+二维随机变量及其分布

1、2009智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计第三章二维随机变量及其分布2008年考试内容多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布2008年考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分 布、边缘分布和条件分布，理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随 机变量相关事件的概率。2. 理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条

2、件。23. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N （ 1, 2； 1,）的概率密度，理解其中参数的概率意义。4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。本章构架|本章的核心内容是 离散三分布（联合、边缘和条件）；连续三密度（联合、边缘和 条件）；均匀与正态。介绍了作者原创的三个秘技（直角分割法、平移法和旋转法） 求分布问题。本章是教育部关于概率论大题命题的重点。一、二维随机变量（向量）的分布函数1.1二维随机变量（向量）的分布函数的一般定义X, Y是二维随机变量，对任意实数X和y，称F（x, y） PX x, Y y P X x Y y P AB为X, Y的分

3、布函数，又称 联合分布函数。 F x, y具有一维随机变量分布类似的性质。 0 F x, y 1 ; F x, y对x和y都是单调非减的，如 x2 F xn y F x2, y ; F x, y对x和y都是右连续； F ,Jim F x, y 1, F ,F x,F , y 0,x5592009智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计576 F x, y几何意义：表示F x, y在x, y的函数值就是随机点 X, Y在X x左侧和Y方的无穷矩形内的概率。对有限矩形域有：P xiXX2,yi丫讨2F(X2,y2)F(xi,y2)F(X2,yjF(xyj1.2二维离散型随机变量的联合分布律设

4、X, Y的一切可能取值为x, yj;i, j 1,2,，且X, Y取各对可能值的概率为P X 冷丫yjPj，则 F(x, y)P X x, Y yP称为联合分布律。x x yj y设事件AXXi,Bj丫yj，根据全概率公式有P XxipAnP Bjj 1P An|BjP ABjj 1nPjP.j 1P YyjpBjnP Ai 1P Bjn|AiP ABji 1nPjPji 1所以我们定义:Fx(x)PjP.及Fx(x)RjPj分别称为X，丫的边缘分布律j 1i 1评注已知联合分布，可求出全部边缘分布，反之不然。如已知22fX x N 1, 1f x, y N i,2； i ,2；2fY y N

5、2, 2反之则却确定不了，还必须另给条件。【例1】根据下表求P X 1, Y 3及P X 1和P Y 1。X12310.10.302000.230.10.10400.20解:P X 1, Y 3P X 2,Y3P X 2,Y4 P X 3,Y3 P X 3,Y40.1 0.20 00.3P X 1 P X 1, Y 1,2,3,40.1 0 0.1 0 0.2(边缘分布)；(边缘分布)P Y 1 P X 1,2,3, Y 10.1 0.3 0 0.41.3二维连续型随机变量的联合概率密度1.3.1联合分布函数与联合概率密度连续型联合分布函数：x yF(x,y) P X x,Y yf(u,v)d

6、udvf(u,v)dudv直角分割区域正概率区间D区域D按照陈氏直角分割法 确定且有联合概率密度：2匸fF x,yf x,yx y1.3.2边缘分布的概率密度Fx x F x,xf x, y dy dxfx xdFx xf x, y dydxydFY yFx x F, yf x, y dx dyfY yf x, y dxdy评 注|二维连续型 X, Y的两个分量X, Y还是连续型，但两个分量都是连续型的随机变量的 二维随机变量却不一定是连续型，即可能成为既非连续型，又非离散型。【例2】已知二维随机变量X,Y N2j12, 2，求边缘分布概率密度解:f X, y1 (x 1)2 22 1 212

7、2x 1 y 2 y 2 21 2 2fx xx, y dy2e由于1 22x 11e"2 1 2dX 12121 "21dyx 11 TTx e2 1t2e 7dtX 1 2/r 21 N同理 fY yeV222y 22 22 2 N2, I，可见二维正态分布的两个边缘分布仍然是正态分布。1.3.3三分三密决定随机变量的相互独立性二元分布有联合、边缘和条件形式共三种分分布函数和三种密度函数，简称：三分三密。一般型：任意X1丄，Xn的联合分布函数F X1,L ,Xn满足F Xp X2L,XnFx1X1Fx2X2LFxnXn时，称X1，L,Xn 相互独立。注意，可以证明，这个

8、定义与前面的用事件的概率来定义事件之间的独立性是完全等价的二维离散型：X, Y相互独立的充要条件是 Pij Pi二维连续型：X, Y相互独立的充要条件是 f x, yfX x fY y如果f x,y在规则区域，如矩形区间等，具有分离变量形式，即f x, y g x h yx a,b , y c, d ，则 X, Y 一定相互独立。如f x, y 8xy 0 x 1, 0 y 1中X, Y就一定不独立。注意g x , h y 不是边缘分布。如f x, y 8xy 0 x y, 0 y 1，存在不规则区间，故 X, Y不独立。如果上述两个条件一个都不满足，则一般不独立。二维正态型和随机变量只取二值

9、型：X, Y相互独立的充要条件是相关系数0，即X, Y不相关。 如果Xi N i,'，且Xi相互独立，则n n n 2ZKXiNKi,ki ii 1i 1i 1设随机向量 X1,L ,Xm 和 Y,L ,Yn 及 X1,L ,Xm； ¥,L ,Yn 满足FX1,L,Xm；y1丄，F1X1,L,XmF?y1,L, yn则称X1,L ,Xm与Y,L ,Yn相互独立；此时，Xi与Yi必相互独立；并且，任意函数分布g X1,L ,Xm与h Y,L ,Yn也相互独立，如随机变量Xi,X2相互独立，则随机变量的函数f Xi与g X2必相互独立，但f Xi,X2 与g X1, X2却不一定

10、独立。设随机变量X1, X2, L , Xn相互独立，它们的联合分布函数为 FXi xi ，贝UMMax Xi, X2, L , Xn Fmhx zPM z Fxiz Fx2 zLFxnzNMin Xi, X2, L , XnFMin zP Nz 11Fx z1Fx?zL Fx.zFx1 z Fx2 z L Fxn z F xnn 1M Max X1, X2, L , Xn FMax z P M z F z fMax x nf x F znn 1N Min X1, X2, L , XnFm z P N z 11 F z fMin xnf x 1 F z X, Y相互独立，如X, Y的联合密度函

11、数为f x, y ，则Z aX bYfZ zfX x fY ax dxfX by fY y dyba形象记忆掌握法：这个公式特别有规律，在形式上，只要从 z ax by中解出y 三空代换 bfY y中的y，或者从 z ax by中解出x三旦代换fx x中的x即可。 a 4类可加性分布（其余分布不可加） X, Y 相互独立，X B m, p , Y B n, p，贝UZ X YBm n, p X, Y 相互独立，X P , , Y P 2 ， 贝UZ X Y P 12但泊松分布不存在线性性，即丫 aX b不再是泊松分布。 X, Y 相互独立，X N 1,12 , Y N 2,；，则Z X YN如

12、果X, Y不独立，则Z X Y N2, X, Y 相互独立，X 2 n1 , Y 2 n2，则Z X Y 2 n,n2 '模球模型1 如口第i 屮幺球在有若干个红球和黑球的箱中逐次随机取一球，令Xj，丄“ 红丄 i 1,2，则'0,如第i取出黑球不管放回与否，Xi和X2同分布，但放回抽样时Xi和X2独立，不放回抽样时Xi和X2不独立1.4 .离散型与连续型分布函数的关系P N X X2，yi Y y2f x, y dxdy证明:P xiXX2, yi丫y2F(X2,y2) F(xi,y2) F(X2,yJ F(xi,yjP X X',Y yj P x X x dx, y

13、 Y y dyF(x dx,y dy) F(x dx, y) F(x, y dy) F(x, y)Fy(x dx, y)dy Fx(x,y)dyFXy(x, y)dxdy f x, y dxdyi.5条件分布i.5.i离散型PX | Y yjP XXi, YyjP Y yjPijP.ji, j =i,2也Pi.PY yj | X <【例3】已知X, Y的联合分布律表，求Y i条件下的X分布律。7、i234Py YyjIiiii2548I2I64820i丄丄I38I2I648i2I0300I2I648PxX X'ii丄ii4444解：先求出所有的边缘分布，如上表，于是P X 1Y

14、12 Y 13Y 14 Y 1P X 1,Y 112512_P Y 14 4825125684825125412482512531.5.2连续型f x, yfx|Yx|yfY yf x, yfY|X y|xfx x证明:P X x, y YyP y Yyx,y dy dxxf x, 1 dxxf x, 1 dxfY y dyfYfYx f x,-dxfY 2y, y0x f x,fY yf x|yxfdxfY yf x, yfY y同理:fYix y |xf x, y例 4】 设 X, Y N 0, 0; 1, 1;解：因为f x, yN 0, 0;又，fx xe 2,fY yf x, yf

15、x,yfXYfY y1 e首x2 2 xy y212 1 21, 1;e，2.'12，求 fxY xy 与 gx y x 。2x y121 22e N2y, 12 116 4825X1234P 1264P 3P25252525fY|Xf X, yf x, yfx x1 叮7TeX, 12可见正态分布的两个边缘分布仍然是正态分布。般地X, Y NfXYN112y2 ,2112fY|XN22x1 ,22121而且，从上式可以看出，当0,即X, Y独立或不相关时，两个正态边缘分布和条件分布相同。1.6连续型分布的概率密度、边缘密度和条件密度函数的关系乘法公式全概率公式贝叶斯公式二维随机变量f

16、 X, yxy fx x fY|x y | xfY y fxY x | yp p.pjiiPjRijfx xfx|Y x| yf x, y dyfY y fx|Y x|y dyfx_x_fY|x_y|xfY yx, Y的联合分布唯一地确定两个边缘分布、条件分布；但反之不然。若x, Y独立，由两个边缘分布可以确定联合分布；若 x, Y不独立，则由一个边缘分布再加上 个对应的条件分布才能确定联合分布（参看上述乘法公式）。二、2大二维连续型分布函数（其它的多维分布函数不是考点）1 二维均匀分布1I,x, y Df x,ySD U D0,other评 注|设x, Y服从非矩形区域、圆形区域 D x,

17、y |x2 y2 r2等上的均匀分布，则两 个边缘分布都不是均匀分布，但两个条件分布都是均匀分布。设X, Y服从D x, y |a x b, c x d上的均匀分布，则两个边缘分布和两个条件分布都是对应的一维均匀分布，而且 X, Y独立2二维正态分布2 2f x, yi2.2 ；（X 1）2 X 1 y 2 y 2 21 2 2 1 2 ；-e2评注 设二维随机变量X, Y N 1, 2； 12,；，则X, Y线性组合Z GX CY N G 1 C2 2, C12 12 d ； 2C1C2 1 2仍然是正态分布；但任意两个正态随机变量的线性组合却不一定是正态分布；两个边缘分布都是正态分布的二维

18、随机变量也不 一定是正态分布。三、6大二维函数的分布函数及其模型（简称函数分布X, Y）1 备用模型Z X Y FZ z PZz P X Y z1.1离散型直接计算Z的分布律。【例5】4121520320求 Z X Y 和 Z XY。12320202612020解：先列出Z的分布律，如下表P520220620320320120X, Y1, 11,11,22, 12,12,2Z X Y201134Z XY112224从表中看出：Z X Y 2, 0, 1, 3, 4P X Y 2 P X 1丫 12020PXY1 P X 1丫2 PX 2,Y1 £ "20 20 203201

19、20于是Z X Y的分布律如下Z X Y-20134P520220920320120同理可得到Z XY的分布律如下1.2连续型XY-20134P420220520320120设X, Y的概率密度为f (x, y)，则分布函数Fz zP Z yf x, y dxdyx y zx y z是x y z及其左下方的半平面，则Fz zf x,y dxdyx y zz yf x, y dx dy令x u y，并交换积分次序u y, y dy dufz zFz zf z y,ydy即得备用模型的连续型公式由于X,Y的轮换对称性，易知fZ z FZ z f x, z x dxfZ zf z y, y dy f

20、 x, z x dx如果X,Y独立，则可写成下述卷积形式fz zfx z y fY ydy fx fyfz zfx x fY z x dx fY fxfx fY即得备用模型的连续型公式fz zfx z y fy y dyfx x fY z x dx fx fY评注 备用模型是常年考点，它的一般形式更重要，在独立性结论中已经列举过，希望读者仿 照上诉方法务必反复推导三次，领会其一般思想，切不可硬背。如果存在非正规区域（即：积 分区域不能用一项表示出来），则需要使用平移法划分为若干个正规区域。2并联模型一M Max X, 丫和串联模型一N Min X, Y，X, Y独立F Max zP M zP

21、X乙丫zP Xz P Y zFx z Fy zF Min zP N z1 PNz1PX乙丫z 1P X z PY z1 1P X z 1 PYz11Fxz 1 Fy z一般地:FmaxzFX!zFX?z LFXnzFminz11FX1z1Fx2 z L1Fxzn如XiX丄Xn为同分布，则有nF max zF zn 1max zn fX F Zn 1min z n f X 1 F ZnFmin z 11 F z评注等价表示：M Max X, Y1XY X Y ； N Min X, Y3商积模型fu, v u, V般来说，如果U g X,YX,Y存在唯一的反函数：X X U, V , YU, V，

22、利用雅可比微元变换 J可得u, v u,vX, Y x u,v ,y u,v I J3.1商模型 求Z的概率密度,方法如下FzpXx, ydxdyy,uv, yFzuv, uJ dudvf uv,u du dvfz zf zu, u u duzy, yy dy如X, Y独立,fx zy fY y y dy。这也是一个常用公式【例6】设X, Y相互独立,都服从，求Zx-的分布密度函数fz z。解:fxxe0,fY ye0,y, yfz zf zy,y dyfx zy fYy ydyydy 1 z0,评注商模型是重要考点如果存在非正规区域（即：积分区域不能用一项表示出来），则需要使用旋转法划分为若

23、干个正规区域。3.2积模型求Z XY的概率密度。只要改写成Z XY |，然后Y令 u , v xyy1x uv, y 一 u1uv, 一 uJ dudvZ XY fZ z上1 duf zu, u uy dyy评注积模型本质上就是二维联合分布。数学1,3考点Xi,X2丄Xn为独立同分布N 0,1nXi2i 1n护n20,n2 2Xi ni 1kY2 n Z Y 2 niniL nki 1tn模型数学1,3考点Y 21n 12n1tt12 n1 , Yn2nin22n1n1n12n2n2X,Y独立1 6n2n20,n21F1口，n2Fn2, n1四、典型题型与求解秘诀2009智轩考研数学创高分红宝

24、书系列-概率论与数理统计【例7】 把一硬币连掷三次，X表示正面次数，丫 |2X 3,求X, Y的联合分布律和边缘分 布律。解：应符合二项式分布B(n, p) Ckpk(1 p)n k11本题中 P , n 3, k x; X B 3,-2 2X 0, 1, 2, 3 Y 2X 33, 1, 1,3P(X0, Y3)P(X0)"12 8P(X1, Y1)P(X1)c3 1 山2 32 2 8P(X2, Y1)P(X2)d "J) 32 2 8P(X3, Y3)P(X3)c； (1)3(1)0 -2 2 8其它的X, Y组合的概率全为0X, Y的联合分布律如下:Y0123103

25、83803180018X, Y的边缘分布如下:X0123Y13P1331P31888844【例8】设(X, Y) U 0 x 2 , 0 y 1 ，求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度fS s。解：显然，0 s 2，曲线xy s与正概率区域的右边交点为 2,-，于是25772009智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计620P XY s2 -0 dx 02 f x, y dy1sdy2x, y dx2dx0匕dy0 Sd1 s sdy°y 21 dx 1Sd22dx0s；dy1 -sdy ydx02sln21s121In 22In 2 In sIn s【例9】设离散型X,Y的

26、分布列为Y12111632193118问，取什么值时X, Y独立解：边缘分布为Y12P.1111632112991131818Pj11133由归一性知，11 11333要使X, Y独立，显然要求再验证每一项疋否满足独立：经验证29,1时，X, Y 独立。9【例10】X, Y独立，且PX 1P Y 1p 0, P X 0 P Y 01 p 0，1-9.1 1-3 1-3Yp12-9Xp1,1,X Y为偶数X Y为奇数，问当p为何值时,X与U独立?解：如果X与U独立，又X与U都是二值变量，故只需要求任意组数独立即可(另一组自动满2 x y, 0 x 1,0 y 1,0其他足独立性要求)，则P X1

27、,U 1P X1PU1PX1,XY为偶数攵pPU1PX1,Y1 pPX0,Y0 PX1,Y1PX1,Y1 pPX0,Y0 PX1,Y1PX1 PY 1pP X0P Y0P X1 P Y 1p2 P 1 P2p2p 1【例11】设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)1 求 P X 2Y ；2 求Z X Y的概率密度fz(z)解：1P X 2Yf (x, y)dxdyx 2y 0x1,0 y 11"dy12y(2x y)dx32(2 5y 4y )dy724X Y的概率密度fz(z)可以直2如果已知(X, Y)的联合概率密度为f(x, y)，则Z接用公式fz(z)f (x, z

28、 x)dx求解。f (x, z x) 2 x (z x) 2 乙由于被积函数f (x, z x)只有在0 x 1, 0 zx 1 2时不为0 (正概率区域)，则当0z 1时，如右图的下三角形区域(视zfz(z)0 (2 z)dx z(2 z).z为常数)当1z 2时,如右图的上三角形区域(视z为常数)fz(Z)11(2z 1z)dx(2 z)2.于是Z的概率密度为fz(Z)z(2(20,z),z)2,1 z 2其它【例12】设X，丫相互独立，且都服从N0, 2解Fz zP 、x2 Y2P X2当z当zZ x,y2 2x y-e才2匸Fz zx2 y2丄e2 2edxdyz2fzFz z0,【例

29、13】解:，求Z X2 Y2函数分布。Y2r2z22 22 2re 2 dr 1 e 20，1)上的均匀分布 的分布函数和密度函数；设随机变量X与Y相互独立，且都服从(求Z X Y设U X Y, V X Y，求U, V的密度函数;求U, V关于U与V的边缘密度函数。均匀分布为:f x ,y石 X，y D0, other1, x, y D0, other1 FZ z PZz PXYz0,PzX Yz 六边形的面积 12 i1 z 1 z1,0z 0112 z0 z 11z 1fzzFz z2 1 z ,0,0 z 1 other2 X和Y的联合密度函数f x, y1, 0 x 1, 0 y 10

30、,其它令 u x y, u x yu vu vx,y22J根据商积模型公式，得U , V的密度函数x, yu, vf(uv,v)J,0220,0u v 2,0 u2'0,其它fu, v (U, V)11(u v) 1, 0 (u v) 122其它v 23 U, V关于U的边缘密度函数求法是：把u看成常数，对v进行全区域积分，得边缘U分布由x, y0, 10 u v 2, 0 u v 2，画图可知u, v所围区域是一个边长为2,旋转了 45°的正方形。由图形立即可得：0 u 2, 1 v 1。则u 1dv u u20 u 1u0 u 1u0 u 12 u 1fu (u)dv 2

31、u1 u 22u1 u 22u1 u 2u 2 20其它0其它0其它2 v 1du v 1v 21 v 0fv(v)2 v 1du 1 vv 20 v 10其它ex x 0 【例14】设随机变量X与Y相互独立且同分布，密度函数f(x)0x0试证明X Y与-也相互独立。Y证明：X,Y的联合密度函数f u, v (u, v)产)1 vu(1 u)21(1 v)2uue0, v 00其它U , V的边缘密度函数为f(x, y)e(x y)0x0, y 0其它令xuvu0,v 0x yu, vx1Jy ,uyv1vxxvuuvJ(x, y)uv1v1 v12v(u, v)yy1uuv1v1v2故得U

32、, V的密度函数为u(1 v)2于是陈氏第5技fu(u)fv(u)fuv (u, V)fuv (u, v)dufuv (u, v)du12 ue0 (1 v)2dvuue0,其它12 ue0 (1 v)2du0,fu (u) fv(v)，命题得证。【二维直角分割法】。秘诀如下在某局部区域中，已知两个随机变量不为零的分布密度 率点区域)，求全部区域的分布函数F x, y问题是一个难点 清晰地解决这类题型。二维直角分割法秘诀如下(1 v)2'其它f x, y (这个局部区域又称为正概 作者创立的直角分割法可以方便1如果正概率点区域在x和y两个方向都有界，则需要将全平面区域划分为 5类积分区

33、 域，在每类区域中求x, y时，积分区域为直角分割区域和正概率点区域的交集。第1类积分区域占八、x, y的直角分割区域与f x, y正概率点区域无交集，显然这时x, y第2类积分区域占八、x, y的直角分割区域画在与f x, y正概率点区域y方向的外边，积分区域为直角分割区域和正概率区域的交集部分，显然这时相当于求X的边缘分布函数F x, y FX x ；第3类积分区域点x, y的直角分割区域画在与fx, y正概率点区域x方向的外边，积分区域为直角分割区域和正概率区域的交集部分，显然这时相当于求X的边缘分布函数F x, yFy y ；第4类积分区域点x, y的直角分割区域画在fx, y正概率点

34、区域的内部，积分区域为直角分割区域和正概率区域的交集部分；第5类积分区域点x, y的直角分割区域包含整个正概率点区域的全部，积分区域是正概率点区域本身，显然此时有F x, y 12如果正概率点区域在x和y两个方向有一个区间无界，由于直角分割区域顶点无法画在该无 界区间的外部，则只需将全部区域划分为3类积分区域，即没有第2类和第5类，或者没有第3 类和第5类。在每类区域中F x, y积分区域仍为直角分割区域和正概率点区域的交集。【例15】已知随机变量（X,Y）的联合分布密度为f x, y4xy,0,0 x 1, 0 y 1其它，求（X,Y）的的联合分布函数F x, y 。解：采用直角分割法。第

35、1 类：x 0,或 y 0 F x, y 0 ；第2类：直角分割区域顶点x, y在区域y1, 0 x即在正概率点区域0x1, 0 y 1的y方向的外部），积分区域为直角分割区域与定义区域0x1, 0 y 1(即正概率区域）的公共部分（即交集）。x 1x124uvdudv 4udu vdv x 0 0 0 0F x, y第3类：直角分割区域顶点x, y在区域x 1, 0 y 1内（即在正概率点区域0x1, 0 y 1的x方向的外部），积分区域为直角分割区域与定义区域0x1, 0 y 1(即正概率区域）的公共部分（即交集）。y 14uvdudv0 0F x, yy124vdv udu y00第4类

36、：直角分割区域顶点 x, y在正概率点区域0 x 1, 0 y 1的内部，积分区域为直角分割区域与定义区域0x1, 0 y1 （即正概率区域）的公共部分（即交集）。F x, yy x4uvdudv0 0yx4vdv udu0 0第5类：直角分割区域顶点x, y在区域x 1, y1的内部，直角分割区域包含正概率点区域0x1, 0 y 1的全部,积分区域为定义区域0x 1, 0 y 1 （即正概率区域）的本身。F x, y14uvdudv014vdv udu0综上所述，得0,x0或y02x ,0x 1, y12y ,0y 1, x12 2x y ,0x 1, 0y1,x1,y 1F (x, y)1

37、【例16】设随机变量（X,Y）的密度函数xey 0 x yf (x, y)，试求分布函数 F(x, y)。0其它，由于区域边界不是常数,解：利用【直角分割法】计算，先画图确定正概率区域0 x y易知全平面只有3类直角分割区域。第 1 类：x 0 或 y 0 F(x, y) 0，因为直角区域与正概率区域0 x y无公共部分;第2类：不存在;第3类：直角区域顶点在0 y x（即正概率区域0y的x方向外部），积分区域为直角分割区域与定义区域0 x（即正概率区域）的公共部分（即交集）。F(x, y) P(X x, Y y)y0dyx1c0xeydx 1 (-y2y 1)e y第4类:三角区域顶点在0内

38、，积分区域为三角区域与定义区域0 x yF (x, y)P(X x, Yy)xdx0xe ydyx2ey2第5类：综上所述，得不存在F(x, y)(2y2 y1)e y评注由于乍(X,Y)x y(x 1)e xS2ey20,所以当密度函数为零,分布函数却不一定为零。如本题 f x,1区域0 y x为零，而在概率分布函数中等于1 （- y2 y 1）e y。10 x 10 y 2x例 17】X, Y 的概率密度 f x, y l, 0 x l, 0 y 2x，求 P Y 0,otherfx解：由于条件分布和联合分布及其边缘分布有关，故首先求边缘分布2xfxx0,f x, y dy dy 2x,

39、0 x 1 .otherP Y 1|X 12 2P Y 1, X2x, y dxdy点1，1的直角分割区域正概率区域2 21、2 fx x dx316141 1jdy dx2至 2xdx0陈氏第6技 【备选模型平移法】。精妙绝伦秘诀如下Z aX bY的分布函数密度备选模型中，已知两个随机变量的分布密度，求它们线性组合fz z ,如果积分区间是分段的，我们必须将 z分割成不同的积分区间，再利用平面积分手段或备选模型公式Z aX bY fz z f x, -_ax dx。问题关键和难点就是如何确定积分区b间，为此，作者创立了平移法可以方便而清晰地解决这类题型。平移法秘诀如下1首先画出基准直线ax

40、by 0 ；2把基准直线平移到正概率区域的全部边界点上，从而得到正概率区域的分割边界线,该直线与x轴的交点就是x方向的积分区间分段点，与y轴的交点就是y方向的积分区 间分段点。【例 18】设 X, Y 独立，fxx ° j 1,fYy ey0，求 Z2X 丫 的 fzz。0, other0,y0解：fZzfXxfYz 2x dx 1fYz 2x dxe2x zdx但由于上述积分区域不是正规区域，x的积分区间必须依照z的不同范围分段进行。按照平 移法，先作基准直线2x y 0 ,然后将该基准直线平移到x 1边界点得直线方程2x y 2， 从而得到z在x轴上的关于正概率区间的两个分界点

41、z1 0, z2 2。其中当0 z 2时，又把基 准直线任意平移到该区间，得方程2x y z，该直线与x轴的交点为x -，即为此区间x的积2分上限。由图形立即看出z 0为零概率区间，所以分三段分别计算 fZ z如下fZ ze2x zdx【例19】X, Y的概率密度f x, y1 P X 2Y ；2 Z X解：1 P X 2Yx 2y 0x1,0 y 10,z012x ezdxz22x ze dx1ze ,0 z 200212x ezdx12ze 1 e ,z 2022xy,0x1, 0y 1求0,otherY的fzz 0x, y dxdy1 rdx 2 2 xy dy7 ；0 0242 fz

42、zf x, z x dx 2 z dx但由于上述积分区域不是正规区域,x的积分区间必须依照z的不同范围分段进行按照平移法，先作基准直线x y 0，然后将该基准直线平移到x 1边界点得直线方程x y 1，再平移到x 1, y 1边界点得直线方程x y 2，从而得到z在x轴上的关于正概率区间的三个分界点乙0, Z2 1, Z3 2。其中，当0 z 1时，又把基准直线任意平移，得方程 x y z，该 直线与x轴的交点为x z，即为此区间x的积分上限，当1 z 2时，又把基准直线任意平移到 该区间，得方程x y z，但该直线与x轴的上限交点x z已经超出正概率区间，当与直线y 1的下限交点为x z 1

43、，即为此区间x的积分下限。由图形立即看出z 0为零概率区间,所以分四段分别计算fz z如下fz z2 z dx0, z 0z2 z dx012z 1or zz dx 2【例20】X, Y的概率密度f x, y3x, 00,x 1,0other，求 Z X Y 的 fz z解:fz zf x, z x dx3xdx但由于上述积分区域不是正规区域,x的积分区间必须依照z的不同范围分段进行按照平1，从而移法，先作基准直线x y 0 ,然后将该基准直线平移到x 1边界点得直线方程x y得到z在x轴上的关于正概率区间的二个分界点 zi 0, Z21,。其中，当0 z 1时，又把基准直线任意平移到该区间，

44、得方程x y z，该直线与x轴的交点为x z，即为此区间x的积分下 限（上限为1），因为此时y为变区间，即0yx 0xzx 0 z x x z。由图形立即看出z 0为零概率区间，fZ z0，z1为全概率区间，FZ z 1 fZ z 0。所以分三段分别计算fz z如下0,z0 or z 1fZ z3xdx1323xdx-1z2 ,0 z 1z2陈氏第7技【商模型旋转法】。秘诀如下Y商模型中，已知两个随机变量的分布密度求它们的商函数 Z -的分布函数密度fz z，如Y果积分区间是分段的，我们必须将 z分割成不同的积分区间，再利用平面积分手段或商模型公式Z Xfz z f zy, y y|dy。问题关键和难点就是如何确定积分区间，为此，作者创立了平移法可以方便而清晰地解决这类题型。旋转法秘诀如下1首先画出基准直线-1 ；y2把基准直线旋转到正概率区域的全部边界点上，从而得到正概率区域的分割边界线，该直线与x轴的交点就是x方向的积分区间