指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

1、指数函数、对数函数、福函数的图像与性质(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念11根式的概念符号表示备注如果xn =a，那么x叫做a的n次方根Nn不且n eN *当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次中a零的n次方根是零方根是一个负数当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数:a ( a> 0)负数没有偶次方根(2) .两个重要公式n为奇数n为偶数a n a n 二 a( a 0) I a尸八 ！ a(a 0)(n a ) n = a (注意a必须使n 7 a有意义)182.有理数指数事(1)窑的有关概念正数的正分数指数窑正数的负分数指数事0的正分数指数窑等于m

2、n _ n m4 V : aa a m a n -1a、-m(>0,、4 ，且 > 1)；m n N n1二 l(a >0, m、n= N ,且 n> 1)n am0,0的负分数指数窑没有意义通常利用分数指数事进行根式的运算。注：分数指数窑与根式可以互化,(2)有理数指数窑的性质aras=ar+s(a>0,r、s Q); r s rs(a ) =a (a>0,r、s G Q)；(ab)r=arbs(a>0,b>0,r G Q)；.3.指数函数的图象与性质x y=a图象a>10<a<1R定义域值域性质（1 ）过定点（0,1）(2)

3、当 x>0 时，y>1;当 x>0 时，0<y<1;x<0 时，y>1x<0 时，0<y<1在（-吧,+ 0 ）上是增函数（3）在（-8 , +冲）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1) y=ax, (2) y=b x,(3) ,y=c x (4) ,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系?提示：在图中作直线与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a 1>b1,/. c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）

4、对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果ax =N （a >0且a*1）,那么数x叫做以a为底，N的对数，记作 x = log叫做对数的底数，N叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a a、0,且a *1N 10g a常用对数底数为101g N自然对数底数为e1n N2、对数的性质与运算法则i_Ng01 a（1）对数的性质（a0,且 a 1)： 10ga 0, 0g1(2)对数的重要公式：换底公式：10gb N二loga N (a,b均为大于零且不等于1,N >：0)； 10ga b10g a bl 二 o10gba(3)对数的运算法则：如果a注0,且a

5、Hl , M：>0, N > 0那么D log a (MN )二 log a M + log a N ;2)logaMlog a M-log a N ；N log a M n二 n log a M ( n £ R)；3) log m bn 二 一 log a b。3、对数函数的图象与性质图 象(1)定义域：(0,+ a)(2)值域：R(3)当x=1时，y=0即过定点(1,0)(4)当0 Mx(1时，y之(一个0)；当 A时， w-x1y(0,)(5)在(0,+ 8 )上为增函数(4)当x1时，丫之产，0);当 << 时， +-C-0 x1y(0,)(5)在(0

6、,+如)上为减函数注：确定图中各函数的底数a, b, c, d与1的大小关系提示：作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。0<c<d<1<a<b.4、反函数指数函数y=ax与对数函数y=log ax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。（三）窑函数1、窑函数的定义形如y=x " （ a G R）的函数称为窑函数，其中 x是自变量，a为常数注：窑函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，窑函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。2、窑函数的图象i注：在上图第一象限中如何确定y=x 3, y=x 2, y=x

7、 , y x2 , y=x -1方法：可画出x=x 0；i当xo>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3, y=x 2, y=x , y 领,y=x -1 ；1当0Vx 0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x -1, y= x 2 , y=x , y=x2, y=x3、窑函数的性质y=xy=x2y=x 31/x2-1 y=x定义域RRR0 ,+30 )x | x R 且 x 0值域R0,)R0,)fW R且力ty 1 y y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x 0,乜）时，增；x L ,0时，减增增x （0,+ S ）时，减；x （-国，0）时，减定点(1,1)三：例题诠

8、释，举一反三知识点1 :指数窑的化简与求值例1.(2007 育才A)3 2_ 2_ 11(3-)3 (54 )0.5(0.0083( 0.02)- 2 (0.32) 2 0.0625 0.25(1)计算： 893 o 3 ka _8a b(2)变式:2化简：4b323 ab a32 (a 323sa)a . aJT 53y V V a a(1)（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）1a b5b31-2-=-r2"3a b ( 3a b)(4ab ).知识点2:指数函数的图象及应用例2.（2009广附A）已知实数a、b满足等式（）=（1）b ,下列五个关系式: 0V b

9、v a; a< bv 0; 0 V a< b; bv a< 0; a=b.A.1个B.2 个其中不可能成立的关系式有C.3个D.4个变式：（2010华附A）若直线 y = 2a与函数y = | ax1 | （ a> 0且a黄1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是知识点3:指数函数的性质例3.(2010省实B）已知定义域为2x b . 皿R 的函数 f (x) =是奇函数。2x 12(n)（田）变式:求b的值;判断函数若对任意的f（ x的单调性；f（t2-2t）'f（2t 2 - k严0恒成立，求k的取值范围.ex(2010东莞B)设 a >0,f(x)=

10、_-ax e 是R上的偶函数.（1）求a的值;（2）求证：f（x）在（0, +°0）上是增函数.知识点4:对数式的化简与求值例 4. ( 2010 云浮 A)计算：(1)10g 2r3 (2 2(1g 2 ) 2+1g 2、1g5+(1g+1g 2 1 ;(3) 1 lg 32 -4 lg Mlg 2,* - VV2493变式：(2010惠州A)化简求值.(1) log 2 I 7 +log 212- 1 log 242-1;1 482(2) (lg2) 2+lg2 lg50+lg25;(3) (log 32+log 92) - (log 43+log 83).知识点5:对数函数的性

11、质例5. (2011深圳A)对于0 < log a (1 a) log a (a ); aa 1 ,给出下列四个不等式： log a (件 a) > log a );a(A )与(B)与(变式：(2011韶关A)已知1 . 1+ :漳5a1 a * a a ；其中成立的是()C)与(D)与0V av 1,b > 1,ab > 1,则 log a-1/0g a b,log bj bb的大小关系是11A.loga1Joga blog b1bb11C. logab5；ogb二：log abb例6. ( 2010广州B)已知函数 f(x)=logB. log a b log a

12、 -log b-11D.log b：7* log a-log a bbbax(a > 0,a中1),如果对于任意xG 3, +s)都有|f(x)|>1成立，试求a的取值范围、一 ，一一一3变式：(2010厂雅B)已知函数f ( x) =log 2(x 2-ax-a)在区间(- oo ,1-上是单调通减函数.求实数a的取值范围.知识点6:窑函数的图象及应用例7.(2009 佛山B)已知点(J2, 2)在窑函数f (x)的图象上，点在募函数g (x)的图4象上.问当 x 为何值时有：(1 ) f (x)>g ( x) ; ( 2 )f (x) =g (x) ; (3) f (x)

13、 < g ( x).是单调减函数.(1)求函数f(x);变式：(2009揭阳B)已知窑函数f(x)=xm# m 3 ( mG Z)为偶函数，且在区间(0, +oo)上的奇偶性(2)讨论 F ( x)营a 仃 f (x)xf x四：方向预测、胜利在望1 . ( A)函数f ( x) =lg 1二x的定义域为()x 41 U (4, +00 )A. (1, 4) B. 1, 4) C.(巴 1) U (4, +00 ) D.(巴2 . ( A )以下四个数中的最大者是()22(A) (ln2)(B) ln(ln2)(C) ln(D) ln2 3 ( B)设a>1 ,函数f(x)=log

14、 ax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为Jjm(A) 2(B) 2(C) 2V 2(D) 44. ( A )已知f (x)是周期为 2的奇函数，当635a = f (工 b = fj ), c =f ( 4 则(0 V x< 1 时，f ( x) 4g x.设)(A ) a 也 <c ( B) b 毋 c<2ex 1 , x 2,5. ( B)设 f(x)=12log 3 (x2 1), x 2(A) ( 1, 2) 3 ( 3, +8)(C) ( 1 , 2) M ( 3 10 , +°0):(C) c<:b Q (D) c <a b则不等式f(x

15、)>2的解集为()(B) (V 10 , +8)(D) ( 1 , 2)6. ( A)设 P = log 2 3 , Q-log3 2 , A. RQP <B. PRQ <R =log 2 (log 3 2),则()C. qRPD . #PQ5227. (A)已知 log 1 b < log 1 a 目og 1 c，则()2228.A . 2b >2a >2cB. 2a 第2b >2cC.2c 2b2a(B)下列函数中既是奇函数，又是区间匚1,1上单调递减的是(D. 2c> 2 a> 2b)(A ) f ( x)= sin x(B) f (

16、 x) = - x(C) f (x) -1(a xa ' )(D)29. ( A)函数y =、，啕1 (3 x-2)的定义域是：( 2A 1,：) B (32 ： ) C32 ,1 D ( 32,110.(A)已知函数1A .4y =log 1 xy= kx的图象有公共点a,且点a的横坐标为4111B. C.-跖D,142211 . ( B)若函数f (x)=ax *b 1( a>0且a 1)的图象经过第二 、三、四象限，则一定 有()3倍，则a=1(D)一 2,在区间 (一°O, 0)上单调递减,在区间 (0, + °0)上单调递减a .0 W仔且b 0 c

17、. 0 医 1 b 0： . 若函数 =12(B)f (x) log a(上_22A.B.4213.(A)已知 0vxv yv av1,(A ) log a ( xy)<0(C) 1 (log a (xy 尸214. ( A)已知 f ( x6 ) =log4-(A ) (B)315. ( B)函数 y= lg|x| (A .是偶函数，在区间 (一(C.是奇函数，在区间 (0,B . a刁且b七D . a H 且 b，0.< < 在区间a, 2ax(0 a 1)-1 1C. =D.42则有()(B) 0 <log a ( xy)*'1(D) log a (xy

18、) > 22 x ,那么f (8)等于()8(C) 18)R 0)上单调递增 B .是低 + oo)上单调递增D .是奇16. ( A)函数 ylg( 4 -x )的定义域是17- (B)函数y总1 "(a>0, a 1)的图象恒过定点A，若点 A在直线11mx ny 1 _O(mn 、 0)上，则_的最小值为m ne, x0一118. ( A) < g( x)= 1则 g( g ( ) Inx, x0.219. ( B)若函数f(x) = V x2t ax：一 的定义域为 R,则a的取值范围为 20. (B)若函数 f (x) = loga ( x+ x x 2

19、+ 2a2 )是奇函数，贝U a=.21.(B)已知函数性._ 11+，求函数f ( x) x 10g 2 1 xf ( x)的定义域，弁讨论它的奇偶性和单调参考答案：三：例题诠释，举一反三例 1.解：(1)2, ( 2) a2911313一 "一 一 =_5a 2一 .92=- 5 1变式：解：(1 ) 1,(32)6b 3(a3b 2)44 ab例2.解：B1 1变式：解：(0, 1 )；2_5 ab2 . (3)1104ab例 3.解：(I) b = 1(n)减函数。变式：解：例4.解:7121-变式：解： -(1) a=1. (2)略(1) -1.(2) 1.332W二_3 .( 2) 2.( 3) _548422 log 2 2 210g 2 224例5.解：选D。变式：解：C 例 6.解：(1 , 3 U ： 1 - 1)3变式：解：a|2-2V3 < av 2例 7.解：(1)当 x>1 或 x<_1 时，f ( x) > g (x);(2)当 x =士 1 时，f (x) = g( x);(3)当 Lx 1 且 x 萨时，f (