y/x2+y2-l=2y/(x-2)2+y25 分整理得(入

3、2 "(W+y2 )4 X “+(1+4 X 2)=0.经检验.坐标适合这个方程的点都属于集合P故这个方程为所求的轨迹方程.8分5 / 8当入=1时，方程化为心？，它表示一条宜线，该直线与兀轴垂直且交x轴于点（丄，0）, 442 J 21 1 a 1 2当入H1时，方程化为（x 5 ）2+y2= 齐它表示圆，力 一1（A2-lf2兄2该圆圆心的坐标为（一A _ 1,0）,半径为Qi12分类题2： （2008,江苏）满足条件AB = 2. AC =的AABC的面积的最大值是 类题3： （2002,全国）已知点P到两左点N（l,0）距离的比为JI,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方

4、程 解：设P的坐标为（兀刃，由题意有竺即I PN IJ(x + l)2+y2 =、伍 J(x_l)2+y2 ,整理得 x2 + r-6x + l=0因为点N到PM的距离为1, IMNA2所以PMN = 30。，直线PM的斜率为土二，直线的方程为y = ±H（x + l）3 a(x+l)KAx2+y2 一6兀+1 = 0整理得，一4“1=0解得x = 2 + VJ, x = 2-V3则点 P 坐标为（2 + V3,l + V3）或（2 - 巧，-1 + V3）（2 +巧,一1一J5）或（2 命,1一巧），直线PN的方程为y = x- 1或），=x + l.类题4： （2006,四川）已

5、知两泄点A（-2,0）, B（l,0）,如果动点P满足条件= 则 点P的轨迹所包围的图形的面积等于类题5： （2011,浙江）RQ是两个注点，点M为平而内的动点，且田 =2（2 > 0且2丰1）,|M0|一类轨迹问题的探求(阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线)点M的轨迹用成的平而区域的而积为S,设5 =/(A),试判断函数的单调性.引例:(2011,北京)曲线C是平面内与两个定点耳(-1,0)和耳(1,0)的距离的积等于常数«2(6/>1)的点的轨迹给岀下列三个结论： 曲线C过坐标原点： 曲线c关于坐标原点对称： 若点P在曲线C上，则厶FxPF2的面积不大于2其中正确命题的序号为

6、背景展示：在数学史上，到两个顶点(叫做焦点)的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西 尼卵形线(Cassini Oval),乔凡尼多美尼科卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学 家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年，他发现土星光环中间有 条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个 多世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对上星研究的贡献，当代人类探测 丄星的探测器"卡四尼号”即以他的名字命名。卡西尼卵形线是1675年他在研究上星及 英卫星的运行规律时发现的。探究：设两定点为片迅，且|斤列=2,动点P满足|P用|昭| = /(

7、“0且为定值), 取直线斤竹作为*轴，斤耳的垂直平分线为y轴建立平而直角坐标系，设Pd，y)，则 J(x + 1)2 +卫 Tl)2 +戸=/整理得：(疋 +),2)2 _ 2(x2-/) = «2-1解得：>-2 = (-X1 -1) + a/4x2 +C11 (-a<x2 <+a )于是曲线C的方程可化为y2 = （一£ 一 1） + 如+“2 （1-6/<x2<l + «）对于常数a>0,可讨论如下六种情况：（1）当d=0时，图像变为两个点耳（一1,0）,坊（1,0）：（2）当0 VGV1时，图像分为两支封闭曲线，随着d的

8、减小而分别向点你竹收缩;（3）当。=1时，图像成8字形自相交叉，称为双纽线：当lv“v忑时，图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰:（5）当（匸近时，与前种情况一样，但曲线中部变平；（6）当a>2时，曲线中部凸起。北京髙考题的背景即为本研究的4-6里研究的结论；学有余力的同学可作进一步思考：思考1：若将“两肚点”之一变为“立直线”，那么距离之比为左值的动点轨迹是什么？思考2：若将“两定点”之一变为“泄直线”，那么距离之和为定值的动点轨迹是什么？思考3：到泄点的距离与到左直线的距离的k倍之和为立值的泄点轨迹是什么？思考4：到泄点的距离与到立直线的距离之差（的绝对值）为左值的泄

9、点轨迹是什么？思考5：到定点的距离与到立直线的距离之积为左值的左点轨迹是什么？化简得36 27故点P的轨迹C是椭圆+= l在直线x=2的右侧ftJ2一类轨迹问题的探求（阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线）在高考试题中常常以这类轨迹问题的探究为背景来设计考查综合能力的试题，如1. （2009湖南）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F （3,0）的距离的4倍与它到直线 x=2的距离的3倍之和记为，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与"之和（I）求点P的轨迹C：（II）设过点F的直线/与轨迹C相交于M, N两点，求线段MN长度的最大值。解（I）设点 P 的坐标为（x, y）,则d = 47（x-3

10、）2-y2+3| x-2|由题设当x>2时，由得7（x-3）2+/ =6-x,2当x<2时由得J（3 + x），+才=3 + x,化简得/ =12x部分与抛物线C?: >-2 = 12x在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（II ）如图2所示，易知直线x=2与G , C2的交点都是A （2, 2y/6 ）, B （2, 一2鸟），直线 AF, BF 的斜率分 别为 kAF = 26 , kBf. =2/6 .当点P在q上时，由知PF = 6-x.2当点P在C2上时，由知|PF| = 3+x若直线1的斜率k存在，则直线1的方程为y = k（x

11、-3）（i）当kWg，或灯-即k£2点时，直线I与轨迹C的两个交点M （ xI,儿）,一类轨迹问题的探求（阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线）N （x,儿）都在C 上，此时由知 I MF I = 6 - - X. | NF | = 6 - - x2 2 2从而 I MN | = I MF | + I NF | = （6 - - X, ） + （6 丄 x ） =12 -丄（x.+x ）2 2 2 2y = k（x-3）由兀22得（3 + 4疋）/一24汽丫 + 36/-108 = 0则州，”是这个方程的两根,+ = 1136 272k23+ 4疋24k2所以旺 + x.= * I MN |

12、=12- 一 （ x, + x ） =123 + 4k2因为当k 5 2点，或k > 2JS时，疋> 24, |MN| = 12-丄匚=12-=巴当且仅当k=±2y/6时，等号成立。I I3 + 4 疋丄 11(2)当kAE <k<k,-2y/6 <k<26,直线L与轨迹C的两个交点MgyJNg，" 分别在G，C2上，不妨设点M在G上，点C?上，则知，MF = 6-xlNF = 3+x22设直线AF与椭圆C.的另一交点为E(x0,y0),则<xpx2<2.MF = 6-x<6-x() = EFiNF = 3 + x2&l

13、t;3 + 2 = AF2 2所vxMN = MF+NF < EF + |4F| = AE u 而点 A, E 都在 C；上，且kAE = -2>/6,有(1)知|肚| =罟，所以|MN| v罟 若直线的斜率不存在，则x1 = x2=3,此时|MN| = 12 (州+花)=9<罟 综上所述，线段MN长度的最大值为竺112. (2011,湖南文科髙考试题)已知平面内一动点P到点F(hO)的距离与点戸到，轴的距离的差等于1.（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线厶丿2,设厶与轨迹c相交于点A,B, I与 轨迹C相交于点D、E,求而,而的最小值.

14、21.解析：（I）设动点P的坐标为（x,y）,由题意为 yl（x-l）2+y2-x=.化简得 /=2x + 2lxl,当b =仏;当兀 < 01 时，y二0.、所以动点P的轨迹C的方程为，/ = 4x（x > 0）和y二0 （x < 0）.（II）由题意知，直线厶的斜率存在且不为0,设为贝仏的方程为y = k（xl）. 由 fv = k（x一 1）,得疋疋 一（2疋 + 4）x + / = 0.）厂=4x设A（ap >）, B（x2,儿）,则x,x2是上述方程的两个实根，于是c 4,召 + “2 = 2 + 2，= 1 因为L所以匚的斜率为- +设D（x3,儿）,Bg,儿）,则同理可得召+兀=2 + 4